Алгебра, 1 семестр, 2014/15 — различия между версиями

Версия 01:58, 14 декабря 2014

Вопросы для подготовки к экзамену

Лекции

Страница Максима Всемирнова

Консультации: 9:30-10:00 по средам, стоит предупреждать заранее по почте.

Группа Всемирнова

Задачник

Задачи из книги Д.К.Фаддева и И.С.Соминского "Сборник задач по высшей алгебре" (поздние издания также называются "Задачи по высшей алгебре"). Нужны издания, начиная с 11-го (1977 год и позднее). Проверяли номера заданий по 11 (1977 год) и 13 (2001 год) изданиям.

Обратите внимание на структуру задачника: собственно задачи, раздел с указаниями и раздел с ответами. Звездочка после номера задачи означает, что к ней есть указание.

На 03.12.2014

• Кратные корни: 573, 574, 575 (это три последние задачи из прошлого задания, которые мы не успели разобрать).
• Схема Горнера: 551а, 553b, 554а.
• Наибольший общий делитель: 578е, 579d, 580b, 582a, 586a.
• Китайская теорема об остатках: 583a.
• Интерполяция: 631d, 632a, 639, 642.

Старое

ДЗ (от 25 ноября 2014)

ДЗ (8 октября 2014). Про отчётность: "если успеете сделать его до среды, будет замечательно. Но так как задание появилось позднее, то можно его сдавать частями или прислать мне на почту до четверга. Во втором случае я буду зачитывать те задания, которые не разберем на практике в среду".

С 8 сентября по 5 октября (четыре недели) практики велись у Антипова (см. ниже).

Группа Антипова

ДЗ на 17.12

17.12.2014

ДЗ на 03.12

03.12.2014

ДЗ на 12.11

12.11.2014

ДЗ на 05.11

05.11.2014

ДЗ на 22.10

22.10.2014

ДЗ на 08.10

1. Найдите наибольший возможный порядок в группе перестановок на 15 элементах.
2. 1. Выпишите всевозможные цикловые типы четных и нечетных перестановок в группе перестановок на 5 элементах
   2. Докажите, что перестановка четна если в разложении её на циклы количество четных циклов четно (а иначе нечетна).
3. Докажите, что любую четную перестановку можно записать как произведение циклов длины 3.

ДЗ на 24.09.

1. Пусть ${\displaystyle X}$ - множество всех делителей ${\displaystyle 2002^{2002}}$. Обозначим НОД чисел за ${\displaystyle (a,b)}$, а НОК за ${\displaystyle [a,b]}$. Введём отношение эквивалентности: ${\displaystyle a\sim b\iff \left({\frac {[a,b]}{(a,b)}},77\right)=1}$. Сколько элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$?
2. Найти минимальное отношение эквивалентности ${\displaystyle \sim }$, содержащее данное отношение ${\displaystyle R}$ (т.е. ${\displaystyle \sim }$ есть транзитивное замыкание ${\displaystyle R}$) и количество элементов в фактормножестве ${\displaystyle X/\sim }$.
   1. ${\displaystyle X=\mathbb {R} _{+}}$ (положительные числа); ${\displaystyle aRb\iff ab(b+1)>a^{2}+b^{3}}$
   2. ${\displaystyle X=\mathbb {Z} }$; ${\displaystyle aRb\iff (a-3b)\vdots 121}$ (${\displaystyle x\vdots b}$ обозначает "${\displaystyle x}$ делится на ${\displaystyle y}$ без остатка")
3. Найти количество отображений ${\displaystyle f:\{1,2,3,\dots ,n\}\to \{1,2,3,\dots ,n\}}$, обладающих указанными свойствами:
   1. ${\displaystyle f(f(x))=x}$ при любом x
   2. ${\displaystyle f(f(x))=1}$ при любом x.