|
|
Строка 97: |
Строка 97: |
| <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>,<br>что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i> | | <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>,<br>что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i> |
| <li>Отнош.-е одинаковой ориентированности (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\;\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\;\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e>0</math>. Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. | | <li>Отнош.-е одинаковой ориентированности (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>e\;\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\;\tilde e\,\Leftrightarrow\,\det\mathrm c_e^\tilde e>0</math>. Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. |
− | <p><u>Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — вект. простр.-во над полем <math>\,\mathbb R</math> и <math>n=\dim V<\infty</math>; рассмотрим<br>множество орбит <math>\,\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}</math> относительно действия <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathrm{Bij}(\mathrm{VF}^\times\!(V))\\c&\mapsto\bigl(\omega\mapsto c\,\omega\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>; тогда отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim&\to\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}\!\\\mathrm{cl}\,_\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim(e)&\mapsto\mathbb R_{>0}\,vol^e\end{align}\!\biggr)</math> и<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}\!&\to\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim\\\mathbb R_{>0}\,\omega&\mapsto\{(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\mid\omega(v_1,\ldots,v_n)>0\}\end{align}\!\biggr)</math> определены корректно и являются взаимно обратными биекциями.</i></p> | + | <p><u>Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb R</math> и <math>\dim V<\infty</math>;<br>рассмотрим действие группы <math>\,\mathbb R_{>0}</math> на множестве <math>\,\mathrm{VF}^\times\!(V)</math> по правилу <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R_{>0}\!&\to\mathrm{Bij}(\mathrm{VF}^\times\!(V))\\c&\mapsto\bigl(\omega\mapsto c\,\omega\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и рассмотрим множество орбит <math>\,\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}</math><br>относительно этого действия; тогда отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim&\to\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}\!\\\mathrm{cl}\,_\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim(e)&\mapsto\mathbb R_{>0}\,vol^e\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является биекцией.</i></p> |
| <li>Ориентация вект. пространства <math>V</math>: элемент <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> множества <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math> (или соответствующий ему элемент <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math> множества <math>\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}</math>).</ul> | | <li>Ориентация вект. пространства <math>V</math>: элемент <math>\mathrm{OB}_{>0}(V)</math> множества <math>\mathrm{OB}(V)/\overset{\scriptscriptstyle\mathrm{or}}\sim</math> (или соответствующий ему элемент <math>\mathrm{VF}_{>0}(V)</math> множества <math>\mathrm{VF}^\times\!(V)/\mathbb R_{>0}</math>).</ul> |
| | | | | | | | | | Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. | А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия |
|
| | | | | | | | | | Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса, особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики. Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения) также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной. То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб- разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю- щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст- венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело- век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-) | По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html) |
|
- Размерность пр.-ва — порядок (мощность) базиса пр.-ва . Примеры: , , .
- Теорема о свойствах размерности. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любого независимого подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(2) для любого порождающего подмножества в выполнено и, если , то — базис;
(3) для любого подпространства в выполнено и, если , то .
- Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда
(1) , если и только если ;
(2) , если и только если ;
(3) , если и только если ;
(4) если , то (это принцип Дирихле для линейных операторов).
- Множество упорядоченных базисов: . Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств .
- Матрица линейн. оператора : . Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в .
Теорема о матрице линейного оператора. Пусть — поле и — векторные пространства над полем ; тогда
(1) если , , и , то , а также отображение
— изоморфизм векторных пространств (и, значит, );
(2) если , , и , то .
- Матрица замены координат (): . Пример: (, ). Утверждение: , .
- Преобразование столбца координат вектора: ; то же в покомпонентной записи: . Преобразование базиса: .
- Преобразование матрицы линейного оператора: ; то же в покомпонентной записи (если ): .
- Факторпростр.-во: с фактороперациями (). Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: . Аффинные подпростр.-ва.
Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
- Теорема о факторпространстве. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) если — базис пространства , — базис пространства и , то все классы смежности , где , попарно различны и
вместе образуют базис пространства ; кроме того, если , то ;
(2) если , — вект. пр.-во над и , то (это теорема о размерностях ядра и образа).
- Прямая сумма : с покомпонентными операциями. Обобщение ( — мн.-во): .
- Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; обозначим через
отображение ; тогда
(1) если и — базисы пространств соотв., то мн.-ва попарно не пересекаются и
— базис пространства ; кроме того, если , то ;
(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) , (у2) и
(у3) ;
(3) если , то в пункте (2) условие "" можно заменить на условие "";
(4) если и , то (это формула Грассмана).
- Внутренняя прямая сумма: . Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма.
Лемма об инвариантном подпространстве и матрице эндоморфизма. Пусть — поле, — векторное простр.-во над полем , ,
, и (то есть — -инвариантное подпространство), а также и ; тогда
(1) существуют такие , , и , что ;
(2) если , и , то существуют такие , и , что .
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Столбец . Строка координат ковектора.
- Утверждение: . Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и , а также .
- Двойственный оператор (): . Утверждение: пусть ; тогда — изоморфизм.
ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ (в таблице — поле, — векторное пространство над полем , и ) |
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике |
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии |
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
| преобразование базиса: |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии |
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
матричная запись: | покомпонентная запись:
|
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
- Элементарные матрицы: трансвекции , псевдоотражения .
- Элемент. преобразования над строками 1-го и 2-го типов: и . Элемент. преобразования над столбцами.
- Ступенч. и строго ступенч. по строкам и по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Приведение к строго ступенч. виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства ;
(3) количество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ).
- Метод Гаусса — приведение матрицы к строго ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундаментальная система решений.
- Ранг линейного оператора : . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) ранг матрицы равен рангу линейного оператора ;
(2) и ;
(3) для любых обратимых матриц и выполнено ;
(4) существуют такие обратимые матрицы и , что ;
(5) и (то есть ранг матрицы по столбцам равен рангу матрицы по строкам).
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда
(1) и, если , то ;
(2) , а также, если , то , и, если , то
— класс смежности по подпростр.-ву (и, значит, аффинное подпростр.-во размерности ).
- Теорема о приведении матрицы линейного оператора к почти единичному виду. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда существуют такие упорядоченные базисы и , что .
- Определитель линейного оператора (): , где и . Корректность опр.-я.
- Операторная и матричная теоремы о главных свойствах определителя. Специальная линейная группа: .
Операторная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.
Матричная теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле и ; тогда
(1) для любых определитель матрицы равен определителю линейного оператора ;
(2) и отображение — гомоморфизм моноидов по умножению.
- Миноры — определители подматриц. Дополнит. миноры. Присоединенная матрица: дополнит. минор матрицы в позиции .
- Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых выполнено и для любых выполнено ;
(2) для любых выполнено и для любых выполнено
(это формулы разложения определителя матрицы по -й строке матрицы и по -му столбцу матрицы соответственно);
(3) и, если , то .
- Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел ,
что в матрице существует такая подматрица размера , что (то есть ).
- Отнош.-е одинаковой ориентированности (): . Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема.
Лемма о биекции между классами базисов и классами форм объема. Пусть — векторное пространство над полем и ;
рассмотрим действие группы на множестве по правилу и рассмотрим множество орбит
относительно этого действия; тогда отображение определено корректно и является биекцией.
- Ориентация вект. пространства : элемент множества (или соответствующий ему элемент множества ).