Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
<h3>2.1 Векторные пространства</h3> | <h3>2.1 Векторные пространства</h3> | ||
<h5>2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5> | <h5>2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5> | ||
− | <ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с умножением на скаляры из <math>K</math> | + | <ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве. |
<li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | <li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | ||
<li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. | <li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. | ||
Строка 22: | Строка 22: | ||
<li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(у2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая финитная функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>v\in V\!\setminus\!B</math> множество <math>B\cup\{v\}</math> не является независимым подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — максимальное независимое множество);<br>(у5) <math>B</math> — порождающее подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>b\in B</math> множество <math>B\!\setminus\!\{b\}</math> не является порождающим подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — минимальное порождающее множество).</i> | <li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(у2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая финитная функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>v\in V\!\setminus\!B</math> множество <math>B\cup\{v\}</math> не является независимым подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — максимальное независимое множество);<br>(у5) <math>B</math> — порождающее подмножество в <math>V</math> и для любого вектора <math>b\in B</math> множество <math>B\!\setminus\!\{b\}</math> не является порождающим подмножеством в <math>V</math><br>(то есть <math>B</math> — минимальное порождающее множество).</i> | ||
<li><u>Теорема об универсальности базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>; тогда<br>для любых <math>\alpha\in\mathrm{Func}(B,Y)</math> существует единственный такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, что <math>a|_B=\alpha</math> (и, значит, отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Func}(B,Y)\\a&\mapsto a|_B\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | <li><u>Теорема об универсальности базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>; тогда<br>для любых <math>\alpha\in\mathrm{Func}(B,Y)</math> существует единственный такой линейный оператор <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, что <math>a|_B=\alpha</math> (и, значит, отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Func}(B,Y)\\a&\mapsto a|_B\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств).</i> | ||
− | <li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a | + | <li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i> |
<li><u>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>C,D\subseteq V</math> и <math>|D|<\infty</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество и <math>C\subseteq\langle D\rangle</math>, то <math>|C|\le|D|</math>;<br>(2) если <math>C</math> и <math>D</math> — базисы пространства <math>V</math>, то <math>|C|=|D|</math>.</i> | <li><u>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>K</math>, <math>C,D\subseteq V</math> и <math>|D|<\infty</math>; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество и <math>C\subseteq\langle D\rangle</math>, то <math>|C|\le|D|</math>;<br>(2) если <math>C</math> и <math>D</math> — базисы пространства <math>V</math>, то <math>|C|=|D|</math>.</i> | ||
− | <li><u>Теорема о построении базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> | + | <li><u>Теорема о построении базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>C,D\subseteq V</math>, а также в пространстве <math>V</math> существует<br>конечное порождающее подмножество; тогда<br>(1) если <math>C</math> — независимое множество, то существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>C\subseteq B</math> (то есть <math>C</math> можно дополнить до базиса);<br>(2) если <math>D</math> — порождающее множество, то существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>B\subseteq D</math> (то есть из <math>D</math> можно выделить базис);<br>(3) в пространстве <math>V</math> существует базис.</i></ul> |
<h5>2.1.3 Размерность, координаты, замена координат</h5> | <h5>2.1.3 Размерность, координаты, замена координат</h5> | ||
Строка 40: | Строка 40: | ||
<ul><li>Факторпростр.-во: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V/U</math>. Аффинные подпростр.-ва. | <ul><li>Факторпростр.-во: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V/U</math>. Аффинные подпростр.-ва. | ||
<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | ||
− | <li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>; | + | <li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math> (и, значит, <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V-\dim U</math>);<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i> |
<li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>. | <li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>. | ||
− | <li><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k\le V</math>; обозначим через <math>\mathrm{add}</math><br>отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\oplus\ldots\oplus V_k&\to V\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1+\ldots+v_k\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> | + | <li><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k\le V</math>; обозначим через <math>\mathrm{add}</math><br>отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\oplus\ldots\oplus V_k&\to V\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1+\ldots+v_k\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math> и <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно, то множества <math>B_1,\ldots,B_k</math> попарно<br>не пересекаются и <math>B_1\cup\ldots\cup B_k</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(1') если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k</math>;<br>(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>, (у2) <math>\forall\,v\in V\;\exists!\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(v=v_1+\ldots+v_k\bigr)</math> и<br>(у3) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(V_i\cap(V_1+\ldots+V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots+V_k)=\{0\}\bigr)\,\land\,V=V_1+\ldots+V_k</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>\,V=V_1+\ldots+V_k\!</math>" можно заменить на условие "<math>\,\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!</math>";<br>(4) если <math>U,W\le V</math> и <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i> |
− | <li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Лемма об инвариантном подпространстве | + | <li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве. |
− | <p><u>Лемма об инвариантном подпространстве | + | <p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p> |
<li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора. | <li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора. | ||
<li>Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>, а также <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>. | <li>Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>, а также <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>. | ||
Строка 77: | Строка 77: | ||
<li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\underline e_1^1+\ldots+\underline e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\underline e_1^1+\ldots+\underline e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | ||
− | <h5>2.2.2 Полилинейные | + | <h5>2.2.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема</h5> |
− | <ul><li>Пространства полилинейных | + | <ul><li>Пространства полилинейных операторов <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math>. Пространства полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math> и <math>\mathrm{Multi}_kV</math>. |
− | <li>Пространства билинейных | + | <li>Пространства билинейных операторов <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math>. Пространства билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилин.-х форм. |
<li>Представление (действие) <math>\mathrm{laf}</math> группы <math>\mathrm S_k</math> в пространстве <math>\mathrm{Multi}_kV</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{laf}\,\colon\mathrm S_k\!&\to\mathrm{GL}(\mathrm{Multi}_kV)\\u&\mapsto\mathrm{laf}_u\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>(\mathrm{laf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>. | <li>Представление (действие) <math>\mathrm{laf}</math> группы <math>\mathrm S_k</math> в пространстве <math>\mathrm{Multi}_kV</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{laf}\,\colon\mathrm S_k\!&\to\mathrm{GL}(\mathrm{Multi}_kV)\\u&\mapsto\mathrm{laf}_u\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>(\mathrm{laf}_u(\omega))(v_1,\ldots,v_k)=\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})</math>. | ||
<li>Пространство симметричных полилинейных форм: <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{laf}_{(i\;j)}(\omega)=\omega\bigr)\}\le\mathrm{Multi}_kV</math>. | <li>Пространство симметричных полилинейных форм: <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{laf}_{(i\;j)}(\omega)=\omega\bigr)\}\le\mathrm{Multi}_kV</math>. |
Версия 04:30, 22 апреля 2017
2 Линейная алгебра
| ||||||||||||
|
2.1 Векторные пространства
2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпростр.-во , порожд. мн.-вом , — наименьшее подпростр.-во, содержащее .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов мн.-ва : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено (и, значит, );
(2) , если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Утверждение: пусть ; тогда . Линейные дифференциальные уравн.-я и системы уравн.-й.
2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств , и : , и .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — независимое подмножество в и для любого вектора множество не является независимым подмножеством в
(то есть — максимальное независимое множество);
(у5) — порождающее подмножество в и для любого вектора множество не является порождающим подмножеством в
(то есть — минимальное порождающее множество). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и — базис пространства ; тогда
для любых существует единственный такой линейный оператор , что (и, значит, отображение
— изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о построении базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и , а также в пространстве существует
конечное порождающее подмножество; тогда
(1) если — независимое множество, то существует такой базис пространства , что (то есть можно дополнить до базиса);
(2) если — порождающее множество, то существует такой базис пространства , что (то есть из можно выделить базис);
(3) в пространстве существует базис.
2.1.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: , .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
2.1.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то (и, значит, );
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
отображение ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
2.2 Линейные операторы (часть 1)
2.2.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
- Элементарные матрицы: трансвекции , псевдоотражения .
- Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: и . Элемент. преобразования над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) ранг матрицы равен рангу линейного оператора ;
(2) и ;
(3) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(4) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(5) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам). - Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ). - Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
2.2.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Пространства билинейных операторов и . Пространства билинейных форм и . Примеры полилин.-х форм.
- Представление (действие) группы в пространстве : , где .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) . - Пр.-во форм объема: ; . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над
- Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .
Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
(1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению. - Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. Присоединенная матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(3) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.
Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — векторное пространство над полем и ;
рассмотрим действие группы на множестве по правилу и рассмотрим множество орбит
относительно этого действия; тогда отображение определено корректно и является биекцией. - Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).