Алгебра phys 1 весна 2018 — различия между версиями

Материал из SEWiki
Перейти к: навигация, поиск
Строка 37: Строка 37:
  
 
<h5>8&nbsp;&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5>
 
<h5>8&nbsp;&nbsp; Векторные пространства с ¯-билинейной формой</h5>
<ul><li>8.1&nbsp; ¯-Билинейные формы
+
<ul><li>8.1&nbsp; ¯-Билинейные формы<br>
<li>8.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы
+
Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные<br>формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
<li>8.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
+
<li>8.2&nbsp; ¯-Квадратичные формы<br>
<li>8.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм</ul>
+
¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем <math>\mathbb C</math>. Гиперповерхности<br>второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
 +
<li>8.3&nbsp; Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы<br>
 +
Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).<br>Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
 +
<li>8.4&nbsp; Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм<br>
 +
Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.<br>Формула для вычисления проекции. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.</ul>
  
 
<h5>9&nbsp;&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
 
<h5>9&nbsp;&nbsp; Геометрия в векторных пространствах над <math>\mathbb R</math> или <math>\mathbb C</math></h5>
<ul><li>9.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
+
<ul><li>9.1&nbsp; Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы<br>
<li>9.2&nbsp; Предгильбертовы пространства
+
Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном<br>дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с<br>формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
<li>9.3&nbsp; Ориентация, объем, векторное произведение</ul>
+
<li>9.2&nbsp; Предгильбертовы пространства<br>
 +
Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.<br>Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
 +
<li>9.3&nbsp; Ориентация, объем, векторное произведение<br>
 +
Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в<br>координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное<br>произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.</ul>
  
 
<h5>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h5>
 
<h5>10&nbsp;&nbsp; Алгебры</h5>
<ul><li>10.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами
+
<ul><li>10.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с алгебрами<br>
<li>10.2&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)</ul><br>
+
Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с <math>1</math>. Примеры инъективных гомоморфизмов<br><math>\mathbb R</math>-алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.<br>Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных.
 +
<li>10.2&nbsp; Алгебры Ли (основные определения и примеры)<br>
 +
Алгебры Ли. Алгебра Ли <math>A^-</math>. Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для<br>алгебр Ли. Примеры изоморфизмов <math>\mathbb R</math>-алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.</ul><br>
  
 
[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]
 
[[Алгебра_phys_1_февраль–март|<font size="3"><b>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]
  
 
[[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]
 
[[Алгебра_phys_1_апрель–май|<font size="3"><b>Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры</b></font>]]

Версия 02:00, 28 марта 2018

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 101/1: Евгений Евгеньевич Горячко.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/1.

Преподаватель практики у подгруппы 101/2: Алексей Викторович Ржонсницкий.
Таблица успеваемости на практике студентов подгруппы 101/2.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание второго семестра курса алгебры

6   Векторные пространства
  • 6.1  Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами
    Векторные пространства. Примеры векторных пространств. Линейные операторы. Подпространства. Подпространство, порожденное множеством.
    Линейные комбинации. Теорема о слоях и ядре линейного оператора. Аффинные операторы. Аффинные подпространства. Системы линейных уравнений.
  • 6.2  Независимые множества, порождающие множества, базисы
    Независимые множества. Порождающие множества. Базисы. Стандартные базисы. Теорема о свойствах базиса. Теорема о порядках независимых и
    порождающих множеств. Теорема о существовании базиса. Теорема об универсальности базиса. Теорема о базисах и линейных операторах.
  • 6.3  Размерность, координаты, замена координат
    Размерность. Теорема о свойствах размерности. Теорема о размерности и линейных операторах. Столбец координат вектора. Матрица линейного
    оператора. Теорема о матрице линейного оператора. Матрица замены координат. Преобразование координат векторов и матриц линейных операторов.
  • 6.4  Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство
    Факторпространства. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность. Теорема о факторпространстве. Прямая сумма векторных пространств. Теорема о
    прямой сумме. Внутренняя прямая сумма. Лемма об инвариантном подпространстве. Двойственное пространство. Двойственный базис. Строка координат
    ковектора. Преобразование координат ковекторов. Двойственный оператор. Изоморфизм между пространством и дважды двойственным пространством.
7   Линейные операторы (часть 1)
  • 7.1  Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса
    Ранг линейного оператора. Ранг матрицы. Тензорное произведение вектора и ковектора. Теорема о свойствах ранга. Элементарные преобразования.
    Ступенчатые и строго ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Метод Гаусса. Теорема Кронекера–Капелли.
  • 7.2  Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема
    Полилинейные операторы. Полилинейные формы. Перестановка аргументов форм. Симметричные полилинейные формы. Антисимметричные
    полилинейные формы. Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах. Формы объема. Форма . Теорема о формах объема.
  • 7.3  Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора
    Определитель линейного оператора. Теорема о свойствах определителя. Группа . Миноры матрицы. Присоединенная матрица. Теорема о
    присоединенной матрице. Правило Крамера. Теорема о базисном миноре. Собственные числа и собственные векторы. Спектр линейного оператора.
    Лемма о спектре. Характеристический многочлен линейного оператора. След линейного оператора. Теорема о характеристическом многочлене.
8   Векторные пространства с ¯-билинейной формой
  • 8.1  ¯-Билинейные формы
    Билинейные формы. ¯-Билинейные формы. Матрица Грама. Теорема о матрице Грама. Преобразование матриц Грама. ¯-Симметричные ¯-билинейные
    формы и матрицы. ¯-Антисимметричные ¯-билинейные формы и матрицы. Гомоморфизмы и изоморфизмы между пространствами с формой.
  • 8.2  ¯-Квадратичные формы
    ¯-Квадратичные формы. Теорема о поляризации квадратичных форм. Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем . Гиперповерхности
    второго порядка. Примеры гиперповерхностей. Запись уравнения гиперповерхности второго порядка при помощи большой квадратичной формы.
  • 8.3  Музыкальные изоморфизмы и невырожденные ¯-билинейные формы
    Оператор бемоль (опускание индекса). Невырожденные формы. Ранг формы. Топологически невырожденные формы. Оператор диез (подъем индекса).
    Теорема о базисах и невырожденных формах. Ортогональное дополнение. Теорема об ортогональном дополнении. Ортогональные проекторы.
  • 8.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм
    Ортогональные базисы. Ортонормированные базисы. Лемма о неизотропном векторе. Теорема Лагранжа. Матричная формулировка теоремы Лагранжа.
    Формула для вычисления проекции. Лемма об определителе матрицы Грама. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортогональные системы функций.
9   Геометрия в векторных пространствах над или
  • 9.1  Положительно и отрицательно определенные формы и сигнатура формы
    Положительно и отрицательно определенные формы. Положительно и отрицательно определенные матрицы. Следствия из теоремы об ортогональном
    дополнении и теоремы Лагранжа. Критерий Сильвестра. Индексы инерции формы. Закон инерции Сильвестра. Теорема о классификации пространств с
    формой. Сигнатура формы. Исследование кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм.
  • 9.2  Предгильбертовы пространства
    Предгильбертовы пространства. Евклидовы пространства. Унитарные пространства. Норма. Гильбертовы пространства. Теорема о свойствах нормы.
    Метрика. Теорема о расстояниях и проектировании. Метод наименьших квадратов. Углы. Псевдоевклидовы и псевдоунитарные пространства.
  • 9.3  Ориентация, объем, векторное произведение
    Ориентация. Знак набора векторов. Теорема о знаке базиса и формах объема. Объем в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Объем в
    координатах. Лемма об объеме и матрице Грама. Неотрицательный объем. Теорема о неотрицательном объеме в евклидовом пространстве. Векторное
    произведение в псевдоевклидовом пространстве с ориентацией. Векторное произведение в координатах. Теорема о векторном произведении.
10   Алгебры
  • 10.1  Определения и конструкции, связанные с алгебрами
    Алгебры. Примеры алгебр. Структурные константы алгебры. Теорема Кэли для ассоциативных алгебр с . Примеры инъективных гомоморфизмов
    -алгебр. Алгебры с делением. Примеры алгебр с делением. Моноидные алгебры. Алгебры многочленов от свободных переменных. Одночлены.
    Однородные многочлены. Алгебры многочленов от коммутирующих переменных. Алгебры многочленов от антикоммутирующих переменных.
  • 10.2  Алгебры Ли (основные определения и примеры)
    Алгебры Ли. Алгебра Ли . Примеры алгебр Ли. Матричные алгебры Ли. Теорема о группах матриц и матричных алгебрах Ли. Теорема Кэли для
    алгебр Ли. Примеры изоморфизмов -алгебр Ли. Алгебра дифференцирований алгебры. Дифференцирования вдоль векторных полей.

Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры

Подробный план второй половины второго семестра курса алгебры