Test page — различия между версиями

Версия 13:00, 16 января 2018

Формулы скомпилированы задолго до 16.01.18. Шрифт формул немного более жирный, чем шрифт текста, поэтому формулы выделяются из текста.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}}$, где ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha }$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta }$. Сопряжение: ${\displaystyle {\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i} }$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle a\,{\overline {a}}=|a|^{2}}$ и, если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ и ${\displaystyle {\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1}$. Экспонента от комплексного числа ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$.

Формулы скомпилированы 16.01.18. Шрифт формул сливается со шрифтом текста.

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}}$, где ${\displaystyle \mathrm i^2=-1{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb R^2{}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}}$ и ${\displaystyle \mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}}$. Сопряжение: ${\displaystyle \overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}}$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle a\,\overline a=|a|^2{}}$ и, если ${\displaystyle a\ne0{}}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb C{}}$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \overline{a+b}=\overline a+\overline b{}}$ и ${\displaystyle \overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb C{}}$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1{}}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1{}}$. Экспонента от комплексного числа ${\displaystyle a{}}$: ${\displaystyle \mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k{}}$.

Этих формул раньше на sewiki до 16.01.18.

• ${\displaystyle Mathematics}$. ${\displaystyle This\;is\;a\;new\;formula:\;a\,x^2+b\,x+c}$.

Здесь перемешаны формулы, которые были на sewiki до 16.01.18, и формулы, которых не было на sewiki до 16.01.18.

• ${\displaystyle (X\cup Y)\cup Z=X\cup (Y\cup Z)}$. ${\displaystyle (X+Y)+Z=X+(Y+Z)}$. ${\displaystyle X\cup Y=Y\cup X}$. ${\displaystyle X+Y=Y+X}$.

Тестирование (h2)

Вот тут будет ненумерованный список:

• Первый элемент
• Второй элемент

А вот тут — нумерованный:

1. Первый элемент
2. Второй элемент

Заголовок (h3)

И еще один подзаголовок (h4)

И еще один подподзаголовок (h5)

Подподподзаголовок (h6)

А вот это — заголовок через HTML-тег