Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Текущая версия на 17:00, 21 июня 2017

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).

Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

• Глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат на множестве ${\displaystyle M}$ — биекция между множествами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$.
• Глобальные ${\displaystyle 4}$-мерные системы координат ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$ на множестве ${\displaystyle M}$ инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}}$ —
  преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие ${\displaystyle \Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$
  и ${\displaystyle \xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{4}}$, что для любых ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{4}}$ выполнено ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}(\alpha ^{-1}(x))=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot x+\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}}$.
• Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
• Пространство событий в СТО — множество ${\displaystyle M}$, на котором зафиксирован класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$ инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
  ${\displaystyle 4}$-мерных систем координат.
• Инерциальная система координат на пространстве событий ${\displaystyle M}$ в СТО — глобальная ${\displaystyle 4}$-мерная система координат, принадлежащая классу ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{M}}$.

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура ${\displaystyle 4}$-мерного многообразия: на ${\displaystyle 4}$-мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Всюду далее ${\displaystyle M}$ — пространство событий в СТО.

• Лемма 2. Для любых ${\displaystyle m\in M}$, ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$ и ${\displaystyle \alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle v^{\tilde {\alpha }}\!=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot v^{\alpha }}$ (здесь ${\displaystyle v^{\alpha }}$ — столбец координат вектора ${\displaystyle v}$ относительно базиса
  ${\displaystyle {\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{0}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(m){\Bigr \}}}$ пространства ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$, определяемого инерциальной системой координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$).
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{m}M}$; сумма ${\displaystyle n+v}$ события ${\displaystyle n}$ и касательного вектора ${\displaystyle v}$ — событие ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\alpha (n)+v^{\alpha })}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 3. Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m\in M}$; скалярное произведение ${\displaystyle g(m)}$ на касательном пространстве ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$ — невырожденная симметричная билинейная форма
  ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M\times \mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} \\(v,w)&\mapsto (v^{\alpha })^{\mathtt {T}}\!\cdot \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)\cdot w^{\alpha }\!\end{aligned}}\!{\biggr )}}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}\in M}$, ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}\in \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \tau _{1}+\ldots +\tau _{k}=1}$; барицентрическая комбинация ${\displaystyle \tau _{1}m_{1}+\ldots +\tau _{k}m_{k}}$ событий ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}}$
  с коэффициентами ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{k}}$ — событие ${\displaystyle \alpha ^{-1}(\tau _{1}\alpha (m_{1})+\ldots +\tau _{k}\alpha (m_{k}))}$, где ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$.
• Лемма 5. Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат ${\displaystyle \alpha }$ на ${\displaystyle M}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; прямая, проходящая через события ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$, — множество ${\displaystyle \{(1-\tau )m+\tau \,n\mid \tau \in \mathbb {R} \}}$.
• Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; разность ${\displaystyle n-m}$ событий ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — скорость в нуле пути ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to M\\\tau &\mapsto (1-\tau )m+\tau \,n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ (это элемент касательного простр.-ва ${\displaystyle \mathrm {T} _{m}M}$).
• Лемма 6. Для любых ${\displaystyle m,n\in M}$ и ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}_{M}}$ выполнено ${\displaystyle (n-m)^{\alpha }\!=\alpha (n)-\alpha (m)}$.
• Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть ${\displaystyle m,n\in M}$; тогда
  (1) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to M\\v&\mapsto m+v\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\n&\mapsto n-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные биекции;
  (2) отображения ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathrm {T} _{n}M\\v&\mapsto (n+v)-n\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ и ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\v&\mapsto (m+v)-m\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.

Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и
структурой псевдориманова многообразия сигнатуры ${\displaystyle (1,3)}$ (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,
определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.

Дифференциальные операторы на многообразии ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Рассмотрим множество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом
согласованности системы координат ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{3}}}$ (эти координаты обозначаются ${\displaystyle (x,y,z)}$), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом
элемента длины») ${\displaystyle \sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}}$ и формой объема («элементом объема») ${\displaystyle vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z}$ (в записи с тензорным произведением
${\displaystyle \sigma =\mathrm {d} x\otimes \mathrm {d} x+\mathrm {d} y\otimes \mathrm {d} y+\mathrm {d} z\otimes \mathrm {d} z}$ и ${\displaystyle vol=\mathrm {d} x\otimes \mathrm {d} y\otimes \mathrm {d} z+\mathrm {d} y\otimes \mathrm {d} z\otimes \mathrm {d} x+\mathrm {d} z\otimes \mathrm {d} x\otimes \mathrm {d} y-\mathrm {d} x\otimes \mathrm {d} z\otimes \mathrm {d} y-\mathrm {d} z\otimes \mathrm {d} y\otimes \mathrm {d} x-\mathrm {d} y\otimes \mathrm {d} x\otimes \mathrm {d} z}$).

Пусть ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ — система координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$; тогда
(1) ${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial x}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial x}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$, ${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial y}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial y}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$ и ${\displaystyle \mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial z}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial z}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$;
(2) ${\displaystyle \sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}=\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}+2\,\sigma _{1,2}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{2}+2\,\sigma _{1,3}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{3}+2\,\sigma _{2,3}\,\mathrm {d} x^{2}\,\mathrm {d} x^{3}}$, где для любых
${\displaystyle j_{1},j_{2}\in \{1,2,3\}}$ выполнено ${\displaystyle \sigma _{j_{1},j_{2}}\!={\frac {\partial x}{\partial x^{j_{1}}}}{\frac {\partial x}{\partial x^{j_{2}}}}+{\frac {\partial y}{\partial x^{j_{1}}}}{\frac {\partial y}{\partial x^{j_{2}}}}+{\frac {\partial z}{\partial x^{j_{1}}}}{\frac {\partial z}{\partial x^{j_{2}}}}}$;
(3) ${\displaystyle vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$, где ${\displaystyle vol_{1,2,3}}$ есть якобиан замены координат при переходе от коорд. ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ к коорд. ${\displaystyle (x,y,z)}$.

Пусть ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ — ортогональная положительно ориентированная система координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (то есть ${\displaystyle \sigma _{1,2}=\sigma _{1,3}=\sigma _{2,3}=0}$ и ${\displaystyle vol_{1,2,3}\!>0}$); тогда
${\displaystyle \sigma =\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}}$ и ${\displaystyle vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}}$, где ${\displaystyle vol_{1,2,3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}$.

• Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ и обозначим через ${\displaystyle e_{1}}$, ${\displaystyle e_{2}}$ и ${\displaystyle e_{3}}$ векторные
  поля ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}}$ соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда
  ${\displaystyle e^{1}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,\mathrm {d} x^{1}}$, ${\displaystyle e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,\mathrm {d} x^{2}}$ и ${\displaystyle e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,\mathrm {d} x^{3}}$, а также ${\displaystyle \sigma =(e^{1})^{2}+(e^{2})^{2}+(e^{3})^{2}}$ и ${\displaystyle vol=e^{1}\!\wedge e^{2}\!\wedge e^{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; тогда
  (1) ${\displaystyle {\downarrow }\,v=v^{1}e^{1}+v^{2}e^{2}+v^{3}e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}}$;
  (2) ${\displaystyle *\,({\downarrow }\,v)=v^{1}e^{2}\!\wedge e^{3}-v^{2}e^{1}\!\wedge e^{3}+v^{3}e^{1}\!\wedge e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}}$.
• Пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем градиент функции ${\displaystyle f}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \nabla f={\uparrow }\,(\mathrm {d} f)={\uparrow }\,(\partial _{1}f\;\mathrm {d} x^{1}+\partial _{2}f\;\mathrm {d} x^{2}+\partial _{3}f\;\mathrm {d} x^{3})={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем дивергенцию векторного поля ${\displaystyle v}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \mathrm {div} \,v=*\,\mathrm {d} \,{*}\,({\downarrow }\,v)=*\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\bigr )}=}$
  ${\displaystyle =*{\Bigl (}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}{\Bigr )}=}$
  ${\displaystyle ={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}}$.
• Пусть ${\displaystyle v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем ротор векторного поля ${\displaystyle v}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \mathrm {rot} \,v={\uparrow }\,(*\,\mathrm {d} ({\downarrow }\,v))={\uparrow }\,{\bigl (}{*}\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}{\bigr )}{\bigr )}=}$
  ${\displaystyle ={\uparrow }{\Bigl (}{*}{\Bigl (}\!{\bigl (}\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\Bigr )}\!{\Bigr )}\!=}$
  ${\displaystyle ={\frac {\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{1}-{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{2}+{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}\,e_{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})}$; найдем лапласиан функции ${\displaystyle f}$ в координатах ${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})}$:
  ${\displaystyle \Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)=\mathrm {div} {\Bigl (}{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}{\Bigr )}\!=}$
  ${\displaystyle ={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\Bigl (}\partial _{1}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}\,\partial _{1}f{\Bigr )}+\partial _{2}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}\,\partial _{2}f{\Bigr )}+\partial _{3}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}\,\partial _{3}f{\Bigr )}\!{\Bigr )}}$.

Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ (за исключением множества меры нуль)
являются цилиндрическая система координат ${\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)}$ и сферическая система координат ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$. Ниже найдены функции ${\displaystyle \sigma _{1,1}}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$, ${\displaystyle \sigma _{3,3}}$ для этих
систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы
для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.

• Функции ${\displaystyle \sigma _{1,1}}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$, ${\displaystyle \sigma _{3,3}}$ для цилиндрической системы координат:
  ${\displaystyle \sigma _{1,1}={\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \cos \varphi )}{\partial \rho }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \sin \varphi )}{\partial \rho }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial \rho }}{\Bigr )}^{\!2}\!=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}={\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \cos \varphi )}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \sin \varphi )}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!=\rho ^{2}}$,
  ${\displaystyle \sigma _{3,3}={\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \cos \varphi )}{\partial z}}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (\rho \sin \varphi )}{\partial z}}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial z}{\partial z}}{\Bigr )}^{\!2}\!=1}$.
• Функции ${\displaystyle \sigma _{1,1}}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}}$, ${\displaystyle \sigma _{3,3}}$ для сферической системы координат:
  ${\displaystyle \sigma _{1,1}={\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \cos \varphi )}{\partial r}}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \sin \varphi )}{\partial r}}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\cos \theta )}{\partial r}}{\Bigr )}^{\!2}\!=1}$, ${\displaystyle \sigma _{2,2}={\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \cos \varphi )}{\partial \theta }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \sin \varphi )}{\partial \theta }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\cos \theta )}{\partial \theta }}{\Bigr )}^{\!2}\!=r^{2}}$,
  ${\displaystyle \sigma _{3,3}={\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \cos \varphi )}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\sin \theta \sin \varphi )}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!+{\Bigl (}{\frac {\partial (r\cos \theta )}{\partial \varphi }}{\Bigr )}^{\!2}\!=r^{2}\sin ^{2}\theta }$.