Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
(не показано 26 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
<b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
Строка 26: | Строка 11: | ||
[[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] | ||
− | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed | + | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed<b>Таблица успеваемости студентов.</b>] |
<b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). | ||
− | + | <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> | |
− | <h2> | + | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> |
+ | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table> | ||
− | + | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | < | + | <ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>. |
− | < | + | <li>Глобальные <math>4</math>-мерные системы координат <math>\alpha</math> и <math>\tilde\alpha</math> на множестве <math>M</math> <i>инерциально согласованы в смысле СТО</i>, если замена координат <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> —<br>преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие <math>\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\in\mathrm{SO}^+(1,3)</math><br>и <math>\xi_\alpha^\tilde\alpha\in\mathbb R^4</math>, что для любых <math>x\in\mathbb R^4</math> выполнено <math>\tilde\alpha(\alpha^{-1}(x))=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot x+\xi_\alpha^\tilde\alpha</math>. |
− | <li> | + | <li><u>Лемма 1.</u> Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности. |
− | < | + | <li><i>Пространство событий в СТО</i> — множество <math>M</math>, на котором зафиксирован класс <math>\mathcal A_M</math> инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных<br><math>4</math>-мерных систем координат. |
+ | <li><i>Инерциальная система координат</i> на пространстве событий <math>M</math> в СТО — глобальная <math>4</math>-мерная система координат, принадлежащая классу <math>\mathcal A_M</math>.</ul> | ||
− | + | Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура <math>4</math>-мерного многообразия: на <math>4</math>-мерном<br>многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,<br>разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные<br>конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,<br>тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких<br>замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для<br>пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом<br>пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Всюду далее <math>M</math> — пространство событий в СТО. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | < | + | <ul><li><u>Лемма 2.</u> Для любых <math>m\in M</math>, <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>v^\tilde\alpha\!=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot v^\alpha</math> (здесь <math>v^\alpha</math> — столбец координат вектора <math>v</math> относительно базиса<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^0}(m),\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr\}</math> пространства <math>\mathrm T_mM</math>, определяемого инерциальной системой координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>). |
− | < | + | <li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> события <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
− | < | + | <li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
− | < | + | <li>Пусть <math>m\in M</math>; <i>скалярное произведение</i> <math>g(m)</math> на касательном пространстве <math>\mathrm T_mM</math> — невырожденная симметричная билинейная форма<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM\times\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\(v,w)&\mapsto(v^\alpha)^\mathtt T\!\cdot\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\cdot w^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
− | < | + | <li><u>Лемма 4.</u> Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
− | < | + | <li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> событий <math>m_1,\ldots,m_k</math><br>с коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
− | <li><u> | + | <li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
− | <li><u> | + | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через события <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>. |
+ | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> событий <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного простр.-ва <math>\mathrm T_mM</math>). | ||
+ | <li><u>Лемма 6.</u> Для любых <math>m,n\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>(n-m)^\alpha\!=\alpha(n)-\alpha(m)</math>. | ||
+ | <li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul> | ||
− | + | Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | < | + | <h2>Дифференциальные операторы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2> |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>). | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | < | + | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>j_1,j_2\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{j_1,j_2}\!=\frac{\partial x}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial x}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial y}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial y}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial z}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial z}{\partial x^{j_2}}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | < | + | |
− | + | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br><math>\sigma=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | <ul><li>Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат <math>(x^1,x^2,x^3)</math> на <math>\mathbb R^3</math> и обозначим через <math>e_1</math>, <math>e_2</math> и <math>e_3</math> векторные<br>поля <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\frac{\partial}{\partial x^1}</math>, <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\frac{\partial}{\partial x^2}</math> и <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\frac{\partial}{\partial x^3}</math> соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда<br><math>e^1\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,\mathrm dx^1</math>, <math>e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,\mathrm dx^2</math> и <math>e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,\mathrm dx^3</math>, а также <math>\sigma=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2</math> и <math>vol=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3</math>. | |
− | <ul><li> | + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; тогда<br>(1) <math>{\downarrow}\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>*\,({\downarrow}\,v)=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2</math>. |
− | + | <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем градиент функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\nabla f={\uparrow}\,(\mathrm df)={\uparrow}\,(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3)=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3</math>. | |
− | < | + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем дивергенцию векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow}\,v)=*\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math><br><math>=*\Bigl(\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\Bigr)=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)</math>. |
− | + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем ротор векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow}\,(*\,\mathrm d({\downarrow}\,v))={\uparrow}\,\bigl({*}\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3\bigr)\bigr)=</math><br><math>={\uparrow}\Bigl({*}\Bigl(\!\bigl(\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\Bigr)\!\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac{\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)}{\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\,e_1-\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}\,e_2+\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}\,e_3</math>. | |
− | + | <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul> | |
− | <li | + | |
− | < | + | Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы<br>для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | <ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>. | |
− | <ul><li> | + | <li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul> |
− | < | + | |
− | + | ||
− | + |
Текущая версия на 17:00, 21 июня 2017
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.
Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.
Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.
Файл с домашним заданием на 11-е ноября.
Таблица успеваемости студентов.
Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).
Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности
|
Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
- Глобальная -мерная система координат на множестве — биекция между множествами и .
- Глобальные -мерные системы координат и на множестве инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат —
преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие
и , что для любых выполнено . - Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
- Пространство событий в СТО — множество , на котором зафиксирован класс инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
-мерных систем координат. - Инерциальная система координат на пространстве событий в СТО — глобальная -мерная система координат, принадлежащая классу .
Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура -мерного многообразия: на -мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
Всюду далее — пространство событий в СТО.
- Лемма 2. Для любых , и выполнено (здесь — столбец координат вектора относительно базиса
пространства , определяемого инерциальной системой координат на ). - Пусть и ; сумма события и касательного вектора — событие , где .
- Лемма 3. Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; скалярное произведение на касательном пространстве — невырожденная симметричная билинейная форма
, где . - Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть , , и ; барицентрическая комбинация событий
с коэффициентами — событие , где . - Лемма 5. Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат на .
- Пусть ; прямая, проходящая через события и , — множество .
- Пусть ; разность событий и — скорость в нуле пути (это элемент касательного простр.-ва ).
- Лемма 6. Для любых и выполнено .
- Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ; тогда
(1) отображения и суть взаимно обратные биекции;
(2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.
Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и
структурой псевдориманова многообразия сигнатуры (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,
определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
Дифференциальные операторы на многообразии
Рассмотрим множество как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом
согласованности системы координат (эти координаты обозначаются ), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом
элемента длины») и формой объема («элементом объема») (в записи с тензорным произведением
и ).
Пусть — система координат на ; тогда
(1) , и ;
(2) , где для любых
выполнено ;
(3) , где есть якобиан замены координат при переходе от коорд. к коорд. .
Пусть — ортогональная положительно ориентированная система координат на (то есть и ); тогда
и , где .
- Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат на и обозначим через , и векторные
поля , и соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда
, и , а также и . - Пусть ; тогда
(1) ;
(2) . - Пусть ; найдем градиент функции в координатах :
. - Пусть ; найдем дивергенцию векторного поля в координатах :
. - Пусть ; найдем ротор векторного поля в координатах :
. - Пусть ; найдем лапласиан функции в координатах :
.
Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на (за исключением множества меры нуль)
являются цилиндрическая система координат и сферическая система координат . Ниже найдены функции , , для этих
систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы
для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.
- Функции , , для цилиндрической системы координат:
, ,
. - Функции , , для сферической системы координат:
, ,
.