Test page — различия между версиями

Текущая версия на 04:00, 28 января 2018

Formulas were compiled before January 16th, 2018. Formulas differ from the text, this is nice.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}}$, где ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha }$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta }$. Сопряжение: ${\displaystyle {\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i} }$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle a\,{\overline {a}}=|a|^{2}}$ и, если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ и ${\displaystyle {\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1}$. Экспонента от компл. числа ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=1}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$.
  (2) Для любых ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z}$).

• Тригонометрическая запись: ${\displaystyle r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}}$. Группа корней ${\displaystyle n}$-й степ. из ${\displaystyle 1}$: ${\displaystyle \mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle}$.
• Первообразные корни ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle 1}$. Корни ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}}$: ${\displaystyle \{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n}$.
• «Основная теорема алгебры»: ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — алгебраически замкнутое поле, то есть ${\displaystyle \forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr)}$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
• Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
  (1) Пусть ${\displaystyle f\in \mathbb {R} [x]}$, ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \beta \neq 0}$; тогда ${\displaystyle f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f}$.
  (2) ${\displaystyle \mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}}$.

Formulas were compiled after January 16th, 2018. Formulas do not differ from the text, this is not nice.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}}$, где ${\displaystyle \mathrm i^2=-1{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb R^2{}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}}$ и ${\displaystyle \mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}}$. Сопряжение: ${\displaystyle \overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}}$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle a\,\overline a=|a|^2{}}$ и, если ${\displaystyle a\ne0{}}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb C{}}$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \overline{a+b}=\overline a+\overline b{}}$ и ${\displaystyle \overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb C{}}$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1{}}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1{}}$. Экспонента от компл. числа ${\displaystyle a{}}$: ${\displaystyle \mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k{}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b{}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=1{}}$ и ${\displaystyle \mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}{}}$.
  (2) Для любых ${\displaystyle \varphi\in\mathbb R{}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i{}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}{}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z{}}$).

• Тригонометрическая запись: ${\displaystyle r\,(\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i)=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}{}}$. Группа корней ${\displaystyle n{}}$-й степ. из ${\displaystyle 1{}}$: ${\displaystyle \mathrm C_n\!=\{a\in\mathbb C\mid a^n\!=1\}=\{1,\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i},\ldots,\mathrm e^{\frac{2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\langle\mathrm e^{\frac{2\pi}n\mathrm i}\rangle{}}$.
• Первообразные корни ${\displaystyle n{}}$-й степени из ${\displaystyle 1{}}$. Корни ${\displaystyle n{}}$-й степени из ${\displaystyle r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}{}}$: ${\displaystyle \{a\in\mathbb C\mid a^n\!=r\,\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\}=\{\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i},\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi}n\mathrm i},\ldots,\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac{\varphi+2\pi(n-1)}n\mathrm i}\}=\sqrt[n]r\,\mathrm e^{\frac\varphi n\mathrm i}\,\mathrm C_n{}}$.
• «Основная теорема алгебры»: ${\displaystyle \mathbb C{}}$ — алгебраически замкнутое поле, то есть ${\displaystyle \forall\,f\in\mathbb C[x]\!\setminus\!\mathbb C^\times\;\exists\,a\in\mathbb C\;\bigl(f(a)=0\bigr){}}$ (без доказ.-ва; см. § 3 главы 6 в [3]).
• Теорема о неприводимых многочленах над полями R и C.
  (1) Пусть ${\displaystyle f\in\mathbb R[x]{}}$, ${\displaystyle \alpha,\beta\in\mathbb R{}}$ и ${\displaystyle \beta\ne0{}}$; тогда ${\displaystyle f(\alpha+\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,f(\alpha-\beta\,\mathrm i)=0\;\Leftrightarrow\,(x^2-2\alpha\,x+\alpha^2+\beta^2)\,|\,f{}}$.
  (2) ${\displaystyle \mathrm{Irr}(\mathbb R[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb R,\,a\ne0\}\cup\{a\,x^2+b\,x+c\mid a,b,c\in\mathbb R,\,b^2-4a\,c<0\}{}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm{Irr}(\mathbb C[x])=\{a\,x+b\mid a,b\in\mathbb C,\,a\ne0\}{}}$.

There are formulas that were compiled before January 16th, 2018, and formulas that were compiled after January 16th, 2018. Rasterization is different.

• ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$. ${\displaystyle (X+Y)+Z=X+(Y+Z)}$. ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$. ${\displaystyle X+Y=Y+X}$.