Алгебра phys 2 осень — различия между версиями

Версия 00:30, 17 января 2019

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

11   Линейные операторы (часть 2)

• 11.1  Многочлены и ряды от линейных операторов
  Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
  линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
  оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
• 11.2  Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
  Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
  Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
  Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
• 11.3  Жорданова нормальная форма линейного оператора
  Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных
  независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
  Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.

12   Линейные операторы и ¯-билинейные формы

• 12.1  Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
  Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
  матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
• 12.2  Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
  Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
  Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
• 12.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
  Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
  унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
  собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
• 12.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах
  Препятствия к диагонализации над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Диагональные матрицы. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Спектральная
  теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
  теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
• 12.5  Специальная ортохронная группа Лоренца
  Теорема о сохранении скорости света. Группа ${\displaystyle \mathrm O(1,3)}$. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа ${\displaystyle \mathrm{SO}^+(1,3)}$. Бусты. Пространство Минковского.
  Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.

13   Многообразия (часть 1)

• 13.1  Определения и конструкции, связанные с многообразиями
  Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
  на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
• 13.2  Касательные пространства и кокасательные пространства
  Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
  пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
  при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.

14   Тензорные произведения векторных пространств

• 14.1  Определения и конструкции, связанные с тензорами
  Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.
  Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное
  произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
• 14.2  Тензоры типа ${\displaystyle (p,q)}$ и тензорная алгебра
  Пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензоры типа ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$, ${\displaystyle (0,1)}$, ${\displaystyle (1,1)}$, ${\displaystyle (0,2)}$, ${\displaystyle (1,2)}$ и ${\displaystyle (2,1)}$. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров
  типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензоры типа ${\displaystyle (p,q)}$ в координатах. Преобразование координат тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
• 14.3  Операции над тензорами типа ${\displaystyle (p,q)}$
  Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных
  форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
  Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.

15   Симметрические и внешние степени векторных пространств

• 15.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
  Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и
  альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической
  степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
• 15.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
  Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. Теорема о симметрическом
  произведении и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
• 15.3  Операции над внешними формами
  Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор
  Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.

16   Многообразия (часть 2)

• 16.1  Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
  Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (${\displaystyle 1}$-формы). Векторные поля и ${\displaystyle 1}$-формы, определяемые координатами.
  Векторные поля и ${\displaystyle 1}$-формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензорные поля типа ${\displaystyle (p,q)}$.
  Тензорные поля типа ${\displaystyle (p,q)}$ в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные ${\displaystyle k}$-формы. Алгебра дифференциальных форм.
• 16.2  Дифференциальные операции на многообразиях
  Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и
  точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
• 16.3  Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
  Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и
  диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.
  Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация о коллоквиуме

Вопросы к коллоквиуму по первой половине третьего семестра

1. Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
2. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
3. Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
4. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
5. Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
6. Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
7. Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
8. Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
9. Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.
10. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
11. Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
12. Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы.
13. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы.
14. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
15. Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
16. Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
17. Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств и следствие из нее.
18. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении.
19. Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
20. Препятствия к диагонализации над ${\displaystyle \mathbb {R} }$. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Диагональные матрицы. ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
21. Спектральная теорема для евклидовых пространств и следствие из нее. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.
22. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
23. Теорема о сохранении скорости света. Группа ${\displaystyle \mathrm O(1,3)}$.
24. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа ${\displaystyle \mathrm{SO}^+(1,3)}$. Бусты. Пространство Минковского.
25. Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
26. Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
27. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
28. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
29. Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
30. Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
31. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
32. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.

Правила проведения коллоквиума

• В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
  пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций и${\displaystyle /}$или
  подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже).
• Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и${\displaystyle /}$или подробный план курса на специальном
  столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
  начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
  «столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и${\displaystyle /}$или подробный план курса.
• Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
  если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
  Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи).
• После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
  дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
  половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача.
• При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра

1. Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
2. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
3. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
4. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
5. Пространство тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензоры типа ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,0)}$, ${\displaystyle (0,1)}$, ${\displaystyle (1,1)}$, ${\displaystyle (0,2)}$, ${\displaystyle (1,2)}$ и ${\displaystyle (2,1)}$.
6. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$.
7. Тензоры типа ${\displaystyle (p,q)}$ в координатах. Преобразование координат тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$.
8. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
9. Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц.
10. Тензорное произведение полилинейных форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах.
11. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
12. Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
13. Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
14. Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов.
15. Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
16. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
17. Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах.
18. Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
19. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
20. Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении.
21. Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
22. Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (${\displaystyle 1}$-формы).
23. Векторные поля и ${\displaystyle 1}$-формы, определяемые координатами. Векторные поля и ${\displaystyle 1}$-формы в координатах. Преобразования при замене координат.
24. Расслоение тензоров типа ${\displaystyle (p,q)}$. Тензорные поля типа ${\displaystyle (p,q)}$.
25. Тензорные поля типа ${\displaystyle (p,q)}$ в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные ${\displaystyle k}$-формы. Алгебра дифференциальных форм.
26. Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе.
27. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и точные формы.
28. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
29. Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий.
30. Бемоль и диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан.
31. Символы Кристоффеля. Теорема о связности Леви-Чивиты.
32. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.