Алгебра phys 1 весна 2018 — различия между версиями
Goryachko (обсуждение | вклад) |
Goryachko (обсуждение | вклад) |
||
Строка 37: | Строка 37: | ||
<h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | <h5>8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5> | ||
− | <ul><li>8.1 ¯-Билинейные формы | + | <ul><li>8.1 ¯-Билинейные формы<br> |
− | <li>8.2 ¯-Квадратичные формы | + | Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. |
− | <li>8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы | + | <li>8.2 ¯-Квадратичные формы<br> |
− | <li>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</ul> | + | ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. |
+ | <li>8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br> | ||
+ | Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. | ||
+ | <li>8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br> | ||
+ | Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Формула для вычисления проекции. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul> | ||
<h5>9 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | <h5>9 Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5> | ||
− | <ul><li>9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы | + | <ul><li>9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br> |
− | <li>9.2 Предгильбертовы пространства | + | Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном<br>дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с<br>формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. |
− | <li>9.3 Ориентация, объем, векторное произведение</ul> | + | <li>9.2 Предгильбертовы пространства<br> |
+ | Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.<br>Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства. | ||
+ | <li>9.3 Ориентация, объем, векторное произведение<br> | ||
+ | Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в<br>координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное<br>произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.</ul> | ||
<h5>10 Алгебры</h5> | <h5>10 Алгебры</h5> | ||
− | <ul><li>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами | + | <ul><li>10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br> |
− | <li>10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)</ul><br> | + | Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Примеры инъективных гомоморфизмов<br><math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.<br>Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных. |
+ | <li>10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br> | ||
+ | Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^-</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для<br>алгебр Ли. Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ul><br> | ||
[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | ||
[[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] | [[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]] |
Версия 02:00, 28 марта 2018
Лектор и преподаватели практики
Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.
Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.
Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.
Дополнительная литература
[1] Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2] И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4] А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
Содержание второго семестра курса алгебры
6 Векторные пространства
- 6.1 Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. Системы линейных уравнений. - 6.2 Независимые множества, порождающие множества, базисы
Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах. - 6.3 Размерность, координаты, замена координат
Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов. - 6.4 Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
7 Линейные операторы (часть 1)
- 7.1 Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли. - 7.2 Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема. - 7.3 Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
8 Векторные пространства с ¯-билинейной формой
- 8.1 ¯-Билинейные формы
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой. - 8.2 ¯-Квадратичные формы
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы. - 8.3 Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы. - 8.4 Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
Формула для вычисления проекции. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
9 Геометрия в векторных пространствах над или
- 9.1 Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм. - 9.2 Предгильбертовы пространства
Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства. - 9.3 Ориентация, объем, векторное произведение
Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
10 Алгебры
- 10.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.
Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных. - 10.2 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.
Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры
Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры