Алгебра, 2 семестр, 2014/15 — различия между версиями
| Строка 8: | Строка 8: | ||
[http://vk.com/id104645 Страничка М. Антипова] | [http://vk.com/id104645 Страничка М. Антипова] | ||
| + | |||
| + | 23.03.15 | ||
| + | |||
| + | 0. В 4-мерном пространстве выбрали порождающую систему из шести ненулевых векторов . Докажите, что а) ее можно разбить на 3 линейно независимые системы из двух элементов системы так б) обязательно ли можно разбить на 2 лин. независимые системы? | ||
| + | |||
| + | 1.Пусть A - множество из m элементов, P(A) - множество его подмножеств. | ||
| + | Заведем структуру векторного пространства над полем из двух элементов: | ||
| + | Определим сумму двух подмножеств как их симметрическую разность и положим | ||
| + | 1A=A и 0A равным пустому множеству. а) Найдите размерность этого пространства б)найдите размерность пространства, состоящего из четноэлементных подмножеств | ||
| + | в) докажите, что в любом m-1 мерном подпространстве найдется элемент,являющийся 10-элементным подмножеством (считаем m>100). | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 2. Дано подпространство n-мерного пространства, порожденное векторами а) вида (0,0,...1,1,1,0,0,..) б) вида (0,0,...1,1,-1,0,0,..) (любая или обе группы нулей могут отсутствовать). Задать его системой уравнений | ||
| + | |||
| + | 4. Дано n+2 вектора в n-мерном пространстве. Докажите, что у них есть нулевая линейная комбинация с нулевой суммой коэффициентов б) то же, но векторов n+3 и требуем дполнительно, чтобы сумма первых пяти коэффициентов равнялось удвленной сумме следующих десяти (или чего-нибудь такого на ваш вкус) | ||
| + | |||
| + | 5. Рассмотрим пространство функций, заданных, например, на отрезке с вещественными, например, значениями (сложение и умножение на скаляр определяются естественным образом). Докажите, что система из n функций линейна независима тогда и только тогда, когда в эти n функций можно подставить такие n аргументов, чтобы матрица, составленная из полученных n^2 значений имела бы ненулевой определитель. | ||
[[Category:1 курс. Весна 2015]] | [[Category:1 курс. Весна 2015]] | ||
Версия 08:48, 20 марта 2015
Группа М. А. Всемирнова
Группа М. А. Антипова
23.03.15
0. В 4-мерном пространстве выбрали порождающую систему из шести ненулевых векторов . Докажите, что а) ее можно разбить на 3 линейно независимые системы из двух элементов системы так б) обязательно ли можно разбить на 2 лин. независимые системы?
1.Пусть A - множество из m элементов, P(A) - множество его подмножеств. Заведем структуру векторного пространства над полем из двух элементов: Определим сумму двух подмножеств как их симметрическую разность и положим 1A=A и 0A равным пустому множеству. а) Найдите размерность этого пространства б)найдите размерность пространства, состоящего из четноэлементных подмножеств в) докажите, что в любом m-1 мерном подпространстве найдется элемент,являющийся 10-элементным подмножеством (считаем m>100).
2. Дано подпространство n-мерного пространства, порожденное векторами а) вида (0,0,...1,1,1,0,0,..) б) вида (0,0,...1,1,-1,0,0,..) (любая или обе группы нулей могут отсутствовать). Задать его системой уравнений
4. Дано n+2 вектора в n-мерном пространстве. Докажите, что у них есть нулевая линейная комбинация с нулевой суммой коэффициентов б) то же, но векторов n+3 и требуем дполнительно, чтобы сумма первых пяти коэффициентов равнялось удвленной сумме следующих десяти (или чего-нибудь такого на ваш вкус)
5. Рассмотрим пространство функций, заданных, например, на отрезке с вещественными, например, значениями (сложение и умножение на скаляр определяются естественным образом). Докажите, что система из n функций линейна независима тогда и только тогда, когда в эти n функций можно подставить такие n аргументов, чтобы матрица, составленная из полученных n^2 значений имела бы ненулевой определитель.
