Алгебра phys 1 весна 2018 — различия между версиями
Материал из SEWiki
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
| (не показаны 2 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 23: | Строка 23: | ||
<li>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | <li>6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы<br> | ||
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и<br>порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. | ||
| − | <li>6.3 Размерность, координаты, замена координат | + | <li>6.3 Размерность, координаты, замена координат<br> |
| − | <li>6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</ul> | + | Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного<br>оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. |
| + | <li>6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство<br> | ||
| + | Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о<br>прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат<br>ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.</ul> | ||
<h5>7 Линейные операторы (часть 1)</h5> | <h5>7 Линейные операторы (часть 1)</h5> | ||
| − | <ul><li>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса | + | <ul><li>7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса<br> |
| − | <li>7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема | + | Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.<br>Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. |
| − | <li>7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора</ul> | + | <li>7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема<br> |
| + | Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные<br>полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма <math>\mathrm{vol}^e</math>. Теорема о формах объема. | ||
| + | <li>7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора<br> | ||
| + | Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа <math>\mathrm{SL}(V)</math>. Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о<br>присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.<br>Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.</ul> | ||
<h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | <h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | ||
| − | <ul><li>8.1 ¯-Билинейные формы | + | <ul><li>8.1 ¯-Билинейные формы<br> |
| − | <li>8.2 ¯-Квадратичные формы | + | Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. |
| − | <li>8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы | + | <li>8.2 ¯-Квадратичные формы<br> |
| − | <li>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</ul> | + | ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. |
| + | <li>8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br> | ||
| + | Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. | ||
| + | <li>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br> | ||
| + | Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul> | ||
<h5>9 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | <h5>9 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | ||
| − | <ul><li>9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы | + | <ul><li>9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br> |
| − | <li>9.2 Предгильбертовы пространства | + | Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном<br>дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с<br>формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. |
| − | <li>9.3 Ориентация, объем, векторное произведение</ul> | + | <li>9.2 Предгильбертовы пространства<br> |
| + | Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.<br>Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства. | ||
| + | <li>9.3 Ориентация, объем, векторное произведение<br> | ||
| + | Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в<br>координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное<br>произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.</ul> | ||
<h5>10 Алгебры</h5> | <h5>10 Алгебры</h5> | ||
| − | <ul><li>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами | + | <ul><li>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br> |
| − | <li>10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)</ul><br> | + | Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Примеры инъективных гомоморфизмов<br><math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.<br>Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных. |
| + | <li>10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br> | ||
| + | Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^{(-)}{}</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для<br>алгебр Ли. Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ul><br> | ||
[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
| + | |||
| + | [[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]<br><br> | ||
| + | |||
| + | <font size="3"><b><u>Информация об экзамене</u></b></font> | ||
| + | |||
| + | <h5>Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра</h5> | ||
| + | <ol><li>Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. | ||
| + | <li>¯-Симметричные и ¯-антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. | ||
| + | <li>¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. | ||
| + | <li>Гиперповерхности второго порядка. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. | ||
| + | <li>Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. | ||
| + | <li>Оператор диез (подъем индекса). Теорема о базисах и невырожденных формах. | ||
| + | <li>Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. | ||
| + | <li>Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. | ||
| + | <li>Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Лемма об ортогональном проекторе. | ||
| + | <li>Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций. | ||
| + | <li>Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа. | ||
| + | <li>Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. | ||
| + | <li>Теорема о классификации пространств с формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка. | ||
| + | <li>Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. | ||
| + | <li>Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы. Метрика. | ||
| + | <li>Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства. | ||
| + | <li>Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. | ||
| + | <li>Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. | ||
| + | <li>Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. | ||
| + | <li>Векторное произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении. | ||
| + | <li>Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. | ||
| + | <li>Примеры инъективных гомоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. | ||
| + | <li>Алгебры многочленов от свободных переменных. Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих и антикоммутирующих переменных. | ||
| + | <li>Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^{(-)}{}</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. | ||
| + | <li>Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для алгебр Ли. | ||
| + | <li>Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ol> | ||
| + | |||
| + | <h5>Правила проведения экзамена</h5> | ||
| + | <ul><li>В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список<br>вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса, так как их будет<br>можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). | ||
| + | <li>Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса на специальном<br>столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем<br>начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к<br>«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций и<math>/</math>или подробный план курса. | ||
| + | <li>Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,<br>если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). | ||
| + | <li>После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы<br>дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй<br>половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. | ||
| + | <li>При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность<br>использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).</ul> | ||
Текущая версия на 23:30, 20 мая 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание второго семестра курса алгебры
6 Векторные пространства
- 6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. Системы линейных уравнений. - 6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. - 6.3 Размерность, координаты, замена координат
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. - 6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
7 Линейные операторы (часть 1)
- 7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. - 7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема. - 7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
- 8.1 ¯-Билинейные формы
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. - 8.2 ¯-Квадратичные формы
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. - 8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. - 8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
Лемма об ортогональном проекторе. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
9 Геометрия в векторных пространствах над или
- 9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. - 9.2 Предгильбертовы пространства
Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства. - 9.3 Ориентация, объем, векторное произведение
Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
10 Алгебры
- 10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.
Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных. - 10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры
Информация об экзамене
Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра
- Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама.
- ¯-Симметричные и ¯-антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
- ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем .
- Гиперповерхности второго порядка. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
- Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы.
- Оператор диез (подъем индекса). Теорема о базисах и невырожденных формах.
- Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
- Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе.
- Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Лемма об ортогональном проекторе.
- Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
- Положительно и отрицательно определенные формы и матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном дополнении и теоремы Лагранжа.
- Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра.
- Теорема о классификации пространств с формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка.
- Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма.
- Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы. Метрика.
- Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
- Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема.
- Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в координатах. Лемма об объеме и матрице Грама.
- Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве.
- Векторное произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
- Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с .
- Примеры инъективных гомоморфизмов -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры.
- Алгебры многочленов от свободных переменных. Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих и антикоммутирующих переменных.
- Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли.
- Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для алгебр Ли.
- Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.
Правила проведения экзамена
- В течение всего времени проведения экзамена каждый студент должен иметь при себе чистую бумагу, пишущие принадлежности и список
вопросов к экзамену. Кроме того, рекомендуется принести с собой на экзамен конспект лекций иили подробный план курса, так как их будет
можно использовать на экзамене в некоторые моменты времени (подробности написаны ниже). - Для каждого студента экзамен начинается с того, что данный студент оставляет конспект лекций иили подробный план курса на специальном
столе («столе знаний»), затем вытягивает билет с номерами вопросов (первый номер будет от 1 до 13, второй номер будет от 14 до 26) и затем
начинает готовиться к ответам на вопросы из билета. Во время подготовки к ответам на вопросы из билета можно не более двух раз подойти к
«столу знаний» и в течение не более двух минут посмотреть конспект лекций иили подробный план курса. - Во время подготовки к ответам на вопросы из билета нужно подробно раскрыть термины, содержащиеся в формулировках вопросов (например,
если вопрос содержит определения, то к ним должны быть приведены примеры; если вопрос содержит теоремы, то они должны быть доказаны). - После окончания подготовки каждый студент должен ответить преподавателю вопросы из билета. Кроме того, каждому студенту будут заданы
дополнительные вопросы и упражнения на знание определений, конструкций и формулировок (теорем, лемм и так далее) по всем темам второй
половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача. - При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
использовать «стол знаний» во время подготовки к ответу на экзамене дается для того, чтобы уменьшить заучивание).
