Алгебра phys 2 осень — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| Строка 20: | Строка 20: | ||
<h5>11 Линейные операторы (часть 2)</h5> | <h5>11 Линейные операторы (часть 2)</h5> | ||
<ul><li>11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов<br> | <ul><li>11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов<br> | ||
| + | Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные<br>линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного<br>оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. | ||
<li>11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br> | <li>11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора<br> | ||
| − | <li>11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора<br></ul> | + | Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.<br>Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.<br>Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. |
| + | <li>11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора<br> | ||
| + | Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительно<br>независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.<br>Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.</ul> | ||
<h5>12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h5> | <h5>12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h5> | ||
<ul><li>12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы<br> | <ul><li>12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы<br> | ||
| + | Группы автоморфизмов пространств с ¯-билинейной формой. Ортогональные и унитарные группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и<br>матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группы изометрий предгильбертовых пространств. Теорема об описании изометрий. | ||
<li>12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы<br> | <li>12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы<br> | ||
| + | Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.<br>Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором. Нормальные операторы. | ||
<li>12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах<br> | <li>12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах<br> | ||
| + | Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для<br>унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о<br>собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов. | ||
<li>12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах<br> | <li>12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах<br> | ||
| − | <li>12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца<br></ul> | + | Препятствия к диагонализации над <math>\mathbb R</math>. <math>\mathbb C</math>-Диагональные матрицы. <math>\mathbb C</math>-Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем <math>\mathbb R</math>. Спектральная<br>теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной<br>теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. |
| + | <li>12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца<br> | ||
| + | Теорема о сохранении скорости света. Группа <math>\mathrm O(1,3)</math>. Теорема о матричной группе Лоренца. Группа <math>\mathrm{SO}^+(1,3)</math>. Бусты. Пространство Минковского.<br>Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.</ul> | ||
<h5>13 Многообразия (часть 1)</h5> | <h5>13 Многообразия (часть 1)</h5> | ||
<ul><li>13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями<br> | <ul><li>13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями<br> | ||
| − | <li>13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства<br></ul><br> | + | Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые<br>на многообразиях. Скорость в координатах. Матрица из частных производных одних координат по другим координатам. Лемма о замене координат. |
| + | <li>13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства<br> | ||
| + | Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательном<br>пространстве. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования<br>при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.</ul><br> | ||
[[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
Версия 21:00, 12 сентября 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/1.
Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 201/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание третьего семестра курса алгебры
11 Линейные операторы (часть 2)
- 11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов
Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. - 11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. - 11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора
Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительно
независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
- 12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
Группы автоморфизмов пространств с ¯-билинейной формой. Ортогональные и унитарные группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группы изометрий предгильбертовых пространств. Теорема об описании изометрий. - 12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором. Нормальные операторы. - 12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов. - 12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
Препятствия к диагонализации над . -Диагональные матрицы. -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем . Спектральная
теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. - 12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца
Теорема о сохранении скорости света. Группа . Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Бусты. Пространство Минковского.
Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
13 Многообразия (часть 1)
- 13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями
Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
на многообразиях. Скорость в координатах. Матрица из частных производных одних координат по другим координатам. Лемма о замене координат. - 13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства
Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательном
пространстве. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры
