Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 24: | Строка 24: | ||
<li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i> | <li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i> | ||
<li><u>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>C,D\subseteq V</math> и <math>|D|<\infty</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество и <math>C\subseteq\langle D\rangle</math>, то <math>|C|\le|D|</math>;<br>(2) если <math>C</math> и <math>D</math> — базисы пространства <math>V</math>, то <math>|C|=|D|</math>.</i> | <li><u>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>C,D\subseteq V</math> и <math>|D|<\infty</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество и <math>C\subseteq\langle D\rangle</math>, то <math>|C|\le|D|</math>;<br>(2) если <math>C</math> и <math>D</math> — базисы пространства <math>V</math>, то <math>|C|=|D|</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема о | + | <li><u>Теорема о существовании базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>C,D\subseteq V</math>, а также в пространстве <math>V</math><br>существует конечное порождающее подмножество; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество, то существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>C\subseteq B</math> (то есть <math>C</math> можно дополнить до базиса), и,<br>значит, в пространстве <math>V</math> существует базис (дополним до базиса множество <math>\varnothing</math>);<br>(2) если <math>D</math> — порождающее множество, то существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>B\subseteq D</math> (то есть из <math>D</math> можно выделить базис), и,<br>значит, в пространстве <math>V</math> существует базис (выделим базис из множества <math>V</math>).</i></ul> |
<h5>2.1.3 Размерность, координаты, замена координат</h5> | <h5>2.1.3 Размерность, координаты, замена координат</h5> | ||
Строка 92: | Строка 92: | ||
<p><u>Операторная теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>n=\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\det a=vol^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>;<br>(2) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.</i></p> | <p><u>Операторная теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>n=\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\det a=vol^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>;<br>(2) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.</i></p> | ||
<p><u>Матричная теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> определитель матрицы <math>a</math> равен определителю линейного оператора <math>\biggl(\!\begin{align}K^n\!&\to K^n\\v&\mapsto a\cdot v\end{align}\!\biggr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.</i></p> | <p><u>Матричная теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>n\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) для любых <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math> определитель матрицы <math>a</math> равен определителю линейного оператора <math>\biggl(\!\begin{align}K^n\!&\to K^n\\v&\mapsto a\cdot v\end{align}\!\biggr)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{GL}(n,K)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid\det a\ne0\}</math> и отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Mat}(n,K)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению.</i></p> | ||
− | <li>Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. | + | <li>Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^j_i=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнит. минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(i,j)</math><math>\bigr)</math>. |
<li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a</math> и для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a</math><br>(это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) для любых <math>i,k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k</math> и для любых <math>j,l\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j</math>;<br>(3) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}\!=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i> | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a</math> и для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a</math><br>(это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) для любых <math>i,k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k</math> и для любых <math>j,l\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j</math>;<br>(3) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}\!=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i> | ||
<li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_{j-1}\;\,y\;\,a^\bullet_{j+1}\;\ldots\;a^\bullet_n\bigr)</math>.</i> | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_{j-1}\;\,y\;\,a^\bullet_{j+1}\;\ldots\;a^\bullet_n\bigr)</math>.</i> |
Версия 20:00, 9 мая 2017
2 Линейная алгебра
| ||||||||||||
|
2.1 Векторные пространства
2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпростр.-во , порожд. мн.-вом , — наименьшее подпростр.-во, содержащее .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов мн.-ва : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Утверждение: пусть ; тогда . Линейные дифференциальные уравн.-я и системы уравн.-й.
2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств , и : , и .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — независимое подмножество в и для любого вектора множество не является независимым подмножеством в
(то есть — максимальное независимое множество);
(у5) — порождающее подмножество в и для любого вектора множество не является порождающим подмножеством в
(то есть — минимальное порождающее множество). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и — базис пространства ; тогда
для любых существует единственный такой линейный оператор , что (и, значит, отображение
— изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и , а также в пространстве
существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) если — независимое множество, то существует такой базис пространства , что (то есть можно дополнить до базиса), и,
значит, в пространстве существует базис (дополним до базиса множество );
(2) если — порождающее множество, то существует такой базис пространства , что (то есть из можно выделить базис), и,
значит, в пространстве существует базис (выделим базис из множества ).
2.1.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: , .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
2.1.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то (и, значит, );
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
отображение ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , ,
и (то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
2.2 Линейные операторы (часть 1)
2.2.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
- Элементарные матрицы: трансвекции , псевдоотражения .
- Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: и . Элемент. преобразования над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) ранг матрицы равен рангу линейного оператора ;
(2) и ;
(3) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(4) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(5) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам). - Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ). - Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
2.2.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Пространства билинейных операторов и . Пространства билинейных форм и . Примеры полилин.-х форм.
- Представление (действие) группы в пространстве : , где .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) . - Пр.-во форм объема: ; . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над
- Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .
Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
(1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению. - Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.
Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — векторное пространство над полем и ;
рассмотрим действие группы на множестве по правилу и рассмотрим множество орбит
относительно этого действия; тогда отображение определено корректно и является биекцией. - Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).