Алгебра phys 1 февраль–март — различия между версиями

Текущая версия на 20:00, 10 марта 2019

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

6   Векторные пространства

6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами

• Векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из ${\displaystyle K}$. Свойства операций в векторном пространстве.
• Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
• Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,Y)}$ — вект. пространство. Кольцо ${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$, группа ${\displaystyle \mathrm {GL} (V)=\mathrm {Aut} (V)=\mathrm {End} (V)^{\times }}$.
• Подпростр.-во: ${\displaystyle U\leq V\,\Leftrightarrow \,U+U\subseteq U\,\land \,0\in U\,\land \,K\,U\subseteq U}$. Подпр.-во, порожд. мн.-вом ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \langle D\rangle }$ — наименьш. относ.-но ${\displaystyle \subseteq }$ подпр.-во, содержащ. ${\displaystyle D}$.
• Линейная комбинация элементов множества ${\displaystyle D}$: ${\displaystyle \sum _{d\in D}f(d)\,d=f(d_{1})\,d_{1}+\ldots +f(d_{m})\,d_{m}}$. Утверждение: ${\displaystyle \langle D\rangle ={\bigl \{}\sum _{d\in D}f(d)\,d\mid f\in \mathrm {FinFunc} (D,K){\bigr \}}}$.
• Ядро и образ линейного оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} \,a}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,a\leq V}$ и ${\displaystyle \,\mathrm {Im} \,a\leq Y}$. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.

  Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) для любых ${\displaystyle y\in Y}$ и ${\displaystyle v_{0}\in a^{-1}(y)}$ выполнено ${\displaystyle a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a}$;
  (2) ${\displaystyle a}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}}$.

• Матричная запись системы из ${\displaystyle p}$ линейных уравн.-й от ${\displaystyle n}$ переменных: ${\displaystyle a\cdot v=y}$ (${\displaystyle a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)}$, ${\displaystyle v\in K^{n}}$, ${\displaystyle y\in K^{p}}$). Однородная система: ${\displaystyle a\cdot v=0}$.
• Аффинные операторы: ${\displaystyle v\mapsto a(v)+z}$, где ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$. Аффинные подпростр.-ва: ${\displaystyle v+U}$, где ${\displaystyle U\leq V}$ (${\displaystyle U}$ — направляющее подпр.-во для ${\displaystyle v+U}$).

6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы

• ${\displaystyle C}$ — независимое мн.-во: ${\displaystyle \forall \,f\in \mathrm {FinFunc} (C,K)\;{\bigl (}\sum _{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0{\bigr )}}$. ${\displaystyle D}$ — порождающее мн.-во: ${\displaystyle V=\langle D\rangle }$. Базис — независ. порожд. мн.-во.
• Стандартные базисы пространств ${\displaystyle K^{n}}$ и ${\displaystyle K_{n}}$: ${\displaystyle \{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}}$ и ${\displaystyle \{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}}$. Стандартный базис простр.-ва ${\displaystyle \mathrm {Mat} (p,n,K)}$: ${\displaystyle \{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}}$.
• Теорема о свойствах базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B\subseteq V}$; тогда следующие утверждения эквивалентны:
  (у1) ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$;
  (у2) отображение ${\displaystyle {\Biggl (}\!{\begin{aligned}\,\mathrm {FinFunc} (B,K)&\to V\\f&\mapsto \sum _{b\in B}f(b)\,b\end{aligned}}\!{\Biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств;
  (у3) для любого вектора ${\displaystyle v\in V}$ существует единственная такая финитная функция ${\displaystyle f\in \mathrm {FinFunc} (B,K)}$, что ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}f(b)\,b}$;
  (у4) ${\displaystyle B}$ — максимальное независимое множество (то есть ${\displaystyle B}$ — независимое мн.-во и для любых ${\displaystyle v\in V\!\setminus \!B}$ мн.-во ${\displaystyle B\cup \{v\}}$ не является независимым);
  (у5) ${\displaystyle B}$ — минимальное порождающее множество (то есть ${\displaystyle B}$ — порождающее мн.-во и для любых ${\displaystyle b\in B}$ мн.-во ${\displaystyle B\!\setminus \!\{b\}}$ не является порождающим).
• Теорема о порядках независимых и порождающих множеств. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C,D\subseteq V}$ и ${\displaystyle |D|<\infty }$;
  тогда, если ${\displaystyle C}$ — независимое множество и ${\displaystyle C\subseteq \langle D\rangle }$, то ${\displaystyle |C|\leq |D|}$, и, если ${\displaystyle C}$ и ${\displaystyle D}$ — базисы пространства ${\displaystyle V}$, то ${\displaystyle |C|=|D|}$.
• Теорема о существовании базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle C}$ — независимое подмножество в ${\displaystyle V}$ и
  ${\displaystyle D}$ — порождающее подмножество в ${\displaystyle V}$, а также в ${\displaystyle V}$ существует конечное порождающее подмножество; тогда
  (1) существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle C\subseteq B}$ (и, значит, дополняя до базиса множество ${\displaystyle \,\varnothing}$, получаем, что в ${\displaystyle V}$ существует базис);
  (2) существует такой базис ${\displaystyle B}$ пространства ${\displaystyle V}$, что ${\displaystyle B\subseteq D}$ (и, значит, выделяя базис из множества ${\displaystyle V}$, получаем, что в ${\displaystyle V}$ существует базис).
• Теорема об универсальности базиса. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$; тогда для любых ${\displaystyle \alpha \in \mathrm {Func} (B,Y)}$
  существует единственный такой ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, что ${\displaystyle a|_{B}=\alpha }$ (и, значит, ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Func} (B,Y)\\a&\mapsto a|_{B}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм вект. пространств).
• Теорема о базисах и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — вект. пр.-ва над ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда
  (1) ${\displaystyle a}$ — инъекция, если и только если ${\displaystyle a|_{B}}$ — инъекция и ${\displaystyle a(B)}$ — независимое множество;
  (2) ${\displaystyle a}$ — сюръекция, если и только если ${\displaystyle a(B)}$ — порождающее множество;
  (3) ${\displaystyle a}$ — изоморфизм, если и только если ${\displaystyle a|_{B}}$ — инъекция и ${\displaystyle a(B)}$ — базис.

6.3  Размерность, координаты, замена координат

• Размерность ${\displaystyle \dim V}$ пр.-ва ${\displaystyle V}$ — порядок (мощность) базиса пр.-ва ${\displaystyle V}$. Примеры: ${\displaystyle \dim K^{n}\!=\dim K_{n}\!=n}$, ${\displaystyle \dim \mathrm {Mat} (p,n,K)=n\,p}$, ${\displaystyle \dim K[x]=\infty }$.
• Теорема о свойствах размерности. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V<\infty }$; тогда
  (1) для любого независимого подмножества ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle |C|\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |C|=\dim V}$, то ${\displaystyle C}$ — базис;
  (2) для любого порождающего подмножества ${\displaystyle D}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle |D|\geq \dim V}$ и, если ${\displaystyle |D|=\dim V}$, то ${\displaystyle D}$ — базис;
  (3) для любого подпространства ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle V}$ выполнено ${\displaystyle \dim U\leq \dim V}$ и, если ${\displaystyle \dim U=\dim V}$, то ${\displaystyle U=V}$.
• Теорема о размерности и линейных операторах. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle \dim V,\dim Y<\infty }$; тогда
  (1) ${\displaystyle \mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\leq \dim Y}$;
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)\neq \varnothing }$, если и только если ${\displaystyle \dim V\geq \dim Y}$;
  (3) ${\displaystyle V\cong Y}$, если и только если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$;
  (4) если ${\displaystyle \dim V=\dim Y}$, то ${\displaystyle \,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Iso} (V,Y)}$ (это принцип Дирихле для линейных операторов).
• Множество упорядоченных базисов: ${\displaystyle \mathrm {OB} (V)}$. Столбец координат вектора: ${\displaystyle v^{e}}$. Утверждение: ${\displaystyle v=e\cdot v^{e}}$. Изоморфизм векторных простр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.
• Матрица линейн. оператора ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle (a_{e}^{h})_{j}^{\bullet }=a(e_{j})^{h}}$. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$.

  Теорема о матрице линейного оператора. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле и ${\displaystyle V,X,Y,Z}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle p=\dim Y<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$ и ${\displaystyle h\in \mathrm {OB} (Y)}$, то ${\displaystyle \forall \,a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}}$, а также отображение
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)&\to \mathrm {Mat} (p,n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{h}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм векторных пространств (и, значит, ${\displaystyle \dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p}$);
  (2) если ${\displaystyle \dim V,\dim X,\dim Z<\infty }$, ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle f\in \mathrm {OB} (X)}$ и ${\displaystyle g\in \mathrm {OB} (Z)}$, то ${\displaystyle \forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)}$.

• Матрица замены координат (${\displaystyle e,{\tilde {e}}\in \mathrm {OB} (V)}$): ${\displaystyle \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}}$. Пример: ${\displaystyle \mathrm c_e^\mathbf e=e}$ (${\displaystyle V=K^n}$, ${\displaystyle \mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)}$). Утверждение: ${\displaystyle \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}}$.
• Преобразование столбца координат вектора: ${\displaystyle v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}}$; то же в покомпонентной записи: ${\displaystyle v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}}$. Преобразование базиса: ${\displaystyle {\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$.
• Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: ${\displaystyle a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$; то же в покомпонентной записи (${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle e=h}$, ${\displaystyle \tilde e=\tilde h}$): ${\displaystyle a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}}$.

6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство

• Факторпространство: ${\displaystyle V/U}$ с фактороперациями (${\displaystyle U\leq V}$). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: ${\displaystyle \mathrm{codim}_VU=\dim V/U}$.

  Теорема о гомоморфизме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V,Y}$ — векторные пространства над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$; тогда ${\displaystyle V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a}$.

• Теорема о факторпространстве. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle U\leq V}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle A}$ — базис пространства ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle B}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle A\subseteq B}$, то все классы смежности ${\displaystyle b+U}$, где ${\displaystyle b\in B\!\setminus \!A}$, попарно различны и
  вместе образуют базис пространства ${\displaystyle V/U}$;
  (1') если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle \dim V/U=\dim V-\dim U}$;
  (2) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, ${\displaystyle Y}$ — вект. пр.-во над ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$, то ${\displaystyle \dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V}$ (это теорема о размерностях ядра и образа).
• Прямая сумма ${\displaystyle U\oplus W}$: ${\displaystyle U\times W}$ с покомпонентными операциями. Обобщение (${\displaystyle I}$ — мн.-во): ${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\{f\in \mathrm {FinFunc} (I,\bigcup _{i\in I}V_{i})\mid \forall \,i\in I\;{\bigl (}f(i)\in V_{i}{\bigr )}\}}$.
• Теорема о прямой сумме. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ и ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}\leq V}$; обозначим через ${\displaystyle \mathrm {add} }$
  линейный оператор ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}&\to V\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}+\ldots +v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$; тогда
  (1) если ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{k}}$ — базисы пространств ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{k}}$ соответственно, то ${\displaystyle \{(b_1,0,\ldots,0)\mid b_1\in B_1\}\cup\ldots\cup\{(0,\ldots,0,b_k)\mid b_k\in B_k\}}$ —
  базис пространства ${\displaystyle V_1\oplus\ldots\oplus V_k}$ (и, значит, если дополнительно ${\displaystyle \mathrm {add} }$ — изоморфизм, то ${\displaystyle B_{1}\cup \ldots \cup B_{k}}$ — базис пространства ${\displaystyle V}$);
  (1') если ${\displaystyle \dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k}$;
  (2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) ${\displaystyle \mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$, (у2) ${\displaystyle \forall \,v\in V\;\exists !\,v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\;{\bigl (}v=v_{1}+\ldots +v_{k}{\bigr )}}$ и
  (у3) ${\displaystyle \forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}V_{i}\cap (V_{1}+\ldots +V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots +V_{k})=\{0\}{\bigr )}\,\land \,V=V_{1}+\ldots +V_{k}}$;
  (3) если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то в пункте (2) условие "${\displaystyle \,V=V_1+\ldots+V_k\!}$" можно заменить на условие "${\displaystyle \,\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!}$";
  (4) если ${\displaystyle U,W\leq V}$ и ${\displaystyle \dim U,\dim W<\infty }$, то ${\displaystyle \dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W}$ (это формула Грассмана).
• Внутренняя прямая сумма: ${\displaystyle V=V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k}\,\Leftrightarrow \,\mathrm {add} \in \mathrm {Iso} (V_{1}\oplus \ldots \oplus V_{k},V)}$. Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.

  Лемма об инвариантном подпространстве. Пусть ${\displaystyle K}$ — поле, ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle n=\dim V<\infty }$, ${\displaystyle a\in \mathrm {End} (V)}$, ${\displaystyle U\leq V}$ и
  ${\displaystyle a(U)\subseteq U}$ (то есть ${\displaystyle U}$ — ${\displaystyle a}$-инвариантное подпространство в ${\displaystyle V}$), а также ${\displaystyle n'=\dim U}$ и ${\displaystyle n''\!=n-n'}$; тогда
  (1) существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)}$, ${\displaystyle a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)}$ и ${\displaystyle b\in \mathrm {Mat} (n',n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$;
  (2) если ${\displaystyle W\leq V}$, ${\displaystyle V=U\oplus W}$ и ${\displaystyle a(W)\subseteq W}$, то существуют такие ${\displaystyle e\in \mathrm {OB} (V)}$, ${\displaystyle a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)}$ и ${\displaystyle a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)}$, что ${\displaystyle a_{e}^{e}={\Bigl (}{\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}}{\Bigr )}}$.

• Двойственное пространство: ${\displaystyle V^{*}\!=\mathrm {Hom} (V,K)}$. Двойственный базис: ${\displaystyle e^{j}=e_{j}^{*}={\bigl (}v\mapsto (v^{e})^{j}{\bigr )}}$. Столбец ${\displaystyle e^{*}\!={\biggl (}{\begin{smallmatrix}e^{1}\\\vdots \\e^{n}\end{smallmatrix}}{\biggr )}}$. Строка координат ковектора: ${\displaystyle \lambda_e}$.
• Утверждение: ${\displaystyle \lambda=\lambda_e\cdot e^*\!}$ и ${\displaystyle \lambda (v)=\lambda _{e}\cdot v^{e}}$. Изоморфизм ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\!\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$. Преобр.-я при замене базиса: ${\displaystyle \lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}$, ${\displaystyle \lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}}$ и ${\displaystyle \,\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*}$.
• Двойственный оператор (${\displaystyle a\in \mathrm {Hom} (V,Y)}$): ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)}$. Утверждение: если ${\displaystyle \dim V<\infty }$, то ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}V&\to V^{**}\\v&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — изоморфизм вект. пр.-в.