|
|
(не показаны 3 промежуточные версии этого же участника) |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | __NOTOC__
| + | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. |
| + | |
| + | <b>Преподаватель практики у подгруппы №1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. |
| + | |
| + | <b>Список подгруппы №1 на практике:</b> Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,<br>Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,<br>Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина. |
| + | |
| + | <b>Преподаватель практики у подгруппы №2:</b> Софья Сергеевна Афанасьева. |
| + | |
| + | <b>Список подгруппы №2 на практике:</b> Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,<br>Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,<br>Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин. |
| + | |
| + | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] |
| + | |
| + | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed<b>Таблица успеваемости студентов.</b>] |
| + | |
| + | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). |
| + | |
| <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> | | <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> |
| <table cellpadding="6" cellspacing="0"> | | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> |
− | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table><br> | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table> |
| | | |
| Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства. | | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства. |
Строка 30: |
Строка 45: |
| Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами. | | Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами. |
| | | |
− | <h2>Дифференциальные операции на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2> | + | <h2>Дифференциальные операторы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2> |
| | | |
| Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>). | | Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>). |
Строка 45: |
Строка 60: |
| <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul> | | <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul> |
| | | |
− | Нетривиальные примеры ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры <math>0</math>) суть<br>цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих систем<br>координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операций, можно написать формулы для<br>дифференциальных операций в цилиндрической и сферической системах координат.
| + | Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы<br>для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат. |
− | | + | |
− | <ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат: <math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>,<br><math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math> и <math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>.
| + | |
− | <li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат: <math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>,<br><math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math> и<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | <h2>2 Линейная алгебра</h2>
| + | |
− | <!--<h2>Алгебраические структуры</h2>
| + | |
− | | + | |
− | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.
| + | |
− | | + | |
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы №1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.
| + | |
− | | + | |
− | <b>Список подгруппы №1 на практике:</b> Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,<br>Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,<br>Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.
| + | |
− | | + | |
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы №2:</b> Софья Сергеевна Афанасьева.
| + | |
− | | + | |
− | <b>Список подгруппы №2 на практике:</b> Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,<br>Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,<br>Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.
| + | |
− | | + | |
− | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]]
| + | |
− | | + | |
− | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed?widget=false<b>Таблица успеваемости студентов.</b>]
| + | |
− | | + | |
− | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).
| + | |
− | | + | |
− | __NOTOC__
| + | |
− | <h2>2 Линейная алгебра</h2>
| + | |
− | | + | |
− | <h3>2.1 Матрицы, базисы, координаты</h3>
| + | |
− | <h5>2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
| + | |
− | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
| + | |
− | <li>Матричные единицы: <math>(\mathrm{se}_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathrm{se}_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
− | <li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{\mathrm{se}_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{\mathrm{se}^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
− | <li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
| + | |
− | <li>Строки матрицы: <math>a^i=\mathrm{se}^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы: <math>a_j=a\cdot\mathrm{se}_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k=\sum_{j=1}^pa^j_k\,b_j</math></i>.
| + | |
− | <li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
| + | |
− | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5>
| + | |
− | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>.
| + | |
− | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>.
| + | |
− | <li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>-->
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.1.3 Преобразования координат при замене базиса</h5>
| + | |
− | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}</math></i>.
| + | |
− | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
| + | |
− | <li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <!--<h5>2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
| + | |
− | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
− | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>.
| + | |
− | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_j^j)</math>.
| + | |
− | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
| + | |
− | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p>
| + | |
− | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h3>2.2 Линейные операторы (часть 1)</h3>
| + | |
− | <h5>2.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5>
| + | |
− | <ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>.
| + | |
− | <li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
| + | |
− | <p><u>Лемма о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p>
| + | |
− | <p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
| + | |
− | <li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i>
| + | |
− | <li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда выполнено <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math>.</i></ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.2.2 Ранг линейного оператора</h5>
| + | |
− | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
| + | |
− | <li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min\{\dim V,\dim Y\}</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
| + | |
− | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathrm{se}_1^1+\mathrm{se}_2^2+\ldots+\mathrm{se}_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.2.3 Системы линейных уравнений</h5>
| + | |
− | <ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>.
| + | |
− | <li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i>
| + | |
− | <li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h3>2.3 Конструкции над векторными пространствами</h3>
| + | |
− | <h5>2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств</h5>
| + | |
− | <ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>.
| + | |
− | <li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i>
| + | |
− | <li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
| + | |
− | <p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>;<br>(4) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i></p>
| + | |
− | <li>Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
| + | |
− | <li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.3.2 Двойственное пространство</h5>
| + | |
− | <ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\!\sum_{j=1}^{\dim V}\!\lambda(e_j)e^j</math>. Столбец <math>e^*</math>.
| + | |
− | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
| + | |
− | <li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
| + | |
− | <li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>-->
| + | |
− | <p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
| + | |
− | <tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
− | <td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
| + | |
− | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
| + | |
− | <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
− | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
| + | |
− | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
| + | |
− | <td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
− | <td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
| + | |
− | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
| + | |
− | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td>
| + | |
− | <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p>
| + | |
− | | + | |
− | <!--<h3>2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
| + | |
− | <h5>2.4.1 Отступление о симметрических группах</h5>
| + | |
− | <ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
| + | |
− | <li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
| + | |
− | <li><u>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s,\breve s\in\mathrm S_n</math>; тогда перестановки <math>s</math> и <math>\breve s</math> сопряжены, если и только<br>если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math> равны.</i>
| + | |
− | <li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
| + | |
− | <li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
| + | |
− | <li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любых <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
| + | |
− | <li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.</ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5>
| + | |
− | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math>, <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math>, <math>\mathrm{Multi}_kV</math>.
| + | |
− | <li>Пространства билинейных отображений <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math> и билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилинейных форм.
| + | |
− | <li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}_kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}_kV</math>.
| + | |
− | <li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
| + | |
− | <li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}_nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
| + | |
− | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}_nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>
| + | |
− | | + | |
− | <h5>2.4.3 Определитель линейного оператора</h5>
| + | |
− | <ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math>. Корректность определения.
| + | |
− | <li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
| + | |
− | <li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
| + | |
− | <li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
| + | |
− | <li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
| + | |
− | <li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
| + | |
| | | |
− | <h5>2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5>
| + | <ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>. |
− | <ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>. | + | <li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul> |
− | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i> | + | |
− | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i>
| + | |
− | <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>m\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i></ul>--> | + | |
Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура -мерного многообразия: на -мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и
структурой псевдориманова многообразия сигнатуры (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,
определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на (за исключением множества меры нуль)
являются цилиндрическая система координат и сферическая система координат . Ниже найдены функции , , для этих
систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы
для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.