|
|
Строка 10: |
Строка 10: |
| <li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. | | <li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов. |
| <li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. | | <li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>. |
− | <li>Подпространство: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle\le V\;\land\;\forall\,U\le V\;\bigl(D\subseteq U\,\Leftrightarrow\,\langle D\rangle\subseteq U\bigr)</math>. | + | <li>Подпростр.-во: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпростр.-во <math>\langle D\rangle</math>, порожд. мн.-вом <math>D</math>, — наименьшее подпростр.-во, содержащее <math>D</math>. |
| <li>Утверждение: <math>\langle D\rangle=\bigl\{\sum_{d\in D}f(d)\,d\mid f\in\mathrm{FinFunc}(D,K)\bigr\}</math>. Линейная комбинация элементов мн.-ва <math>D</math>: <math>\sum_{d\in D}f(d)\,d=f(d_1)\,d_1+\ldots+f(d_m)\,d_m</math>. | | <li>Утверждение: <math>\langle D\rangle=\bigl\{\sum_{d\in D}f(d)\,d\mid f\in\mathrm{FinFunc}(D,K)\bigr\}</math>. Линейная комбинация элементов мн.-ва <math>D</math>: <math>\sum_{d\in D}f(d)\,d=f(d_1)\,d_1+\ldots+f(d_m)\,d_m</math>. |
| <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. | | <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. |
| | | | | | | | | | Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. | А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия |
|
| | | | | | | | | | Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса, особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики. Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения) также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной. То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб- разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю- щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст- венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело- век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-) | По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html) |
|
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то .
- Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов).
- Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора.
(1) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ; тогда
, а также отображения и —
взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
(2) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ,
а также и ; тогда .
- Матрицы замены координат и замены базиса (): и . Пример: . Утверждение: , .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(2) если , то (и, значит, );
(3) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа).
- Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
отображение ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана).
- Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.
Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем , ,
, и (то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что .
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) |
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике |
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии |
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии |
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
|
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
- Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .
Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.
Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
(1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.
- Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. Присоединенная матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(3) и, если , то .
- Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ).
- Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.
Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — вект. простр.-во над полем и ; рассмотрим
множество орбит относительно действия ; тогда отображения и
определены корректно и являются взаимно обратными биекциями.
- Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).