Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
__NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
− | <h2> | + | <h2>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</h2> |
<table cellpadding="6" cellspacing="0"> | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> | ||
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr><tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr> | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr><tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr> | ||
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table> | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table> | ||
− | <h3> | + | <h3>6 Векторные пространства</h3> |
− | <h5> | + | <h5>6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5> |
<ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве. | <ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве. | ||
<li>Примеры: простр.-ва столбцов и строк, простр.-ва матриц, простр.-ва функций, простр.-ва финитных функций, простр.-ва многочленов, простр.-ва рядов. | <li>Примеры: простр.-ва столбцов и строк, простр.-ва матриц, простр.-ва функций, простр.-ва финитных функций, простр.-ва многочленов, простр.-ва рядов. | ||
Строка 15: | Строка 15: | ||
<p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | ||
<li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>. | <li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>. | ||
− | <li> | + | <li>Аффинные операторы (отображения): <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math> и <math>z\in Y</math>. Аффинные подпространства: <math>U+v</math>, где <math>U\le V</math> и <math>v\in V</math>.</ul> |
− | <h5> | + | <h5>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5> |
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во: <math>V=\langle D\rangle</math>. Базис — независ. порожд. мн.-во. | <ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во: <math>V=\langle D\rangle</math>. Базис — независ. порожд. мн.-во. | ||
<li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math> и <math>K_n</math>: <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math> и <math>\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}</math>. Стандартный базис простр.-ва <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}</math>. | <li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math> и <math>K_n</math>: <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math> и <math>\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}</math>. Стандартный базис простр.-ва <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}</math>. | ||
Строка 26: | Строка 26: | ||
<li><u>Теорема о существовании базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и<br><math>D</math> — порождающее подмножество в <math>V</math>, а также в <math>V</math> существует конечное порождающее подмножество; тогда<br>(1) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>C\subseteq B</math> (и, значит, дополняя до базиса множество <math>\,\varnothing</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис);<br>(2) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>B\subseteq D</math> (и, значит, выделяя базис из множества <math>V</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис).</i></ul> | <li><u>Теорема о существовании базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и<br><math>D</math> — порождающее подмножество в <math>V</math>, а также в <math>V</math> существует конечное порождающее подмножество; тогда<br>(1) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>C\subseteq B</math> (и, значит, дополняя до базиса множество <math>\,\varnothing</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис);<br>(2) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>B\subseteq D</math> (и, значит, выделяя базис из множества <math>V</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис).</i></ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>6.3 Размерность, координаты, замена координат</h5> |
<ul><li>Размерность <math>\dim V</math> пр.-ва <math>V</math> — порядок (мощность) базиса пр.-ва <math>V</math>. Примеры: <math>\dim K^n\!=\dim K_n\!=n</math>, <math>\dim\mathrm{Mat}(p,n,K)=n\,p</math>, <math>\dim K[x]=\infty</math>. | <ul><li>Размерность <math>\dim V</math> пр.-ва <math>V</math> — порядок (мощность) базиса пр.-ва <math>V</math>. Примеры: <math>\dim K^n\!=\dim K_n\!=n</math>, <math>\dim\mathrm{Mat}(p,n,K)=n\,p</math>, <math>\dim K[x]=\infty</math>. | ||
<li><u>Теорема о свойствах размерности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любого независимого подмножества <math>C</math> в <math>V</math> выполнено <math>|C|\le\dim V</math> и, если <math>|C|=\dim V</math>, то <math>C</math> — базис;<br>(2) для любого порождающего подмножества <math>D</math> в <math>V</math> выполнено <math>|D|\ge\dim V</math> и, если <math>|D|=\dim V</math>, то <math>D</math> — базис;<br>(3) для любого подпространства <math>U</math> в <math>V</math> выполнено <math>\dim U\le\dim V</math> и, если <math>\dim U=\dim V</math>, то <math>U=V</math>.</i> | <li><u>Теорема о свойствах размерности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любого независимого подмножества <math>C</math> в <math>V</math> выполнено <math>|C|\le\dim V</math> и, если <math>|C|=\dim V</math>, то <math>C</math> — базис;<br>(2) для любого порождающего подмножества <math>D</math> в <math>V</math> выполнено <math>|D|\ge\dim V</math> и, если <math>|D|=\dim V</math>, то <math>D</math> — базис;<br>(3) для любого подпространства <math>U</math> в <math>V</math> выполнено <math>\dim U\le\dim V</math> и, если <math>\dim U=\dim V</math>, то <math>U=V</math>.</i> | ||
Строка 37: | Строка 37: | ||
<li>Преобразование матрицы линейного оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (если <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul> | <li>Преобразование матрицы линейного оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (если <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</h5> |
− | <ul><li> | + | <ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V/U</math>. |
<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | <p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p> | ||
<li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math> (и, значит, <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V-\dim U</math>);<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i> | <li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math> (и, значит, <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V-\dim U</math>);<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i> | ||
Строка 65: | Строка 65: | ||
<td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table><br> | <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table><br> | ||
− | <h3> | + | <h3>7 Линейные операторы (часть 1)</h3> |
− | <h5> | + | <h5>7.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора</h5> |
− | <ul><li> | + | <ul><li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n+(c-1)\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times\!</math>). |
<li>Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами. | <li>Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами. | ||
<li>Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду. | <li>Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду. | ||
Строка 77: | Строка 77: | ||
<li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда существуют такие упорядоченные базисы <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>.</i></ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>7.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема</h5> |
<ul><li>Пространства полилинейных операторов <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math>. Пространства полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math> и <math>\mathrm{Multi}_kV</math>. | <ul><li>Пространства полилинейных операторов <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math>. Пространства полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math> и <math>\mathrm{Multi}_kV</math>. | ||
<li>Пространства билинейных операторов <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math>. Пространства билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилин.-х форм. | <li>Пространства билинейных операторов <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math>. Пространства билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилин.-х форм. | ||
Строка 87: | Строка 87: | ||
<li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math> и для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(3) множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{VF}(V)</math> (и, значит, <math>\dim\mathrm{VF}(V)=1</math>);<br>(4) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul> | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1</math>;<br>(2) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math> и для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(3) множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{VF}(V)</math> (и, значит, <math>\dim\mathrm{VF}(V)=1</math>);<br>(4) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul> | ||
− | <h5> | + | <h5>7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора</h5> |
<ul><li>Определитель линейн. оператора <math>a</math> (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>\det a=\frac{\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))}{\omega(v_1,\ldots,v_n)}</math>, где <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)</math>. Корректность опр.-я. | <ul><li>Определитель линейн. оператора <math>a</math> (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>\det a=\frac{\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))}{\omega(v_1,\ldots,v_n)}</math>, где <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)</math>. Корректность опр.-я. | ||
<li>Утверждение: <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>. Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}</math>. | <li>Утверждение: <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>. Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}</math>. |
Версия 17:00, 3 января 2018
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
| ||||||||||||
|
6 Векторные пространства
6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
- Векторное пространство над полем — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из . Свойства операций в векторном пространстве.
- Примеры: простр.-ва столбцов и строк, простр.-ва матриц, простр.-ва функций, простр.-ва финитных функций, простр.-ва многочленов, простр.-ва рядов.
- Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): — вект. пространство. Кольцо , группа .
- Подпростр.-во: . Подпр.-во, порожд. мн.-вом : — наименьш. относ.-но подпр.-во, содержащ. .
- Утверждение: . Линейная комбинация элементов множества : .
- Ядро и образ линейного оператора : и . Утверждение: и . Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) — инъекция, если и только если . - Матричная запись системы из линейных уравн.-й от переменных: (, , ). Однородная система: .
- Аффинные операторы (отображения): , где и . Аффинные подпространства: , где и .
6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
- — независимое мн.-во: . — порождающее мн.-во: . Базис — независ. порожд. мн.-во.
- Стандартные базисы пространств и : и . Стандартный базис простр.-ва : .
- Теорема о свойствах базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда следующие утверждения эквивалентны:
(у1) — базис пространства ;
(у2) отображение — изоморфизм векторных пространств;
(у3) для любого вектора существует единственная такая финитная функция , что ;
(у4) — максимальное независимое множество (то есть — независимое мн.-во и для любых мн.-во не является независимым);
(у5) — минимальное порождающее множество (то есть — порождающее мн.-во и для любых мн.-во не является порождающим). - Теорема об универсальности базиса. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над и — базис пространства ; тогда для любых
существует единственный такой , что (и, значит, — изоморфизм вект. пространств). - Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть — поле, — вект. пр.-ва над , — базис пространства и ; тогда
(1) — инъекция, если и только если — инъекция и — независимое множество;
(2) — сюръекция, если и только если — порождающее множество;
(3) — изоморфизм, если и только если — инъекция и — базис. - Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть — поле, — вект. простр.-во над полем , и ; тогда
(1) если — независимое множество и , то ;
(2) если и — базисы пространства , то . - Теорема о существовании базиса. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , — независимое подмножество в и
— порождающее подмножество в , а также в существует конечное порождающее подмножество; тогда
(1) существует такой базис пространства , что (и, значит, дополняя до базиса множество , получаем, что в существует базис);
(2) существует такой базис пространства , что (и, значит, выделяя базис из множества , получаем, что в существует базис).
6.3 Размерность, координаты, замена координат
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то . - Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов). - Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то . - Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: и .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
- Факторпространство: с фактороперациями (). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: .
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ;
(1') если , то (и, значит, );
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа). - Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
линейный оператор ; тогда
(1) если и — базисы пространств соответственно, то множества попарно
не пересекаются и — базис пространства ;
(1') если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана). - Внутренняя прямая сумма: . Прямая сумма матриц. Лемма об инвариантном подпространстве.
Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , , , и
(то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что . - Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
7 Линейные операторы (часть 1)
7.1 Элементарные преобразования, метод Гаусса, ранг линейного оператора
- Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): (, ). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): ().
- Элементарные преобр.-я над строками 1-го и 2-го типов: и . Элементарные преобр.-я над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(3) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(4) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам). - Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ). - Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
7.2 Полилинейные операторы, симметричные и антисимметричные полилинейные формы, формы объема
- Пространства полилинейных операторов и . Пространства полилинейных форм и .
- Пространства билинейных операторов и . Пространства билинейных форм и . Примеры полилин.-х форм.
- Перестановка аргументов форм: . Действие группы : .
- Пространство симметричных полилинейных форм: .
- Пр.-во антисимм. полилин. форм: .
- Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) ;
(2) и, если , то "" можно заменить на "";
(3) если , то . - Простр.-во форм объема: , где . Форма объема, связанная с упоряд. базисом : .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
(1) и ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) множество — базис пространства (и, значит, );
(4) для любых и выполнено .
7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
- Определитель линейн. оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Утверждение: . Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: .
Теорема о свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда отображение
— гомоморфизм моноидов по умножению, а также . - Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения , , и метода Гаусса.
Теорема о присоединенной матрице. Пусть — коммутативное кольцо, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(2) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(3) и, если , то (и, значит, ).Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ). - Отн.-е одинак. ориентированности ( — кон.-мерн. в. пр. над , ): . Утверждение: .
- Ориентация кон.-мерн. вект. пр.-ва над — выбор элемента множества . Знак набора векторов: .
- Теорема о знаке базиса и формах объема. Мн.-во положит. форм объема в вект. пр.-ве с ориентацией: , где .
Теорема о знаке базиса и формах объема. Пусть — вект. простр.-во с ориентацией и ; тогда .