Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Версия 00:30, 2 июля 2016

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в пространстве с симметричной (полу)билинейной формой. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле с инволюцией,
  ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle \dim V<\infty }$ и ${\displaystyle \sigma \in {\overline {\mathrm {S} \mathrm {Bi} }}(V)}$; обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$. Пусть ${\displaystyle d\in \mathrm {OB} (V)}$;
  для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle d_{1},\ldots ,d_{i}\rangle }$ и обозначим через ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle i}$-й угловой минор матрицы ${\displaystyle \sigma _{d,d}}$.
  Пусть для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ форма ${\displaystyle \sigma |_{V_{i}\times V_{i}}}$ невырождена (это равносильно тому, что ${\displaystyle m_{i}\neq 0}$). Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\displaystyle e\in V^{n}}$, что для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено ${\displaystyle e_{i}\in (d_{i}+V_{i-1})\cap V_{i-1}^{\perp }}$;
  (2) последовательность ${\displaystyle e}$, указанная в пункте (1), обладает следующими свойствами: ${\displaystyle e\in \mathrm {OOB} (V)}$ и для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  выполнено ${\displaystyle \sigma (e_{i},e_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}}$, а также ${\displaystyle e_{i}=d_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (d_{i},e_{j})}{\sigma (e_{j},e_{j})}}e_{j}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$).
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или эрмитовом пространстве. Пусть ${\displaystyle V}$ — евклидово или эрмитово пространство;
  обозначим через ${\displaystyle n}$ число ${\displaystyle \dim V}$. Пусть ${\displaystyle d\in \mathrm {OB} (V)}$; для любых ${\displaystyle i\in \{0,\ldots ,n\}}$ обозначим через ${\displaystyle V_{i}}$ пространство ${\displaystyle \langle d_{1},\ldots ,d_{i}\rangle }$. Тогда
  (1) существует единственная такая последовательность ${\displaystyle e\in V^{n}}$, что для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ выполнено ${\displaystyle e_{i}\in V_{i}\cap V_{i-1}^{\perp }}$ и ${\displaystyle \|e_{i}\|=1}$;
  (2) последовательность ${\displaystyle e}$, указанная в пункте (1), обладает следующими свойствами: ${\displaystyle e\in \mathrm {OnOB} (V)}$ и для любых ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$
  выполнено ${\displaystyle e_{i}={\frac {d_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(d_{i},e_{j})e_{j}}{\|d_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(d_{i},e_{j})e_{j}\|}}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$).