Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 20: | Строка 20: | ||
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во: <math>V=\langle D\rangle</math>. Базис — независ. порожд. мн.-во. | <ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во: <math>V=\langle D\rangle</math>. Базис — независ. порожд. мн.-во. | ||
<li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math> и <math>K_n</math>: <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math> и <math>\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}</math>. Стандартный базис простр.-ва <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}</math>. | <li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math> и <math>K_n</math>: <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math> и <math>\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}</math>. Стандартный базис простр.-ва <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(у2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая финитная функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — независимое | + | <li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(у2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая финитная функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — максимальное независимое множество (то есть <math>B</math> — независимое мн.-во и для любых <math>v\in V\!\setminus\!B</math> мн.-во <math>B\cup\{v\}</math> не является независимым);<br>(у5) <math>B</math> — минимальное порождающее множество (то есть <math>B</math> — порождающее мн.-во и для любых <math>b\in B</math> мн.-во <math>B\!\setminus\!\{b\}</math> не является порождающим).</i> |
<li><u>Теорема об универсальности базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>; тогда для любых <math>\alpha\in\mathrm{Func}(B,Y)</math><br>существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, что <math>a|_B=\alpha</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Func}(B,Y)\\a&\mapsto a|_B\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>; тогда для любых <math>\alpha\in\mathrm{Func}(B,Y)</math><br>существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, что <math>a|_B=\alpha</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Func}(B,Y)\\a&\mapsto a|_B\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств).</i> | ||
<li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i> | <li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i> | ||
Строка 73: | Строка 73: | ||
<li>Метод Гаусса — приведение матрицы <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений. | <li>Метод Гаусса — приведение матрицы <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений. | ||
<li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы <math>a</math> (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | <li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы <math>a</math> (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1 | + | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}(a)=n-\dim\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}\le n</math> и <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\{a\cdot v\mid v\in K^n\}\le p</math>;<br>(2) для любых обратимых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(3) существуют такие обратимые матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(4) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг матрицы <math>a</math> по столбцам равен рангу матрицы <math>a</math> по строкам).</i> |
<li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда<br>(1) <math>\dim\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm{rk}(a)</math> и, если <math>n>p</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}\ne\{0\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)\le\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, а также, если <math>\mathrm{rk}(a)<\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing</math>, и, если <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то<br><math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}</math> — класс смежности по подпростр.-ву <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}</math> (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности <math>n-\mathrm{rk}(a)</math>).</i> | <li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда<br>(1) <math>\dim\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm{rk}(a)</math> и, если <math>n>p</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}\ne\{0\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)\le\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, а также, если <math>\mathrm{rk}(a)<\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing</math>, и, если <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то<br><math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}</math> — класс смежности по подпростр.-ву <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}</math> (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности <math>n-\mathrm{rk}(a)</math>).</i> | ||
<li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | ||
Строка 85: | Строка 85: | ||
<li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{AMulti}_kV\subseteq\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=-\omega\bigr)\}</math> и, если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" можно заменить на "<math>\,=</math>";<br>(3) если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, то <math>\,\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>.</i> | <li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{AMulti}_kV\subseteq\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=-\omega\bigr)\}</math> и, если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" можно заменить на "<math>\,=</math>";<br>(3) если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, то <math>\,\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}</math>.</i> | ||
<li>Простр.-во форм объема: <math>\mathrm{VF}(V)=\mathrm{AMulti}_nV</math>, где <math>n=\dim V</math>. Форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math>. | <li>Простр.-во форм объема: <math>\mathrm{VF}(V)=\mathrm{AMulti}_nV</math>, где <math>n=\dim V</math>. Форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math> и для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\ | + | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math> и для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(3) множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{VF}(V)</math> (и, значит, <math>\dim\mathrm{VF}(V)=1</math>);<br>(4) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul> |
<h5>2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над <math>\mathbb R</math></h5> | <h5>2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над <math>\mathbb R</math></h5> | ||
− | <ul><li>Определитель | + | <ul><li>Определитель линейн. оператора <math>a</math> (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>\det a=\frac{\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))}{\omega(v_1,\ldots,v_n)}</math>, где <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)</math>. Корректность опр.-я. |
− | <li> | + | <li>Утверждение: <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>. Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}</math>. |
− | <p><u> | + | <p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\,\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math>.</i></p> |
− | + | ||
<li>Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^j_i=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнит. минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(i,j)</math><math>\bigr)</math>. | <li>Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^j_i=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнит. минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(i,j)</math><math>\bigr)</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math> | + | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a</math> и для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a</math><br>(это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) для любых <math>i,k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k</math> и для любых <math>j,l\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j</math>;<br>(3) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>\det a\in R^\times</math>, то <math>\,a^{-1}\!=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math> (и, значит, <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math>).</i> |
− | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det | + | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_{j-1}\;\,y\;\;a^\bullet_{j+1}\;\ldots\;a^\bullet_n\bigr)</math>.</i> |
<li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>,<br>что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i> | <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>,<br>что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i> | ||
− | <li>Отнош.-е одинаковой ориентированности (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e | + | <li>Отнош.-е одинаковой ориентированности (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e\!>0</math>. Ориентация пр.-ва <math>V</math> — выбор элем.-та <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> мн.-ва <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math>. |
− | + | <li>Знак набора векторов: <math>\mathrm{sign}(v_1,\ldots,v_n)</math>. Лемма о знаке базиса. Мн.-во положительных форм объема: <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)=\mathbb R_{>0}\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>, где <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>. | |
− | < | + | <p><u>Лемма о знаке базиса.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство с ориентацией и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{sign}(\tilde e)\,\mathrm{vol}^\tilde e\!=|\det\mathrm c_e^\tilde e|\,\mathrm{sign}(e)\,\mathrm{vol}^e</math>.</i></p></ul> |
Версия 14:00, 5 декабря 2017
2 Линейная алгебра
| ||||||||||||
|
2.1 Векторные пространства
2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: простр.-ва столбцов и строк, простр.-ва матриц, простр.-ва функций, простр.-ва финитных функций, простр.-ва многочленов, простр.-ва рядов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпр.-во, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подпр.-во, содержащ. .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов множества : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Утверждение: пусть ; тогда . Линейные дифференциальные уравн.-я и системы уравн.-й.
2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств и : и . Стандартный базис простр.-ва : .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — максимальное независимое множество (то есть — независимое мн.-во и для любых мн.-во не является независимым);
(у5) — минимальное порождающее множество (то есть — порождающее мн.-во и для любых мн.-во не является порождающим). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над и — базис пространства ; тогда для любых
существует единственный такой , что (и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , — независимое подмножество в и
— порождающее подмножество в , а также в существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) существует такой базис пространства , что (и, значит, дополняя до базиса множество , получаем, что в существует базис);
(2) существует такой базис пространства , что (и, значит, выделяя базис из множества , получаем, что в существует базис).
2.1.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
2.1.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то (и, значит, );
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
линейный оператор ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
2.2 Линейные операторы (часть 1)
2.2.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
- Элем. матрицы 1-го и 2-го типов (трансвекции и дилатации): (, , ) и (, ).
- Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(3) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(4) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам). - Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ). - Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
2.2.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Пространства билинейных операторов и . Пространства билинейных форм и . Примеры полилин.-х форм.
- Перестановка аргументов форм: . Действие группы : .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) если , то . - Простр.-во форм объема: , где . Форма объема, связанная с упоряд. базисом : .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над
- Определитель линейн. оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .
Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда отображение
— гомоморфизм моноидов по умножению, а также . - Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то (и, значит, ). - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Ориентация пр.-ва — выбор элем.-та мн.-ва .
- Знак набора векторов: . Лемма о знаке базиса. Мн.-во положительных форм объема: , где .
Лемма о знаке базиса. Пусть — векторное пространство с ориентацией и ; тогда .