Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Версия 17:00, 3 января 2018

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

6   Векторные пространства

6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$. Свойства операций в векторном пространстве.
• Примеры: простр.-ва столбцов и строк, простр.-ва матриц, простр.-ва функций, простр.-ва финитных функций, простр.-ва многочленов, простр.-ва рядов.
• Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — вект. пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }}$.
• Подпростр.-во: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$ — наименьш. относ.-но ${\displaystyle \subseteq }$ подпр.-во, содержащ. ${\displaystyle D}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}}$. Линейная комбинация элементов множества ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}}$.
• Ядро и образ линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a\leq V}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$ выполнено ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$;
  (2) ${\displaystyle a}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Матричная запись системы из ${\displaystyle p}$ линейных уравн.-й от ${\displaystyle n}$ переменных: ${\displaystyle a\cdot v=y}$ (${\displaystyle v\in K^{n}}$, ${\displaystyle y\in K^{p}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$). Однородная система: ${\displaystyle a\cdot v=0}$.
• Аффинные операторы (отображения): ${\displaystyle v\mapsto a(v)+z}$, где ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$ и ${\displaystyle z\in Y}$. Аффинные подпространства: ${\displaystyle U+v}$, где ${\displaystyle U\leq V}$ и ${\displaystyle v\in V}$.

6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во: ${\displaystyle \forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во: ${\displaystyle V=\langle D\rangle }$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств ${\displaystyle K^{n}}$ и ${\displaystyle K_{n}}$: ${\displaystyle \{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}}$ и ${\displaystyle \{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}}$. Стандартный базис простр.-ва ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (у2) отображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существует единственная такая финитная функция ${\displaystyle f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)}$, что ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}f(b)\,b}$;
  (у4) ${\displaystyle B}$ — максимальное независимое множество (то есть ${\displaystyle B}$ — независимое мн.-во и для любых ${\displaystyle v\in V\!\setminus \!B}$ мн.-во ${\displaystyle B\cup \{v\}}$ не является независимым);
  (у5) ${\displaystyle B}$ — минимальное порождающее множество (то есть ${\displaystyle B}$ — порождающее мн.-во и для любых ${\displaystyle b\in B}$ мн.-во ${\displaystyle B\!\setminus \!\{b\}}$ не является порождающим).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$; тогда для любых ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)}$
  существует единственный такой ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, что ${\displaystyle a|_{B}=\alpha }$ (и, значит, ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм вект. пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle a|_{B}}$ — инъекция и ${\displaystyle a(B)}$ — независимое множество;
  (2) ${\displaystyle a}$ — сюръекция, если и только если ${\displaystyle a(B)}$ — порождающее множество;
  (3) ${\displaystyle a}$ — изоморфизм, если и только если ${\displaystyle a|_{B}}$ — инъекция и ${\displaystyle a(B)}$ — базис.
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. простр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое множество и ${\displaystyle C\subseteq \langle D\rangle }$, то ${\displaystyle |C|\leq |D|}$;
  (2) если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ — базисы пространства ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle |C|=|D|}$.
• Теорема о существовании базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и
  ${\displaystyle D}$ — порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$, а также в ${\displaystyle V}$ существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle C\subseteq B}$ (и, значит, дополняя до базиса множество ${\displaystyle \,\varnothing}$, получаем, что в ${\displaystyle V}$ существует базис);
  (2) существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle B\subseteq D}$ (и, значит, выделяя базис из множества ${\displaystyle V}$, получаем, что в ${\displaystyle V}$ существует базис).

6.3  Размерность, координаты, замена координат

• Размерность ${\displaystyle \dim V}$ пр.-ва ${\displaystyle V}$ — порядок (мощность) базиса пр.-ва ${\displaystyle V}$. Примеры: ${\displaystyle \dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n}$, ${\displaystyle \dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p}$, ${\displaystyle \dim K[x]=\infty }$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любого независимого подмножества ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle |C|\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |C|=\dim V}$, то ${\displaystyle C}$ — базис;
  (2) для любого порождающего подмножества ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle |D|\geq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |D|=\dim V}$, то ${\displaystyle D}$ — базис;
  (3) для любого подпространства ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle \dim U\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle \dim U=\dim V}$, то ${\displaystyle U=V}$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\leq \dim Y}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\geq \dim Y}$;
  (3) ${\displaystyle V\cong Y}$, если и только если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Множество упорядоченных базисов: ${\displaystyle \mathrm {OB} (V)}$. Столбец координат вектора. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных пространств ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица линейн. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}^{\bullet }=a(e_{j})^{h}}$. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

  Теорема о матрице линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,X,Y,Z}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle p=\dim Y<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {OB} (Y)}$, то ${\displaystyle \forall \,a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$, а также отображение
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств (и, значит, ${\displaystyle \dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p}$);
  (2) если ${\displaystyle \dim V,\dim X,\dim Z<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle f\in \mathrm {OB} (X)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {OB} (Z)}$, то ${\displaystyle \forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)}$.

• Матрица замены координат (${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Пример: ${\displaystyle \mathrm c_e^\mathbf e=e}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle \mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)}$). Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}}$.
• Преобразование столбца координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$; то же в покомпонентной записи: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$. Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$.
• Преобразование матрицы линейного оператора: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$; то же в покомпонентной записи (если ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$ с фактороперациями (${\displaystyle U\leq V}$). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: ${\displaystyle \mathrm{codim}_VU=\dim V/U}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

• Теорема о факторпространстве. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle A}$ — базис пространства ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle A\subseteq B}$, то все классы смежности ${\displaystyle b+U}$, где ${\displaystyle b\in B\!\setminus \!A}$, попарно различны и
  вместе образуют базис пространства ${\displaystyle V/U}$;
  (1') если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm{codim}_VU=\dim V-\dim U}$);
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle Y}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, то ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$ (это теорема о размерностях ядра и образа).
• Прямая сумма ${\displaystyle U\oplus W}$: ${\displaystyle U\times W}$ с покомпонентными операциями. Обобщение (${\displaystyle I}$ — мн.-во): ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}}$.
• Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}\leq V}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} }$
  линейный оператор ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}&\to V\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}+\ldots +v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$ и ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ — базисы пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответственно, то множества ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ попарно
  не пересекаются и ${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{k}}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (1') если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k}$;
  (2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$, (у2) ${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}}$ и
  (у3) ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,V=V_{1}+\ldots +V_{k}}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то в пункте (2) условие "${\displaystyle \,V=V_1+\ldots+V_k\!}$" можно заменить на условие "${\displaystyle \,\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!}$";
  (4) если ${\displaystyle U,W\leq V}$ и ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).
• Внутренняя прямая сумма: ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$. Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.

  Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и
  ${\displaystyle a(U)\subseteq U}$ (то есть ${\displaystyle U}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство), а также ${\displaystyle n'=\dim U}$ и ${\displaystyle n''\!=n-n'}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)}$, ${\displaystyle a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n',n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$;
  (2) если ${\displaystyle W\leq V}$, ${\displaystyle V=U\oplus W}$ и ${\displaystyle a(W)\subseteq W}$, то существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)}$ и ${\displaystyle a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$.

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}=e_{j}^{*}={\bigl (}v\mapsto (v^{e})^{j}{\bigr )}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}\!={\biggl (}{\begin{smallmatrix}e^{1}\\\vdots \\e^{n}\end{smallmatrix}}{\biggr )}}$. Строка координат ковектора.
• Утверждение: ${\displaystyle \lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}}$. Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\!\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобразования при замене базиса: ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$ и ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$, а также ${\displaystyle {\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}}$.
• Двойственный оператор (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)}$. Утверждение: пусть ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to V^{**}\\v&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм.

7   Линейные операторы (часть 1)

7.1  Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора

• Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): ${\displaystyle \mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j}$ (${\displaystyle c\in K}$, ${\displaystyle i\neq j}$). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ${\displaystyle \mathrm{id}_n+(c-1)\,\mathbf e_i^i}$ (${\displaystyle c\in K^\times\!}$).
• Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathbf {e} _{i}^{k})\cdot a}$ и ${\displaystyle a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a}$. Элементарные преобр.-я над столбцами.
• Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle l\in \mathbb {N} _{0}}$ и элементарные матрицы ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$ размера ${\displaystyle p\times p}$ над полем ${\displaystyle K}$, что ${\displaystyle g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a}$ — ступенчатая матрица;
  (2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ${\displaystyle \langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle }$;
  (3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно ${\displaystyle \dim \,\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle }$ (и, значит, не зависит от матриц ${\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{l}}$).

• Метод Гаусса — приведение матрицы ${\displaystyle {\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}}$ к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
• Ранг линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a}$. Ранг матрицы ${\displaystyle a}$ (ранг по столбцам): ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1}^{\bullet },\ldots ,a_{n}^{\bullet }\rangle }$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})}$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=n-\dim\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}\leq n}$ и ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\dim\{a\cdot v\mid v\in K^{n}\}\leq p}$;
  (2) для любых обратимых матриц ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {rk} (g\cdot a\cdot g')=\mathrm {rk} (a)}$;
  (3) существуют такие обратимые матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}}$;
  (4) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a_{\bullet }^{1},\ldots ,a_{\bullet }^{p}\rangle }$ и ${\displaystyle \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})}$ (то есть ранг матрицы ${\displaystyle a}$ по столбцам равен рангу матрицы ${\displaystyle a}$ по строкам).
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle n,p\in \mathbb {N} _{0}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$ и ${\displaystyle y\in K^{p}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \dim\{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm {rk} (a)}$ и, если ${\displaystyle n>p}$, то ${\displaystyle \{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}\neq \{0\}}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)\leq \mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}}$, а также, если ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)<\mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}}$, то ${\displaystyle \{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing }$, и, если ${\displaystyle \mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} {\bigl (}\!{\bigl (}a_{1}^{\bullet }\;\ldots \;a_{n}^{\bullet }\;\,y{\bigr )}\!{\bigr )}}$, то
  ${\displaystyle \{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=y\}}$ — класс смежности по подпростр.-ву ${\displaystyle \{v\in K^{n}\!\mid a\cdot v=0\}}$ (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ${\displaystyle n-\mathrm {rk} (a)}$).
• Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$,
  ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда существуют такие упорядоченные базисы ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {OB} (Y)}$, что ${\displaystyle a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}}$.

7.2  Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема

• Пространства полилинейных операторов ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}(V,Y)}$. Пространства полилинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},K)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Multi} _{k}V}$.
• Пространства билинейных операторов ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},Y)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V,Y)}$. Пространства билинейных форм ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V_{1},V_{2},K)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Bi} (V)}$. Примеры полилин.-х форм.
• Перестановка аргументов форм: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}_u\colon\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)}$. Действие ${\displaystyle \mathrm{paf}}$ группы ${\displaystyle \mathrm {S} _{k}}$: ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}\,\colon\mathrm S_k\!&\to\mathrm{GL}(\mathrm{Multi}_kV)\\u&\mapsto\mathrm{paf}_u\end{align}\!\biggr)}$.
• Пространство симметричных полилинейных форм: ${\displaystyle \mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=\omega\bigr)\}\le\mathrm{Multi}_kV}$.
• Пр.-во антисимм. полилин. форм: ${\displaystyle \mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\;{\bigl (}\exists \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;(i\neq j\,\land \,v_{i}=v_{j})\,\Rightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})=0{\bigr )}\}}$.
• Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm{AMulti}_kV\subseteq\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=-\omega\bigr)\}}$ и, если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, то "${\displaystyle \,\subseteq }$" можно заменить на "${\displaystyle \,=}$";
  (3) если ${\displaystyle \mathrm {char} \,K\neq 2}$, то ${\displaystyle \,\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}}$.
• Простр.-во форм объема: ${\displaystyle \mathrm {VF} (V)=\mathrm {AMulti} _{n}V}$, где ${\displaystyle n=\dim V}$. Форма объема, связанная с упоряд. базисом ${\displaystyle e}$: ${\displaystyle \mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\det \!{\bigl (}v_{1}^{e}\;\ldots \;v_{n}^{e}{\bigr )}}$.
• Теорема о формах объема. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$ и ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}}$ и ${\displaystyle \mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1}$;
  (2) для любых ${\displaystyle \omega \in \mathrm {VF} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}}$ и для любых ${\displaystyle {\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e}$;
  (3) множество ${\displaystyle \{\mathrm {vol} ^{e}\}}$ — базис пространства ${\displaystyle \,\mathrm {VF} (V)}$ (и, значит, ${\displaystyle \dim \mathrm {VF} (V)=1}$);
  (4) для любых ${\displaystyle \omega \in \mathrm {VF} (V)\!\setminus \!\{0\}}$ и ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in V}$ выполнено ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0}$.