Test page — различия между версиями

Версия 22:20, 15 апреля 2016

Это песочница. Тут можно тестировать разметку.

Тестирование (h2)

Вот тут будет ненумерованный список:

• Первый элемент
• Второй элемент

А вот тут - нумерованный:

1. Первый элемент
2. Второй элемент

Заголовок (h3)

И еще один подзаголовок (h4)

И еще один подподзаголовок (h5)

Подподподзаголовок (h6)

= Подподподподзаголовок уже не работает =

А вот это - заголовок через HTML-тег

Математика

• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\epsilon _{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\mathbf {e} ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{\epsilon _{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{\epsilon ^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Стандартный базис пространства ${\displaystyle K^{p}}$: ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}}$. Стандартный базис пространства ${\displaystyle {}^{n}\!K}$: ${\displaystyle \{{\boldsymbol {\epsilon }}^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\mathbf {e} _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathbf {e} _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,\epsilon _{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1)\epsilon _{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные трансвекции ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}}$ и псевдоотражения ${\displaystyle \{\mathrm {id} _{n}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\mathbf {e} _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\mathbf {e} _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,\epsilon _{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)\epsilon _{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{k})\cdot a}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{i}^{i})\cdot a}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\mathbf {e} _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\mathbf {e} _{j}^{j})}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,\epsilon _{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)\epsilon _{j}^{j})}$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,{\boldsymbol {\epsilon }}_{l}^{j})}$ и второго типа ${\displaystyle a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1){\boldsymbol {\epsilon }}_{j}^{j})}$.
• (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=e_{1}^{1}+e_{2}^{2}+\ldots +e_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\mathbf {e} _{1}^{1}+\mathbf {e} _{2}^{2}+\ldots +\mathbf {e} _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'=\epsilon _{1}^{1}+\epsilon _{2}^{2}+\ldots +\epsilon _{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;
  (2) существуют такие матрицы ${\displaystyle g\in \mathrm {GL} (p,K)}$ и ${\displaystyle g'\in \mathrm {GL} (n,K)}$, что ${\displaystyle g\cdot a\cdot g'={\boldsymbol {\epsilon }}_{1}^{1}+{\boldsymbol {\epsilon }}_{2}^{2}+\ldots +{\boldsymbol {\epsilon }}_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}}$;

Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U,W\leq V}$;
обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}}$ отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
(1) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)}$, ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W}$;
(2) если ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана);
(3) ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V}$;
(3') если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \;\Leftrightarrow \;}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$.
(3') если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)}$${\displaystyle \,\Leftrightarrow \,}$${\displaystyle U\cap W=\{0\}\;\land \;\dim U+\dim W=\dim V}$.