Алгебра phys 2 осень — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) м (Goryachko переименовал страницу Алгебра phys 2 осень 2018 в Алгебра phys 2 осень) |
||
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 4: | Строка 4: | ||
<b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы 201/1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/ | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1uSWTbwoTKeQWyjoDbAQywoxC8xXyBMz5rjYNlBSkL8w/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/1.</b>] |
− | <b>Преподаватель практики у подгруппы 201/2:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/ | + | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/2:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/196U2JiRWnz2cZoufOW4gZHE2HTezBhAW6d-vaHt7s2U/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/2.</b>]<br><br> |
<font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | <font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | ||
Строка 42: | Строка 42: | ||
Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые<br>на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат. | Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые<br>на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат. | ||
<li>13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства<br> | <li>13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства<br> | ||
− | Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных<br>пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования<br>при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.</ul | + | Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных<br>пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования<br>при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.</ul> |
− | [[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> | + | <h5>14 Тензорные произведения векторных пространств</h5> |
+ | <ul><li>14.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами<br> | ||
+ | Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.<br>Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное<br>произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах. | ||
+ | <li>14.2 Тензоры типа <math>(p,q)</math> и тензорная алгебра<br> | ||
+ | Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензоры типа <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(1,1)</math>, <math>(0,2)</math>, <math>(1,2)</math> и <math>(2,1)</math>. Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров<br>типа <math>(p,q)</math>. Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразование координат тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре. | ||
+ | <li>14.3 Операции над тензорами типа <math>(p,q)</math><br> | ||
+ | Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных<br>форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.<br>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>15 Симметрические и внешние степени векторных пространств</h5> | ||
+ | <ul><li>15.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами<br> | ||
+ | Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и<br>альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической<br>степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора. | ||
+ | <li>15.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра<br> | ||
+ | Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. Теорема о симметрическом<br>произведении и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. | ||
+ | <li>15.3 Операции над внешними формами<br> | ||
+ | Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор<br>Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>16 Многообразия (часть 2)</h5> | ||
+ | <ul><li>16.1 Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля<br> | ||
+ | Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (<math>1</math>-формы). Векторные поля и <math>1</math>-формы, определяемые координатами.<br>Векторные поля и <math>1</math>-формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля типа <math>(p,q)</math>.<br>Тензорные поля типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные <math>k</math>-формы. Алгебра дифференциальных форм. | ||
+ | <li>16.2 Дифференциальные операции на многообразиях<br> | ||
+ | Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и<br>точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение. | ||
+ | <li>16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)<br> | ||
+ | Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и<br>диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.<br>Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.</ul><br> | ||
+ | |||
+ | [[Алгебра_phys_2_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
+ | |||
+ | [[Алгебра_phys_2_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> | ||
<font size="3"><b><u>Информация о коллоквиуме</u></b></font> | <font size="3"><b><u>Информация о коллоквиуме</u></b></font> | ||
Строка 87: | Строка 113: | ||
<li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).<br>Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).<br>Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). | ||
<li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой<br>половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача. | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой<br>половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача. | ||
− | <li>При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul> | + | <li>При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul><br> |
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра</h5> | ||
+ | <ol><li>Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. | ||
+ | <li>Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения. | ||
+ | <li>Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов. | ||
+ | <li>Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах. | ||
+ | <li>Пространство тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензоры типа <math>(0,0)</math>, <math>(1,0)</math>, <math>(0,1)</math>, <math>(1,1)</math>, <math>(0,2)</math>, <math>(1,2)</math> и <math>(2,1)</math>. | ||
+ | <li>Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа <math>(p,q)</math>. | ||
+ | <li>Тензоры типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразование координат тензоров типа <math>(p,q)</math>. | ||
+ | <li>Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре. | ||
+ | <li>Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. | ||
+ | <li>Тензорное произведение полилинейных форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. | ||
+ | <li>Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности. | ||
+ | <li>Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах. | ||
+ | <li>Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. | ||
+ | <li>Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов. | ||
+ | <li>Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени. | ||
+ | <li>Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора. | ||
+ | <li>Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. | ||
+ | <li>Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. | ||
+ | <li>Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. | ||
+ | <li>Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. | ||
+ | <li>Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа. | ||
+ | <li>Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (<math>1</math>-формы). | ||
+ | <li>Векторные поля и <math>1</math>-формы, определяемые координатами. Векторные поля и <math>1</math>-формы в координатах. Преобразования при замене координат. | ||
+ | <li>Расслоение тензоров типа <math>(p,q)</math>. Тензорные поля типа <math>(p,q)</math>. | ||
+ | <li>Тензорные поля типа <math>(p,q)</math> в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные <math>k</math>-формы. Алгебра дифференциальных форм. | ||
+ | <li>Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. | ||
+ | <li>Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и точные формы. | ||
+ | <li>Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение. | ||
+ | <li>Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. | ||
+ | <li>Бемоль и диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. | ||
+ | <li>Символы Кристоффеля. Теорема о связности Леви-Чивиты. | ||
+ | <li>Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.</ol> | ||
+ | |||
+ | <h5>Правила проведения экзамена</h5> | ||
+ | <ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие<br>принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план<br>курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). | ||
+ | <li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса. | ||
+ | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).<br>Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). | ||
+ | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. | ||
+ | <li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul> |
Текущая версия на 12:00, 15 октября 2019
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/1.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 201/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 201/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] М.О. Катанаев. Геометрические методы в математической физике.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание третьего семестра курса алгебры
11 Линейные операторы (часть 2)
- 11.1 Многочлены и ряды от линейных операторов
Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора. Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные
линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене. Теорема о ядрах многочленов от линейного
оператора. Проекторы и отражения. Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. - 11.2 Собственные, обобщенные собственные и корневые подпространства линейного оператора
Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки. - 11.3 Жорданова нормальная форма линейного оператора
Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах. Теорема об относительных
независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора. Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
12 Линейные операторы и ¯-билинейные формы
- 12.1 Автоморфизмы пространств с формой, ортогональные и унитарные операторы и матрицы
Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы. Лемма об автоморфизмах пространств с формой и
матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы. Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий. - 12.2 Симметричные, антисимметричные, положительно определенные и нормальные операторы
Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором. - 12.3 Спектральная теория в унитарных пространствах
Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств. Следствие из спектральной теоремы для
унитарных пространств. Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении. Теорема о
собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов. - 12.4 Спектральная теория в евклидовых пространствах
Препятствия к диагонализации над . -Диагональные матрицы. -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем . Спектральная
теорема для евклидовых пространств. Следствие из спектральной теоремы для евклидовых пространств. Матричная формулировка спектральной
теоремы для евклидовых пространств. Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве. - 12.5 Специальная ортохронная группа Лоренца
Теорема о сохранении скорости света. Группа . Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Бусты. Пространство Минковского.
Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
13 Многообразия (часть 1)
- 13.1 Определения и конструкции, связанные с многообразиями
Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий. Гладкие отображения между многообразиями. Кривые
на многообразиях. Функции на многообразиях. Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат. - 13.2 Касательные пространства и кокасательные пространства
Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами. Теорема о касательных
пространствах. Преобразования при замене координат. Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования
при замене координат. Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
14 Тензорные произведения векторных пространств
- 14.1 Определения и конструкции, связанные с тензорами
Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора. Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения.
Теорема об универсальности тензорного произведения. Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное
произведение линейных операторов. Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах. - 14.2 Тензоры типа и тензорная алгебра
Пространство тензоров типа . Тензоры типа , , , , , и . Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров
типа . Тензоры типа в координатах. Преобразование координат тензоров типа . Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре. - 14.3 Операции над тензорами типа
Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц. Тензорное произведение полилинейных
форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах. Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
15 Симметрические и внешние степени векторных пространств
- 15.1 Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Симметризация и
альтернирование и лемма о них. Симметрическое и внешнее произведения векторов. Лемма к теореме и теорема об универсальности симметрической
степени и внешней степени. Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора. - 15.2 Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах. Теорема о симметрическом
произведении и внешнем произведении тензоров. Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. - 15.3 Операции над внешними формами
Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении. Оператор
Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
16 Многообразия (часть 2)
- 16.1 Векторные поля, ковекторные поля, тензорные поля
Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (-формы). Векторные поля и -формы, определяемые координатами.
Векторные поля и -формы в координатах. Преобразования при замене координат. Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа .
Тензорные поля типа в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные -формы. Алгебра дифференциальных форм. - 16.2 Дифференциальные операции на многообразиях
Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе. Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и
точные формы. Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение. - 16.3 Римановы и псевдоримановы многообразия (основные определения и примеры)
Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий. Бемоль и
диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан. Символы Кристоффеля.
Теорема о связности Леви-Чивиты. Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.
Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры
Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры
Информация о коллоквиуме
Вопросы к коллоквиуму по первой половине третьего семестра
- Эвалюация. Алгебра, порожденная линейным оператором. Минимальный многочлен линейного оператора.
- Теорема Гамильтона–Кэли. Нильпотентные линейные операторы. Алгебраическая и безымянная кратности. Теорема о минимальном многочлене.
- Теорема о ядрах многочленов от линейного оператора. Проекторы и отражения.
- Ряды от линейных операторов. Достаточное условие сходимости. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты.
- Собственные подпространства. Геометрическая кратность. Лемма о собственных подпространствах. Теорема о диагонализации линейных операторов.
- Обобщенные собственные подпространства. Относительные геометрические кратности. Теорема об обобщенных собственных подпространствах.
- Корневые подпространства. Нильпотентные части линейного оператора. Теорема о прямой сумме корневых подпространств. Жордановы клетки.
- Относительные независимые и порождающие множества. Относительные базисы. Две теоремы об относительных базисах.
- Теорема об относительных независимых подмножествах в ядрах степеней линейного оператора.
- Диаграммы Юнга. Жордановы блоки. Теорема о жордановой нормальной форме.
- Вычисление рядов при помощи жордановой нормальной формы. Теорема об экспоненте, группах матриц и матричных алгебрах Ли.
- Группа автоморфизмов пространства с ¯-билинейной формой. Ортогональная и унитарная группы.
- Лемма об автоморфизмах пространств с формой и матрицах. Матричные ортогональные и унитарные группы.
- Группа изометрий предгильбертова пространства. Теорема об описании изометрий.
- Симметричные и антисимметричные операторы. Положительно определенные операторы. Сопряжение операторов. Теорема о свойствах сопряжения.
- Лемма о сопряжении и ортогональном дополнении. Нормальные операторы. Форма, связанная с оператором. Лемма о форме, связанной с оператором.
- Теорема о собственных векторах нормального оператора. Спектральная теорема для унитарных пространств и следствие из нее.
- Матричная формулировка спектральной теоремы для унитарных пространств. Теорема о спектральном разложении.
- Теорема о собственных числах и собственных векторах унитарных, симметричных, антисимметричных и положительно определенных операторов.
- Препятствия к диагонализации над . -Диагональные матрицы. -Спектр. Лемма о линейном операторе с пустым спектром над полем .
- Спектральная теорема для евклидовых пространств и следствие из нее. Матричная формулировка спектральной теоремы для евклидовых пространств.
- Теорема Эйлера о вращениях. Теорема о симметричных билинейных формах в евклидовом пространстве.
- Теорема о сохранении скорости света. Группа .
- Теорема о матричной группе Лоренца. Группа . Бусты. Пространство Минковского.
- Спинорная модель пространства Минковского. Матрицы Паули. Теорема о спинорной модели пространства Минковского. Теорема о бустах и поворотах.
- Системы координат. Отношение согласованности. Атласы. Многообразия. Примеры многообразий.
- Гладкие отображения между многообразиями. Кривые на многообразиях. Функции на многообразиях.
- Скорость кривой в координатах. Матрица Якоби замены координат. Лемма о замене координат.
- Отношение касания. Инвариантная скорость. Касательные пространства. Базисные векторы, определяемые координатами.
- Теорема о касательных пространствах. Преобразования при замене координат.
- Кокасательные пространства. Базисные ковекторы, определяемые координатами. Преобразования при замене координат.
- Теорема о дифференциале функции. Дифференциал функции в координатах. Производная Ли функции вдоль вектора.
Правила проведения коллоквиума
- В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций иили
подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача. - При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).
Информация об экзамене
Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра
- Тензорное произведение векторных пространств. Разложимые тензоры. Ранг тензора.
- Лемма к теореме об универсальности тензорного произведения. Теорема об универсальности тензорного произведения.
- Теорема о базисе тензорного произведения. Тензорное произведение тензоров. Тензорное произведение линейных операторов.
- Первая теорема о канонических изоморфизмах. Вторая теорема о канонических изоморфизмах.
- Пространство тензоров типа . Тензоры типа , , , , , и .
- Теорема о канонических изоморфизмах для тензоров типа .
- Тензоры типа в координатах. Преобразование координат тензоров типа .
- Тензорная алгебра. Теорема о тензорной алгебре.
- Тензоры с пропусками индексов. Тензорное произведение в координатах. Кронекерово произведение матриц.
- Тензорное произведение полилинейных форм. Перестановка компонент тензоров. Перестановка в координатах.
- Свертка. Свертка в координатах. Теорема о свертках тензоров малой валентности.
- Теорема об обратном метрическом тензоре. Опускание индекса. Подъем индекса. Опускание индекса и подъем индекса в координатах.
- Симметрическая и внешняя степени. Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах.
- Симметризация и альтернирование. Лемма о симметризации и альтернировании. Симметрическое и внешнее произведения векторов.
- Лемма к теореме об универсальности симметрической степени и внешней степени. Теорема об универсальности симметрической степени и внешней степени.
- Теорема о базисе симметрической степени и внешней степени. Симметрическая и внешняя степени линейного оператора.
- Симметрическое и внешнее произведения тензоров. Симметрическое и внешнее произведения тензоров в координатах.
- Теорема о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров.
- Симметрическая алгебра. Внешняя алгебра. Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре.
- Теорема о внешнем произведении внешних форм. Оператор внутреннего произведения с вектором. Теорема о внутреннем произведении.
- Оператор Ходжа в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Лемма об операторе Ходжа в координатах. Теорема об операторе Ходжа.
- Касательное и кокасательное расслоения. Векторные поля и ковекторные поля (-формы).
- Векторные поля и -формы, определяемые координатами. Векторные поля и -формы в координатах. Преобразования при замене координат.
- Расслоение тензоров типа . Тензорные поля типа .
- Тензорные поля типа в координатах. Преобразования при замене координат. Дифференциальные -формы. Алгебра дифференциальных форм.
- Производная Ли. Коммутатор векторных полей. Теорема о коммутаторе.
- Внешний дифференциал. Теорема о внешнем дифференциале. Замкнутые и точные формы.
- Ковариантная производная векторных полей. Теорема о ковариантной производной. Скорость векторного поля вдоль кривой. Ускорение.
- Метрические тензоры. Псевдоримановы многообразия. Римановы многообразия. Примеры римановых и псевдоримановых многообразий.
- Бемоль и диез. Градиент. Многообразия с ориентацией. Каноническая форма объема. Оператор Ходжа. Ротор. Дивергенция. Лапласиан.
- Символы Кристоффеля. Теорема о связности Леви-Чивиты.
- Длина кривой. Геодезические. Условие на геодезические. Тензор Римана. Тензор Риччи. Скалярная кривизна.
Правила проведения экзамена
- В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие
принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план
курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины третьего семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).