Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Версия 05:20, 5 января 2017

2  Линейная алгебра

2.1  Векторные пространства

2.1.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа с умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$, являющимся действием эндоморфизмами по сложению.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы векторных пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — векторное пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)}$.
• Подпространство: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпростр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle \leq V\;\land \;\forall \,U\leq V\;{\bigl (}D\subseteq U\,\Leftrightarrow \,\langle D\rangle \subseteq U{\bigr )}}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}}$. Линейная комбинация элементов мн.-ва ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}}$.
• Ядро и образ линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a\leq V}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.

  Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$ выполнено ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$ (и, значит, ${\displaystyle \{a^{-1}(y)\mid y\in \mathrm {Im} \,a\}=V/\,\mathrm {Ker} \,a}$);
  (2) ${\displaystyle a\in \mathrm {Inj} (V,Y)}$, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Матричная запись системы из ${\displaystyle p}$ линейных урав.-й от ${\displaystyle n}$ переменных: ${\displaystyle a\cdot x=y}$, где ${\displaystyle x\in K^{n}}$, ${\displaystyle y\in K^{p}}$, ${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$. Однородная система: ${\displaystyle y=0}$.
• Утверждение: пусть ${\displaystyle a\cdot x_{0}=y}$; тогда ${\displaystyle \{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=y\}=x_{0}+\{x\in K^{n}\!\mid a\cdot x=0\}}$. Линейные дифференц. уравнения и системы уравнений.

2.1.2  Базисы и размерность векторного пространства

• ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$: ${\displaystyle \forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow \,f=0{\bigr )}}$. Базис — независимое и порождающее подмножество.
• Стандартные базисы пространств ${\displaystyle K^{n}}$, ${\displaystyle K_{n}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{{\underline {e}}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$, ${\displaystyle \{{\underline {e}}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$ и ${\displaystyle \{{\underline {e}}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B\subseteq V}$; тогда следующие условия эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (у2) отображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существует единственная такая функция ${\displaystyle f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)}$, что ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}f(b)\,b}$;
  (у4) ${\displaystyle B}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и для любого вектора ${\displaystyle v\in V\!\setminus \!B}$ множество ${\displaystyle B\cup \{v\}}$ не является независимым подмножеством в ${\displaystyle V}$
  (то есть ${\displaystyle B}$ — максимальное независимое подмножество в ${\displaystyle V}$);
  (у5) ${\displaystyle B}$ — порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$ и для любого вектора ${\displaystyle b\in B}$ множество ${\displaystyle B\!\setminus \!\{b\}}$ не является порождающим подмножеством в ${\displaystyle V}$
  (то есть ${\displaystyle B}$ — минимальное порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$).
• Теорема о порядках независимых и порождающих подмножеств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — вект. пр.-во над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle C\subseteq \langle D\rangle }$, то ${\displaystyle |C|\leq |D|}$;
  (2) если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ — базисы пространства ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle |C|=|D|}$.
• Теорема о построении базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$, а также в пространстве ${\displaystyle V}$
  существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) если ${\displaystyle C}$ — независимое подмн.-во в ${\displaystyle V}$, то существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle C\subseteq B}$ (то есть ${\displaystyle C}$ можно дополнить до базиса);
  (2) если ${\displaystyle D}$ — порождающее подмн.-во в ${\displaystyle V}$, то существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle B\subseteq D}$ (то есть из ${\displaystyle D}$ можно выделить базис);
  (3) в пространстве ${\displaystyle V}$ существует базис.
• Размерность ${\displaystyle \dim V}$ пространства ${\displaystyle V}$: порядок (мощность) базиса. Примеры: ${\displaystyle \dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n}$, ${\displaystyle \dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p}$, ${\displaystyle \dim K[x]=\infty }$.
• Теорема о свойствах размерности. ${\displaystyle V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y}$; пусть ${\displaystyle U\leq V}$, ${\displaystyle \dim U=\dim V<\infty }$; тогда ${\displaystyle U=V}$.