Алгебра phys 1 осень — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) (Новая страница: «Алгебра») |
Goryachko (обсуждение | вклад) м (Goryachko переименовал страницу Алгебра phys 1 осень 2018 в Алгебра phys 1 осень) |
||
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | Алгебра | + | __NOTOC__ |
+ | <font size="3"><b><u>Лектор и преподаватели практики</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | ||
+ | |||
+ | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1:</b> Евгений Евгеньевич Горячко.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/1uSWTbwoTKeQWyjoDbAQywoxC8xXyBMz5rjYNlBSkL8w/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.</b>] | ||
+ | |||
+ | <b>Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2:</b> Алексей Викторович Ржонсницкий.<br>[https://docs.google.com/spreadsheets/d/196U2JiRWnz2cZoufOW4gZHE2HTezBhAW6d-vaHt7s2U/htmlembed<b>Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.</b>]<br><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Дополнительная литература</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | [1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.<br> | ||
+ | [2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.<br> | ||
+ | [3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.<br> | ||
+ | [4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.<br> | ||
+ | [5] Ю.И. Манин. Математика как метафора. | ||
+ | |||
+ | Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через [http://eek.diary.ru/p57704941.htm сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm]. | ||
+ | |||
+ | Полезные учебные материалы по алгебре имеются на [http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/algebra-1/1314/list.html странице А.Л. Городенцева] и на [http://alexei.stepanov.spb.ru/students/index.html странице А.В. Степанова].<br><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Содержание первого семестра курса алгебры</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>1 Множества, отображения, отношения</h5> | ||
+ | <ul><li>1.1 Множества<br> | ||
+ | Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над<br>множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. | ||
+ | <li>1.2 Отображения<br> | ||
+ | Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.<br>Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. | ||
+ | <li>1.3 Отношения<br> | ||
+ | Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.<br>Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>2 Группы (часть 1)</h5> | ||
+ | <ul><li>2.1 Множества с операцией<br> | ||
+ | Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над<br>подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. | ||
+ | <li>2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)<br> | ||
+ | Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.<br>Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. | ||
+ | <li>2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы<br> | ||
+ | Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок<br>элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. | ||
+ | <li>2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп<br> | ||
+ | Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.<br>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>3 Кольца (часть 1)</h5> | ||
+ | <ul><li>3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами<br> | ||
+ | Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о<br>гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. | ||
+ | <li>3.2 Кольца многочленов<br> | ||
+ | Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков<br>по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. | ||
+ | <li>3.3 Поле комплексных чисел<br> | ||
+ | Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента.<br>Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>. | ||
+ | <li>3.4 Тело кватернионов<br> | ||
+ | Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах<br>кватернионов. Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>4 Кольца (часть 2)</h5> | ||
+ | <ul><li>4.1 Делимость в коммутативных кольцах<br> | ||
+ | Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.<br>Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах. | ||
+ | <li>4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца<br> | ||
+ | Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.<br>Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах. | ||
+ | <li>4.3 Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера<br> | ||
+ | Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская<br>теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера. | ||
+ | <li>4.4 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби<br> | ||
+ | Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных<br>формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к<br>несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. | ||
+ | <li>4.5 Матрицы, столбцы, строки<br> | ||
+ | Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.<br>Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.</ul> | ||
+ | |||
+ | <h5>5 Группы (часть 2)</h5> | ||
+ | <ul><li>5.1 Символ Леви-Чивиты и симметрические группы<br> | ||
+ | Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах<br>знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями. | ||
+ | <li>5.2 Определитель матрицы и группы матриц<br> | ||
+ | Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах<br>определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группа <math>\mathrm{AGL}(n,R)</math> и ее геометрический<br>смысл. Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Группы <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>. Описание изометрий в <math>\mathbb R^n</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. | ||
+ | <li>5.3 Действия групп на множествах<br> | ||
+ | Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. <math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Орбиты. Транзитивные<br>действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда. | ||
+ | <li>5.4 Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп<br> | ||
+ | Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутант группы. Теорема о<br>коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.</ul><br> | ||
+ | |||
+ | [[Алгебра_phys_1_сентябрь–октябрь|<font size="3"><b>Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
+ | |||
+ | [[Алгебра_phys_1_ноябрь–декабрь|<font size="3"><b>Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Информация о коллоквиуме</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра</h5> | ||
+ | <ol><li>Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. | ||
+ | <li>Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. | ||
+ | <li>Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. | ||
+ | <li>Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. | ||
+ | <li>Разбиения. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. | ||
+ | <li>Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка. | ||
+ | <li>Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. | ||
+ | <li>Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. | ||
+ | <li>Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. | ||
+ | <li>Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. | ||
+ | <li>Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий. | ||
+ | <li>Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. | ||
+ | <li>Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. | ||
+ | <li>Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. | ||
+ | <li>Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента. | ||
+ | <li>Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. | ||
+ | <li>Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. | ||
+ | <li>Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма. | ||
+ | <li>Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. | ||
+ | <li>Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении. | ||
+ | <li>Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. | ||
+ | <li>Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. | ||
+ | <li>Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. | ||
+ | <li>Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. | ||
+ | <li>Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена. | ||
+ | <li>Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. | ||
+ | <li>Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. | ||
+ | <li>Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. | ||
+ | <li>Группа <math>\mathrm S^1</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. | ||
+ | <li>«Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями <math>\mathbb R</math> и <math>\mathbb C</math>. | ||
+ | <li>Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов. | ||
+ | <li>Группа <math>\mathrm S^3</math>. Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.</ol> | ||
+ | |||
+ | <h5>Правила проведения коллоквиума</h5> | ||
+ | <ul><li>В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),<br>пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций и<math>/</math>или<br>подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). | ||
+ | <li>Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса. | ||
+ | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).<br>Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). | ||
+ | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой<br>половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача. | ||
+ | <li>При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul><br> | ||
+ | |||
+ | <font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font> | ||
+ | |||
+ | <h5>Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра</h5> | ||
+ | <ol><li>Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. | ||
+ | <li>Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. | ||
+ | <li>Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах. | ||
+ | <li>Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце. | ||
+ | <li>Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах. | ||
+ | <li>Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. | ||
+ | <li>Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. | ||
+ | <li>Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера. | ||
+ | <li>Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. | ||
+ | <li>Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона. | ||
+ | <li>Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи. | ||
+ | <li>Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. | ||
+ | <li>Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,R)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,R)</math>. Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями. | ||
+ | <li>Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы. | ||
+ | <li>Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. | ||
+ | <li>Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы. | ||
+ | <li>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы <math>\mathrm S_n</math> образующими и соотношениями. | ||
+ | <li>Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. | ||
+ | <li>Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. | ||
+ | <li>Группа <math>\mathrm{SL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группа <math>\mathrm{AGL}(n,R)</math> и ее геометрический смысл. Группы <math>\mathrm O(n)</math> и <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Группы <math>\mathrm U(n)</math> и <math>\mathrm{SU}(n)</math>. | ||
+ | <li>Описание изометрий в <math>\mathbb R^n</math>. Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. | ||
+ | <li>Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. | ||
+ | <li><math>G</math>-Множества. Гомоморфизмы <math>G</math>-множеств. Орбиты. | ||
+ | <li>Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. | ||
+ | <li>Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда. | ||
+ | <li>Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. | ||
+ | <li>Коммутант группы. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. | ||
+ | <li>Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.</ol> | ||
+ | |||
+ | <h5>Правила проведения экзамена</h5> | ||
+ | <ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие<br>принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план<br>курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). | ||
+ | <li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса. | ||
+ | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).<br>Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). | ||
+ | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. | ||
+ | <li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul> |
Текущая версия на 12:00, 15 октября 2019
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы по алгебре 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы по алгебре 101/2.
Дополнительная литература
[1] Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
[2] А.Л. Городенцев. Алгебра – 1.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] Ю.И. Манин. Математика как метафора.
Книги по алгебре (разного качества) можно скачать через сайт http://eek.diary.ru/p57704941.htm.
Полезные учебные материалы по алгебре имеются на странице А.Л. Городенцева и на странице А.В. Степанова.
Содержание первого семестра курса алгебры
1 Множества, отображения, отношения
- 1.1 Множества
Логические операции. Кванторы. Равенство множеств. Задание множества перечислением элементов. Выделение подмножества. Операции над
множествами. Теорема об операциях над множествами. Числовые множества. Множество подмножеств множества. Прямая степень множества. - 1.2 Отображения
Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения. Инъекции. Сюръекции.
Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение. Теорема о композиции отображений. Обратное отображение. - 1.3 Отношения
Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали. Разбиения.
Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле. Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
2 Группы (часть 1)
- 2.1 Множества с операцией
Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы. Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над
подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции. Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности. - 2.2 Моноиды и группы (основные определения и примеры)
Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида. Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп.
Группы изометрий. Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения. - 2.3 Подгруппы, классы смежности, циклические группы
Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством. Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы. Порядок
элемента группы. Лемма о порядке элемента. Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах. - 2.4 Нормальные подгруппы, факторгруппы, прямое произведение групп
Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством. Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями. Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
3 Кольца (часть 1)
- 3.1 Определения и конструкции, связанные с кольцами
Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца. Идеалы. Факторкольца. Теорема о
гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика. Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей. - 3.2 Кольца многочленов
Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены. Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков
по модулю многочлена. Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу. Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета. - 3.3 Поле комплексных чисел
Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел. Группа . Экспонента.
Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы. «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и . - 3.4 Тело кватернионов
Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Умножение чистых кватернионов. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах
кватернионов. Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
4 Кольца (часть 2)
- 4.1 Делимость в коммутативных кольцах
Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах. Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах. - 4.2 Евклидовы кольца и факториальные кольца
Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах. - 4.3 Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера
Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида. Китайская
теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов. Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера. - 4.4 Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби
Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях. Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных
формул Лагранжа и Ньютона. Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к
несократимой записи. Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей. - 4.5 Матрицы, столбцы, строки
Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
5 Группы (часть 2)
- 5.1 Символ Леви-Чивиты и симметрические группы
Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком. Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах
знака. Знакопеременные группы. Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями. - 5.2 Определитель матрицы и группы матриц
Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов. Теорема о свойствах
определителя. Геометрический смысл определителя матрицы. Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический
смысл. Группы и . Группы и . Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах. - 5.3 Действия групп на множествах
Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия. -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты. Транзитивные
действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры. Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда. - 5.4 Автоморфизмы, коммутант, полупрямое произведение групп
Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре. Коммутант группы. Теорема о
коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп. Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
Подробный план первой половины первого семестра курса алгебры
Подробный план второй половины первого семестра курса алгебры
Информация о коллоквиуме
Вопросы к коллоквиуму по первой половине первого семестра
- Отображения. Область и кообласть отображения. Образы и прообразы относительно отображения. Сужения отображения.
- Инъекции. Сюръекции. Биекции. Композиция отображений. Тождественное отображение.
- Теорема о композиции отображений. Обратное отображение.
- Отношения. Область и кообласть отношения. Отношения эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножества. Трансверсали.
- Разбиения. Слои отображения. Факторотображения. Принцип Дирихле.
- Отношения порядка. Наименьший элемент множества с отношением порядка.
- Операции на множестве. Гомоморфизмы. Изоморфизмы. Эндоморфизмы. Автоморфизмы.
- Теорема о композиции гомоморфизмов. Операции над подмножествами. Ассоциативные и коммутативные операции.
- Полугруппы. Гомоморфизмы полугрупп. Лемма об обобщенной ассоциативности.
- Моноиды. Гомоморфизмы моноидов. Примеры моноидов. Обратимые элементы моноида.
- Группы. Гомоморфизмы групп. Таблица Кэли. Примеры групп. Группы изометрий.
- Симметрические группы. Цикловая запись перестановки. Лемма о циклах. Мультипликативные и аддитивные обозначения.
- Подгруппы. Подгруппа, порожденная множеством.
- Правые и левые классы смежности по подгруппе. Теорема Лагранжа. Индекс подгруппы.
- Порядок элемента группы. Лемма о порядке элемента.
- Теорема об обратимых остатках. Циклические группы. Теорема о циклических группах.
- Нормальные подгруппы. Сопряжение. Нормальная подгруппа, порожденная множеством.
- Ядро гомоморфизма. Теорема о слоях и ядре гомоморфизма.
- Факторгруппы. Теорема о гомоморфизме. Задание групп образующими и соотношениями.
- Прямое произведение групп. Теорема о прямом произведении.
- Кольца. Гомоморфизмы колец. Примеры колец. Аддитивная группа и мультипликативная группа кольца. Подкольца.
- Идеалы. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме. Прямое произведение колец. Характеристика.
- Кольца без делителей нуля. Области целостности. Тела. Поля. Гомоморфизмы полей.
- Кольца многочленов. Лемма о степени многочлена. Делимость. Неприводимые многочлены.
- Лемма о делении многочленов с остатком. Кольцо остатков по модулю многочлена.
- Полиномиальные функции. Корни многочленов. Теорема Безу.
- Теорема о количестве корней многочлена. Теорема Виета.
- Кольцо комплексных чисел. Вещественная и мнимая части. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах комплексных чисел.
- Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Группы корней из единицы.
- «Основная теорема алгебры». Теорема о неприводимых многочленах над полями и .
- Кольцо кватернионов. Скалярная и векторная части. Чистые кватернионы. Сопряжение. Модуль. Теорема о свойствах кватернионов.
- Группа . Экспонента. Теорема о свойствах экспоненты. Теорема об описании изометрий двумерного и трехмерного пространств.
Правила проведения коллоквиума
- В течение всего времени проведения коллоквиума каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4),
пишущие принадлежности и список вопросов к коллоквиуму. Кроме того, рекомендуется принести с собой на коллоквиум конспект лекций иили
подробный план курса, так как их будет можно использовать на коллоквиуме в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента коллоквиум начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 16, второй номер будет от 17 до 32) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам первой
половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за коллоквиум, будет дана задача. - При подготовке к коллоквиуму рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на коллоквиуме дается для того, чтобы уменьшить заучивание).
Информация об экзамене
Вопросы к экзамену по второй половине первого семестра
- Делимость и ассоциированность. Ассоциированность и дроби в областях целостности. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.
- Области главных идеалов. Теорема о делимости и главных идеалах.
- Неприводимые и простые элементы. Теорема о неприводимых и простых элементах.
- Евклидовы кольца. Примеры евклидовых колец. Теорема о евклидовых кольцах. Нахождение порождающих элементов идеала в евклидовом кольце.
- Факториальные кольца. Примеры факториальных колец. Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.
- Соотношение и коэффициенты Безу. Нахождение обратного элемента в факторкольце. Алгоритм Евклида. Расширенный алгоритм Евклида.
- Китайская теорема об остатках для целых чисел. Китайская теорема об остатках для многочленов.
- Функция Эйлера. Теорема о свойствах функции Эйлера.
- Производная многочлена. Правило Лейбница. Кратные корни. Теорема о кратных корнях.
- Теорема об интерполяции. Сравнение интерполяционных формул Лагранжа и Ньютона.
- Поле частных. Корректность определения операций. Теорема о поле частных. Поле рациональных дробей. Приведение к несократимой записи.
- Выделение правильной дроби. Примарные и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.
- Матрицы, столбцы, строки. Операции над матрицами. Кольцо . Группа . Столбцы, строки, матрицы с одной единицей и нулями.
- Теорема об операторах умножения на матрицу. Теорема о свойствах транспонирования и следа. Симметричные и антисимметричные матрицы.
- Транспозиции. Инверсии. Лемма о количестве инверсий. Теорема о сортировке пузырьком.
- Символ Леви-Чивиты. Знак перестановки. Теорема о свойствах знака. Знакопеременные группы.
- Теорема о классах сопряженности в симметрических группах. Задание группы образующими и соотношениями.
- Определитель матрицы. Определитель набора столбцов и ориентированный объем. Лемма об определителе набора столбцов.
- Теорема о свойствах определителя. Геометрический смысл определителя матрицы.
- Группа и ее геометрический смысл. Группа и ее геометрический смысл. Группы и . Группы и .
- Описание изометрий в . Теорема о комплексных числах и вещественных матрицах.
- Действия групп на множествах. Примеры действий. Теорема Кэли. Точные действия.
- -Множества. Гомоморфизмы -множеств. Орбиты.
- Транзитивные действия. Стабилизаторы. Свободные действия. Торсоры.
- Теорема о классах смежности по стабилизатору. Неподвижные точки. Лемма Бернсайда.
- Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов. Центр группы. Теорема о внутренних автоморфизмах и центре.
- Коммутант группы. Теорема о коммутанте. Абелианизация. Простые группы. Примеры простых групп.
- Полупрямое произведение групп. Теорема о полупрямом произведении.
Правила проведения экзамена
- В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу (желательно листы формата A4), пишущие
принадлежности и список вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план
курса, так как их будет можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 14, второй номер будет от 15 до 28) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение суммарно не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны).
Основные мысли из ответов на вопросы из билета должны быть записаны (эти записи нужно отдать преподавателю после окончания сдачи). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины первого семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).