Алгебра phys 1 осень — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 4: | Строка 4: | ||
<b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1uSWTbwoTKeQWyjoDbAQywoxC8xXyBMz5rjYNlBSkL8w/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.</b>] |
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br><br> | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/196U2JiRWnz2cZoufOW4gZHE2HTezBhAW6d-vaHt7s2U/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.</b>]<br><br> |
<font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | <font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | ||
Строка 50: | Строка 50: | ||
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах<br>кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ul><br> | Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах<br>кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ul><br> | ||
− | [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]] | + | [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> |
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Информация о коллоквиуме</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра</h5> | ||
+ | <ol><li>Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. | ||
+ | <li>Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. | ||
+ | <li>Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. | ||
+ | <li>Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. | ||
+ | <li>Разбиения. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. | ||
+ | <li>Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка. | ||
+ | <li>Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. | ||
+ | <li>Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. | ||
+ | <li>Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. | ||
+ | <li>Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. | ||
+ | <li>Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий. | ||
+ | <li>Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. | ||
+ | <li>Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. | ||
+ | <li>Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. | ||
+ | <li>Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента. | ||
+ | <li>Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. | ||
+ | <li>Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. | ||
+ | <li>Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. | ||
+ | <li>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. | ||
+ | <li>Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. | ||
+ | <li>Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. | ||
+ | <li>Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. | ||
+ | <li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. | ||
+ | <li>Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. | ||
+ | <li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена. | ||
+ | <li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. | ||
+ | <li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. | ||
+ | <li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. | ||
+ | <li>Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. | ||
+ | <li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>. | ||
+ | <li>Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов. | ||
+ | <li>Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ol> |
Версия 23:00, 5 октября 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.
Дополнительная литература
[1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] Ю.И. Манин. Математика как метафора.
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.
Содержание первого семестра курса алгебры
1 Множества, отображения, отношения
- 1.1 Множества
Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. - 1.2 Отображения
Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. - 1.3 Отношения
Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2 Группы (часть 1)
- 2.1 Множества с операцией
Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над
подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. - 2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. - 2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. - 2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3 Кольца (часть 1)
- 3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. - 3.2 Кольца многочленов
Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. - 3.3 Поле комплексных чисел
Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и . - 3.4 Тело кватернионов
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры
Информация о коллоквиуме
Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра
- Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
- Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение.
- Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
- Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали.
- Разбиения. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.
- Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
- Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
- Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции.
- Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
- Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
- Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий.
- Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
- Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
- Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
- Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
- Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
- Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
- Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
- Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
- Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
- Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
- Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика.
- Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
- Кольцо многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены.
- Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
- Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
- Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
- Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
- Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
- «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
- Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов.
- Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.