Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 15: | Строка 15: | ||
<p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math> (и, значит, <math>\{a^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,a\}=V/\,\mathrm{Ker}\,a</math>);<br>(2) <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)</math>, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math> (и, значит, <math>\{a^{-1}(y)\mid y\in\mathrm{Im}\,a\}=V/\,\mathrm{Ker}\,a</math>);<br>(2) <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)</math>, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
<li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>. | <li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>. | ||
− | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{ | + | <li>Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}</math></i>. Линейные дифференциальные уравн.-я и системы уравн.-й.</ul> |
<h5>2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5> | <h5>2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5> | ||
Строка 70: | Строка 70: | ||
<li>Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\underline e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\underline e_i^i)\cdot a</math>. Элемент. преобразования над столбцами. | <li>Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\underline e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\underline e_i^i)\cdot a</math>. Элемент. преобразования над столбцами. | ||
<li>Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду. | <li>Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду. | ||
− | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math> | + | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства <math>\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math>;<br>(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p> |
<li>Метод Гаусса — приведение матрицы <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений. | <li>Метод Гаусса — приведение матрицы <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений. | ||
<li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы <math>a</math> (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. | <li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы <math>a</math> (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>. |
Версия 17:00, 27 февраля 2017
2 Линейная алгебра
| ||||||||||||
|
2.1 Векторные пространства
2.1.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с умножением на скаляры из , являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
- Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпространство: . Подпростр.-во, порожд. мн.-вом : .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов мн.-ва : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено (и, значит, );
(2) , если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Утверждение: пусть ; тогда . Линейные дифференциальные уравн.-я и системы уравн.-й.
2.1.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств , и : , и .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — независимое подмножество в и для любого вектора множество не является независимым подмножеством в
(то есть — максимальное независимое множество);
(у5) — порождающее подмножество в и для любого вектора множество не является порождающим подмножеством в
(то есть — минимальное порождающее множество). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и — базис пространства ; тогда
для любых существует единственный такой линейный оператор , что (и, значит, отображение
— изоморфизм векторных пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) , если и только если и — независимое множество;
(2) , если и только если — порождающее множество;
(3) , если и только если и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о построении базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и , а также в пространстве
существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) если — независимое множество, то существует такой базис пространства , что (то есть можно дополнить до базиса);
(2) если — порождающее множество, то существует такой базис пространства , что (то есть из можно выделить базис);
(3) в пространстве существует базис.
2.1.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора.
(1) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ; тогда
, а также отображения и —
взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
(2) Пусть — поле, — векторные пространства над полем , , , и ,
а также и ; тогда . - Матрицы замены координат и замены базиса (): и . Пример: . Утверждение: , .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
2.1.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(2) если , то (и, значит, );
(3) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
отображение ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то след. утв.-я эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.
Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем , ,
, и (то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
2.2 Линейные операторы (часть 1)
2.2.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
- Элементарные матрицы: трансвекции , псевдоотражения .
- Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: и . Элемент. преобразования над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) ранг матрицы равен рангу линейного оператора ;
(2) и ;
(3) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(4) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(5) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам). - Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности пространства по подпространству . - Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
2.2.2 Полилинейные отображения, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных отображений , . Пространства полилинейных форм , .
- Пространства билинейных отображений , . Пространства билинейных форм , . Примеры полилин. форм.
- Представление (действие) группы в пространстве : , где .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) . - Пр.-во форм объема: ; . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
2.2.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, ориентация векторного пространства над
- Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .
Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
(1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению. - Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. Присоединенная матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(3) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.
Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — вект. простр.-во над полем и ; рассмотрим
множество орбит относительно действия ; тогда отображения и
определены корректно и являются взаимно обратными биекциями. - Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).