|
|
Строка 14: |
Строка 14: |
| <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. | | <li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. |
| <p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | | <p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> |
− | <li>Аффинные операторы: <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>. Аффинные подпростр.-ва: <math>v+U</math>, где <math>U\le V</math> (<math>U</math> — направляющее подпр.-во для <math>v+U</math>). | + | <li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>. |
− | <li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>.</ul> | + | <li>Аффинные операторы: <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>. Аффинные подпростр.-ва: <math>v+U</math>, где <math>U\le V</math> (<math>U</math> — направляющее подпр.-во для <math>v+U</math>).</ul> |
| | | |
| <h5>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5> | | <h5>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5> |
| | | | | | | | | | Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. | А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия |
|
| | | | | | | | | | Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса, особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики. Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения) также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной. То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб- разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю- щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст- венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело- век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-) | По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html) |
|
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то .
- Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов).
- Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора: . Утверждение: . Изоморфизм векторных простр.-в .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то .
- Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: ; то же в покомпонентной записи (, , ): .
- Факторпространство: с фактороперациями (). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа).
- Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
линейный оператор ; тогда
(1) если — базисы пространств соответственно, то —
базис пространства (и, значит, если дополнительно — изоморфизм, то — базис пространства );
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана).
- Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что .
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора: .
- Утверждение: и . Изоморфизм . Преобр.-я при замене базиса: , и .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: если , то — изоморфизм вект. пр.-в.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) |
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике |
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
скорость в точке гладкой кривой на многообразии |
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии |
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
|
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
- Ранг линейного оператора : . Ранги матрицы по столбцам и по строкам: и .
- Утверждение: , и . Тензорное произв.-е вектора и ковектора : .
- Утверждение: , и . Теорема о свойствах ранга. Утверждение: .
Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, — векторные пространства над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) (и, значит, для любых и выполнено );
(3) ;
(4) сущ.-т такие и , что (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду).
- Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): (, ). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ().
- Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства (и, значит, их количество равно ).
- Метод Гаусса для реш.-я системы : привед.-е к ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундамент. система решений.
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— аффинное подпространство в с направляющим подпространством .
- Определитель линейн. оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .
Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда отображение
— гомоморфизм моноидов по умножению, а также .
- Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения , , и метода Гаусса.
Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то (и, значит, ).
Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ).
- Собственные число и вектор лин. операт. : . Спектр лин. опер. : . Лемма о спектре.
Лемма о спектре. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем и ; тогда
и, если , то "" можно заменить на "".
- Характеристический многочлен матрицы : . Характеристический многочлен лин. оператора : . Корректность опред.-я.
- Утверждение: . След лин. оператора : . Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.
Теорема о характеристическом многочлене. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
и, если и , то и .