Алгебраические структуры 5 2015 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 23: Строка 23:
 
<li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
 
<li>Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство <math>\overline V</math>. Пространство ¯-билинейных форм: <math>\overline\mathrm{Bi}(V)=\mathrm{Bi}(V,\overline V,K)</math>.
 
<li>Гомоморфизмы между пространствами с формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
 
<li>Гомоморфизмы между пространствами с формой: <math>\mathrm{Hom}((V,\sigma),(Y,\varphi))=\{a\in\mathrm{Hom}(V,Y)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(v,w)=\varphi(a(v),a(w))\bigr)\}</math>.
<li>Матрица Грама: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. ¯-Билинейная форма в координатах: <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
+
<li>Матрица Грама: <math>(\sigma_{e,e})_{j_1,j_2}\!=\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})</math>. ¯-Билинейная форма в координатах: <math>\sigma(v,w)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{w^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{w^{j_2}}</math>.
 
<li>Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
 
<li>Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\\sigma&\mapsto\sigma_{e,e}\end{align}\!\biggr)</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\sigma_{\tilde e,\tilde e}=(\mathrm c_\tilde e^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{\mathrm c_\tilde e^e}</math> и <math>\sigma_{\tilde{j_1},\tilde{j_2}}=\sum_{l_1=1}^n\sum_{l_2=1}^n(e_\tilde{j_1})^{l_1}\overline{(e_\tilde{j_2})^{l_2}}\,\sigma_{l_1,l_2}</math>.
 
<li>Пространства (над <math>\mathrm{Fix}_K(\text{¯})</math>) <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
 
<li>Пространства (над <math>\mathrm{Fix}_K(\text{¯})</math>) <math>\overline\mathrm{SBi}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\mid\forall\,v,w\in V\;\bigl(\sigma(w,v)=\overline{\sigma(v,w)}\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)=\{s\in\mathrm{Mat}(n,K)\mid s^\mathtt T\!=\overline s\}</math>.
Строка 29: Строка 29:
  
 
<h5>2.1.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы</h5>
 
<h5>2.1.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы</h5>
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Замечание: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>.
+
<ul><li>Пространство ¯-квадратичных форм: <math>\overline\mathrm{Quad}(V)=\{\kappa\in\mathrm{Map}(V,K)\mid\exists\,\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)\;\forall\,v\in V\;\bigl(\kappa(v)=\sigma(v,v)\bigr)\}</math>. Утверждение: <math>\kappa(c\,v)=c\overline c\,\kappa(v)</math>.
 
<li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
 
<li>¯-Квадратичная форма в координатах: <math>\kappa(v)=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}\!\cdot\overline{v^e}=\sum_{j_1=1}^n\sum_{j_2=1}^n\sigma_{j_1,j_2}v^{j_1}\overline{v^{j_2}}</math> — однородный ¯-многочлен степени <math>2</math> от <math>v^1,\ldots,v^n</math>.
<li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v-w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биективные линейные операторы.</i>
+
<li><u>Теорема о поляризации квадратичных форм.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math> и <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)-\kappa(v-w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>, имеем следующий факт:<br><math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — симметричная билинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\mathrm{SBi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{SBi}(V)&\to\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Quad}(V)&\to\mathrm{SBi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
<li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>,<br>имеем следующий факт: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\overline\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биективные линейные операторы.</i>
+
<li><u>Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <b>C</b>.</u> <i>Пусть <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>\,\mathbb C</math>; тогда<br>(1) для любых <math>\kappa\in\overline\mathrm{Quad}(V)</math>, обозначая через <math>\,\mathrm{pol}_\kappa</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}V\times V&\to\mathbb C\\(v,w)&\mapsto\bigl(\kappa(v+w)+\mathrm i\,\kappa(v+\mathrm i\,w)-\kappa(v-w)-\mathrm i\,\kappa(v-\mathrm i\,w)\bigr)/4\end{align}\!\biggr)</math>,<br>имеем следующий факт: <math>\mathrm{pol}_\kappa</math> — полуторалинейная форма в пространстве <math>V</math> (то есть <math>\mathrm{pol}_\kappa\!\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>);<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Bi}(V)&\to\overline\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{Quad}(V)&\to\overline\mathrm{Bi}(V)\\\kappa&\mapsto\mathrm{pol}_\kappa\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.</i>
 
<li>Принцип поляризации: возможность проверять некоторые утверждения о ¯-билинейных формах только для аргументов вида <math>(v,v)</math>.
 
<li>Принцип поляризации: возможность проверять некоторые утверждения о ¯-билинейных формах только для аргументов вида <math>(v,v)</math>.
 
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul>
 
<li>Утверждение: <i>пусть <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>\sigma\in\mathrm{SBi}(V)</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{Aut}(V,\sigma)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\forall\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)=\sigma(a(v),a(v))\bigr)\}</math></i>.</ul>
  
<h5>2.1.3&nbsp; Невырожденные ¯-билинейные формы и ортогональное дополнение</h5>
+
<h5>2.1.3&nbsp; Невырожденные ¯-билинейные формы</h5>
 
<ul><li>Опускание индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>.
 
<ul><li>Опускание индекса: <math>\biggl(\!\begin{align}\downarrow_\sigma\colon V&\to\overline V^*\\v&\mapsto\bigl(w\mapsto\sigma(v,w)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math>. Опускание индекса в координатах: <math>({\downarrow}_\sigma v)_e=(v^e)^\mathtt T\!\cdot\sigma_{e,e}</math> и <math>({\downarrow}_\sigma v)_j=\sum_{i=1}^n\sigma_{i,j}\,v^i</math>.
 
<li>Невырожденность формы: <math>\downarrow_\sigma</math> — биекция; слабая невырожденность формы: <math>\downarrow_\sigma</math> — инъекция; если <math>\dim V<\infty</math>, то эти свойства эквивалентны.
 
<li>Невырожденность формы: <math>\downarrow_\sigma</math> — биекция; слабая невырожденность формы: <math>\downarrow_\sigma</math> — инъекция; если <math>\dim V<\infty</math>, то эти свойства эквивалентны.
<li>Форма <math>(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math> на <math>\mathrm C^0\!([-1;1])</math> слабо невырождена, но вырождена. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
+
<li>Форма <math>(f,g)\mapsto\!\int_{-1}^1\!fg</math> на <math>\mathrm C^0\!([-1;1])</math> вырождена, но слабо невырождена. Ранг формы: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\dim\mathrm{Im}\,{\downarrow}_\sigma</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma_{e,e})</math>.
<li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\sigma_{e,e}\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
+
<li><u>Лемма о базисах и невырожденных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{Bi}(V)</math>, <math>m\in\mathbb N_0</math>, <math>e\in V^m</math>; обозначим<br>через <math>U</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_m\rangle</math>; тогда <math>\det\sigma_{e,e}\!\ne0</math>, если и только если <math>e\in\mathrm{OB}(U)</math> и форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена.</i>
 
<li>Подъем индекса (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индекса в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
 
<li>Подъем индекса (<math>\sigma</math> невырождена): <math>\uparrow^\sigma={\downarrow}_\sigma^{-1}</math>. Подъем индекса в координатах (<math>\sigma^{e,e}=(\sigma_{e,e})^{-1}</math>): <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^e=(\sigma^{e,e})^\mathtt T\!\cdot(\lambda_e)^\mathtt T</math> и <math>({\uparrow}^\sigma\lambda)^i=\sum_{j=1}^n\sigma^{i,j}\,\lambda_j</math>.
<li>Ортогональное дополнение (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid\forall\,u\in U\;\bigl(\sigma(u,v)=0\bigr)\}=\{v\in V\mid\forall\,u\in U\;\bigl(\sigma(v,u)=0\bigr)\}</math>.</ul>
+
<li>Ортогональное дополнение (<math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math>): <math>U^\perp\!=\{v\in V\mid\forall\,u\in U\;\bigl(\sigma(u,v)=0\bigr)\}=\{v\in V\mid\forall\,u\in U\;\bigl(\sigma(v,u)=0\bigr)\}\le V</math>.
 +
<li><u>Теорема об ортогональном дополнении.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\cup\overline\mathrm{ABi}(V)</math> и <math>U,W\le V</math>; тогда<br>(1) <math>U\le(U^\perp)^\perp</math>, <math>U\le W\,\Rightarrow\,W^\perp\!\le U^\perp</math>, <math>(U+W)^\perp\!=U^\perp\!\cap W^\perp</math> и <math>\,U^\perp\!+W^\perp\!\le(U\cap W)^\perp</math>;<br>(2) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена, то <math>V=U\oplus U^\perp</math> (и, значит, определен ортогональный проектор <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{proj}_U\colon V=U\oplus U^\perp\!&\to V\\v=u+u^\perp&\mapsto u\end{align}\!\biggr)</math>);<br>(3) если формы <math>\sigma|_{U\times U}</math> и <math>\sigma|_{U^\perp\times\,U^\perp}</math> невырождены и <math>\dim V<\infty</math>, то <math>U=(U^\perp)^\perp</math>;<br>(3+) если форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена и форма <math>\sigma|_{U^\perp\times\,U^\perp}</math> слабо невырождена, то <math>U=(U^\perp)^\perp</math>.</i></ul>
  
 
<h5>2.1.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
 
<h5>2.1.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</h5>
 
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>.
 
<ul><li>Ортогональный базис: <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица<math>\bigr)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,j_1,j_2\in\{1,\ldots,\dim V\}\;\bigl(j_1\ne j_2\,\Rightarrow\,\sigma(e_{j_1}\!,e_{j_2})=0\bigr)</math>.
 
<li>Ортонормированный базис (обычно <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
 
<li>Ортонормированный базис (обычно <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>): <math>e\in\mathrm{OnOB}(V,\sigma)</math><math>\,\Leftrightarrow\,</math><math>\bigl(</math><math>\sigma_{e,e}</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали<math>\bigr)</math>.
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — вект. пр. над <math>K</math>; тогда для любых <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math><br>выполнено <math>\exists\,v\in V\;\bigl(\sigma(v,v)\ne0\bigr)</math> (и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\overline\mathrm{SBi}(V)&\to\overline\mathrm{Quad}(V)\\\sigma&\mapsto\bigl(v\mapsto\sigma(v,v)\bigr)\end{align}\!\biggr)</math> — инъективный линейный оператор).</i>
+
<li><u>Лемма о неизотропном векторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>; тогда<br>существует такой вектор <math>v\in V</math>, что <math>\sigma(v,v)\ne0</math> (то есть существует неизотропный вектор).</i>
<li><u>Теорема Лагранжа о диагонализации ¯-симметричной ¯-билинейной формы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное<br>пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i>
+
<li><u>Теорема Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; тогда<br>(1) в пространстве <math>V</math> существует ортогональный базис (то есть <math>\mathrm{OOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>);<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то в пространстве <math>V</math> существует ортонормированный базис (то есть <math>\mathrm{OnOB}(V,\sigma)\ne\varnothing</math>).</i>
 
<li><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали.</i>
 
<li><u>Матричная формулировка теоремы Лагранжа.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица;<br>(2) если <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, то существует такая матрица <math>g\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline g</math> — диагональная матрица с <math>1</math>, <math>-1</math>, <math>0</math> на диагонали.</i>
 
<li>Метод Лагранжа: приведение квадратичной формы к сумме квадратов (с коэффициентами) при помощи выделения полных квадратов.
 
<li>Метод Лагранжа: приведение квадратичной формы к сумме квадратов (с коэффициентами) при помощи выделения полных квадратов.
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в пространстве с ¯-симметричной ¯-билинейной формой.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией,<br><math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>. Пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>.<br>Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно тому, что <math>m_i\ne0</math>). Тогда<br>(1) существует единственная такая последовательность <math>\hat e\in V^n</math>, что для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\hat e_i\in(e_i+V_{i-1})\cap V_{i-1}^\perp</math>;<br>(2) последовательность <math>\hat e</math> из пункта (1) обладает следующими свойствами: <math>\hat e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math> и для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br><math>\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>, а также <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul>
+
<li><u>Лемма об ортогональном проекторе.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>, а также <math>U\le V</math>,<br><math>\dim U<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OOB}(U,\sigma|_{U\times U})</math>, форма <math>\sigma|_{U\times U}</math> невырождена; тогда для любых <math>v\in V</math> выполнено <math>\mathrm{proj}_U(v)=\!\sum_{j=1}^{\dim U}\!\frac{\sigma(v,e_j)}{\sigma(e_j,e_j)}e_j</math>.</i>
 +
<li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле с инволюцией, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math> и<br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Пусть для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> форма <math>\sigma|_{V_i\times V_i}</math> невырождена (это эквивалентно<br>тому, что <math>m_i\ne0</math>); для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\hat e_i</math> вектор <math>e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\hat e_1,\dots,\hat e_i)\in\mathrm{OOB}(V_i,\sigma|_{V_i\times V_i})</math> и <math>\,\sigma(\hat e_i,\hat e_i)=\frac{m_i}{m_{i-1}}</math>;<br>(2) <math>\hat e_i=e_i-\sum_{j=1}^{i-1}\frac{\sigma(e_i,\hat e_j)}{\sigma(\hat e_j,\hat e_j)}\hat e_j</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\hat e_1,\ldots,\hat e_n</math>).</i></ul>
  
 
<h3>2.2&nbsp; Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
 
<h3>2.2&nbsp; Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h3>
Строка 58: Строка 60:
 
<li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>.
 
<li>Множества <math>\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)=\{\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)\mid\forall\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(\sigma(v,v)<0\bigr)\}</math> и <math>\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)=\{s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)\mid\forall\,v\in K^n\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(v^\mathtt T\!\cdot s\cdot\overline v<0\bigr)\}</math>.
 
<li>Неотрицательно и неположительно определенные формы и матрицы: символы «<math>></math>» и «<math><</math>» заменяются на символы «<math>\ge</math>» и «<math>\le</math>» соответственно.
 
<li>Неотрицательно и неположительно определенные формы и матрицы: символы «<math>></math>» и «<math><</math>» заменяются на символы «<math>\ge</math>» и «<math>\le</math>» соответственно.
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>; обозначим<br>через <math>n</math> число <math>\dim V</math>. Пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>. Тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i>
+
<li><u>Критерий Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>\sigma_{e,e}</math>; тогда<br>(1) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(V)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i>
 
<li><u>Матричная формулировка критерия Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>s</math>; тогда<br>(1) <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i></ul>
 
<li><u>Матричная формулировка критерия Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}(n,K)</math>; для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>обозначим через <math>m_i</math> <math>i</math>-й угловой минор матрицы <math>s</math>; тогда<br>(1) <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{>0}(n,K)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl(m_i>0\bigr)</math>;<br>(2) <math>s\in\overline\mathrm S\mathrm{Mat}_{<0}(n,K)</math>, если и только если <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\bigl((-1)^i\,m_i>0\bigr)</math>.</i></ul>
  
 
<h5>2.2.2&nbsp; Сигнатура ¯-симметричной ¯-билинейной формы над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
 
<h5>2.2.2&nbsp; Сигнатура ¯-симметричной ¯-билинейной формы над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
 
<ul><li>Два ранга формы: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>.
 
<ul><li>Два ранга формы: <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{>0}(U)\}</math> и <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\max\{\dim U\mid U\le V\;\land\;\sigma|_{U\times U}\!\in\overline\mathrm{SBi}_{<0}(U)\}</math>.
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math> и <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math>,<br>а также <math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
+
<li><u>Закон инерции Сильвестра.</u> <i>Пусть <math>K=\mathbb R</math> или <math>K=\mathbb C</math>, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>, <math>\sigma\in\overline\mathrm{SBi}(V)</math> и<br><math>e\in\mathrm{OOB}(V,\sigma)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}>0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(2) <math>\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> (и, значит, число <math>|\{i\in\{1,\ldots,n\}\mid(\sigma_{e,e})_{i,i}<0\}|</math> не зависит от базиса <math>e</math>);<br>(3) <math>\mathrm{rk}_{>0}(\sigma)+\mathrm{rk}_{<0}(\sigma)=\mathrm{rk}(\sigma)</math>.</i>
 
<li>Сигнатура формы: пара <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math>. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>.
 
<li>Сигнатура формы: пара <math>(\mathrm{rk}_{>0}(\sigma),\mathrm{rk}_{<0}(\sigma))</math>. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над <math>\mathbb R</math> с формой сигнатуры <math>(1,3)</math>.
 
<li>Отступление в геометрию???</ul>
 
<li>Отступление в геометрию???</ul>
  
<h5>2.2.3&nbsp; (Псевдо)евклидовы и (псевдо)эрмитовы пространства</h5>
+
<h5>2.2.3&nbsp; (Псевдо)евклидовы и (псевдо)унитарные пространства</h5>
 +
<ul><li>(Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math> с невырожденной симметричной билинейной формой.
 +
<li>(Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb C</math> с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
 +
<li>Евклидово/унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над <math>\mathbb R</math>/над <math>\mathbb C</math> с положительно определенной формой.</ul>
  
<h3>2.2&nbsp; Евклидовы и эрмитовы пространства</h3>
+
<h5>2.2.4&nbsp; Основы геометрии в евклидовых и унитарных пространствах</h5>
<h5>2.2.1&nbsp; ???</h5>
+
<ul><li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или унитарное пространство<br>и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Для любых<br><math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)}{\|e_i-\mathrm{proj}_{V_{i-1}}(e_i)\|}</math>. Тогда для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено<br>(1) <math>(\check e_1,\dots,\check e_i)\in\mathrm{OnOB}(V_i)</math>;<br>(2) <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i></ul>
<ul><li><u>Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или эрмитовом пространстве.</u> <i>Пусть <math>V</math> — евклидово или эрмитово пространство;<br>обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>. Пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; для любых <math>i\in\{0,\ldots,n\}</math> обозначим через <math>V_i</math> пространство <math>\langle e_1,\ldots,e_i\rangle</math>. Тогда<br>(1) существует единственная такая последовательность <math>\hat e\in V^n</math>, что для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\hat e_i\in(e_i+V_{i-1})\cap V_{i-1}^\perp</math>;<br>(2) определим последовательность <math>\check e\in V^n</math>, используя последовательность <math>\hat e</math> из пункта (1): для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> обозначим<br>через <math>\check e_i</math> вектор <math>\frac{\hat e_i}{\|\hat e_i\|}</math>; тогда последовательность <math>\check e</math> обладает следующими свойствами: <math>\check e\in\mathrm{OnOB}(V)</math> и для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math><br>выполнено <math>\check e_i=\frac{e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j}{\|e_i-\sum_{j=1}^{i-1}(e_i,\check e_j)\check e_j\|}</math> (это индуктивная формула для нахождения векторов <math>\check e_1,\ldots,\check e_n</math>).</i>
+
  
 
<h3>2.3&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>
 
<h3>2.3&nbsp; Линейные операторы и ¯-билинейные формы</h3>

Версия 05:05, 9 июля 2016

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы №1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Список подгруппы №1 на практике: Иван Абрамов, Евгений Акимов, Роман Васильев, Марк Геллер, Сергей Голованов,
Андрей Крутиков, Рауф Курбанов, Антон Мордберг, Кирилл Пилюгин, Дмитрий Саввинов, Андрей Серебро, Алексей Степанов,
Ильнур Шугаепов, Наталья Ялышева, а также Иван Дмитриевский и Ирина Щукина.

Преподаватель практики у подгруппы №2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Список подгруппы №2 на практике: Дмитрий Байдин, Виталий Бибаев, Фёдор Бочаров, Артём Бутомов, Святослав Власов,
Шамиль Гарифуллин, Егор Горбунов, Эдгар Жаворонков, Никита Иванов, Сергей Козлов, Татьяна Кузина, Михаил Митрофанов,
Семён Поляков, Владислав Саенко, Леонид Сташевский, Константин Чаркин.

Файл с домашним заданием на 11-е ноября.

Таблица успеваемости студентов.

Все основные материалы курса имеются на следующих страницах: http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и
http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS).


2  Билинейная и полилинейная алгебра

2.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

2.1.1  ¯-Билинейные формы
  • Пространство билинейных форм . Примеры билинейных форм: , , .
  • Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство . Пространство ¯-билинейных форм: .
  • Гомоморфизмы между пространствами с формой: .
  • Матрица Грама: . ¯-Билинейная форма в координатах: .
  • Изоморфизм . Преобразования при замене базиса: и .
  • Пространства (над ) и .
  • Пространства (над ) и .
2.1.2  ¯-Квадратичные формы
  • Пространство ¯-квадратичных форм: . Утверждение: .
  • ¯-Квадратичная форма в координатах: — однородный ¯-многочлен степени от .
  • Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть — поле, и — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт:
    — симметричная билинейная форма в пространстве (то есть );
    (2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть — векторное пространство над полем ; тогда
    (1) для любых , обозначая через отображение ,
    имеем следующий факт: — полуторалинейная форма в пространстве (то есть );
    (2) отображения и суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
  • Принцип поляризации: возможность проверять некоторые утверждения о ¯-билинейных формах только для аргументов вида .
  • Утверждение: пусть , или , ; тогда .
2.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы
  • Опускание индекса: . Опускание индекса в координатах: и .
  • Невырожденность формы: — биекция; слабая невырожденность формы: — инъекция; если , то эти свойства эквивалентны.
  • Форма на вырождена, но слабо невырождена. Ранг формы: . Утверждение: .
  • Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , , , ; обозначим
    через пространство ; тогда , если и только если и форма невырождена.
  • Подъем индекса ( невырождена): . Подъем индекса в координатах (): и .
  • Ортогональное дополнение (): .
  • Теорема об ортогональном дополнении. Пусть — поле с инволюцией, — вект. пр. над , и ; тогда
    (1) , , и ;
    (2) если форма невырождена, то (и, значит, определен ортогональный проектор );
    (3) если формы и невырождены и , то ;
    (3+) если форма невырождена и форма слабо невырождена, то .
2.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
  • Ортогональный базис: — диагональная матрица.
  • Ортонормированный базис (обычно или ): — диагональная матрица с , , на диагонали.
  • Лемма о неизотропном векторе. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , ; тогда
    существует такой вектор , что (то есть существует неизотропный вектор).
  • Теорема Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , — векторное пространство над , , ; тогда
    (1) в пространстве существует ортогональный базис (то есть );
    (2) если или , то в пространстве существует ортонормированный базис (то есть ).
  • Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть — поле с инволюцией, , и ; тогда
    (1) существует такая матрица , что — диагональная матрица;
    (2) если или , то существует такая матрица , что — диагональная матрица с , , на диагонали.
  • Метод Лагранжа: приведение квадратичной формы к сумме квадратов (с коэффициентами) при помощи выделения полных квадратов.
  • Лемма об ортогональном проекторе. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над , , а также ,
    , , форма невырождена; тогда для любых выполнено .
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть — поле с инволюцией, — векторное пространство над полем , ,
    и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство и
    обозначим через -й угловой минор матрицы . Пусть для любых форма невырождена (это эквивалентно
    тому, что ); для любых обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
    (1) и ;
    (2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).

2.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над или

2.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы
  • Множества и .
  • Множества и .
  • Неотрицательно и неположительно определенные формы и матрицы: символы «» и «» заменяются на символы «» и «» соответственно.
  • Критерий Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и ;
    обозначим через число ; для любых обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
  • Матричная формулировка критерия Сильвестра. Пусть или , и ; для любых
    обозначим через -й угловой минор матрицы ; тогда
    (1) , если и только если ;
    (2) , если и только если .
2.2.2  Сигнатура ¯-симметричной ¯-билинейной формы над или
  • Два ранга формы: и .
  • Закон инерции Сильвестра. Пусть или , — векторное пространство над полем , , и
    ; обозначим через число ; тогда
    (1) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (2) (и, значит, число не зависит от базиса );
    (3) .
  • Сигнатура формы: пара . Пространство Минковского — четырехмерное пространство над с формой сигнатуры .
  • Отступление в геометрию???
2.2.3  (Псевдо)евклидовы и (псевдо)унитарные пространства
  • (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной симметричной билинейной формой.
  • (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
  • Евклидово/унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над /над с положительно определенной формой.
2.2.4  Основы геометрии в евклидовых и унитарных пространствах
  • Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть — евклидово или унитарное пространство
    и ; обозначим через число ; для любых обозначим через пространство . Для любых
    обозначим через вектор . Тогда для любых выполнено
    (1) ;
    (2) (это индуктивная формула для нахождения векторов ).

2.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы