Test page — различия между версиями

Версия 18:00, 17 января 2018

Formulas were compiled before January 16th, 2018. Formulas differ from the text, this is nice.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}}$, где ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha }$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta }$. Сопряжение: ${\displaystyle {\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i} }$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle a\,{\overline {a}}=|a|^{2}}$ и, если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ и ${\displaystyle {\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм групп).

Formulas were compiled January 16th, 2018. Formulas do not differ from the text, this is not nice.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}}$, где ${\displaystyle \mathrm i^2=-1{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb R^2{}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}}$ и ${\displaystyle \mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}}$. Сопряжение: ${\displaystyle \overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}}$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle a\,\overline a=|a|^2{}}$ и, если ${\displaystyle a\ne0{}}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb C{}}$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \overline{a+b}=\overline a+\overline b{}}$ и ${\displaystyle \overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb C{}}$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}}$ — гомоморфизм групп).

There are formulas that were compiled before January 16th, 2018, and formulas that were compiled January 16th, 2018. Rasterization is different.

• ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$. ${\displaystyle (X+Y)+Z=X+(Y+Z)}$. ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$. ${\displaystyle X+Y=Y+X}$.