Test page — различия между версиями

Версия 03:00, 16 января 2018

Это песочница. Тут можно тестировать разметку.

Тестирование (h2)

Вот тут будет ненумерованный список:

• Первый элемент
• Второй элемент

А вот тут - нумерованный:

1. Первый элемент
2. Второй элемент

Заголовок (h3)

И еще один подзаголовок (h4)

И еще один подподзаголовок (h5)

Подподподзаголовок (h6)

= Подподподподзаголовок уже не работает =

А вот это - заголовок через HTML-тег

Математика (формулы скомпилированы в 2016-м и 2017-м годах)

3.3  Поле комплексных чисел

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb {C} =\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} \mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} \}}$, где ${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm {Re} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\alpha }$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} (\alpha +\beta \,\mathrm {i} )=\beta }$. Сопряжение: ${\displaystyle {\overline {a}}=\mathrm {Re} (a)-\mathrm {Im} (a)\,\mathrm {i} }$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!{\sqrt {\mathrm {Re} (a)^{2}+\mathrm {Im} (a)^{2}}}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle a\,{\overline {a}}=|a|^{2}}$ и, если ${\displaystyle a\neq 0}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!{\frac {\overline {a}}{|a|^{2}}}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle {\overline {a+b}}={\overline {a}}+{\overline {b}}}$ и ${\displaystyle {\overline {a\,b}}={\overline {a}}\,{\overline {b}}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathbb {C} \\a&\mapsto {\overline {a}}\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb {C} }$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle {\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} ^{\times }\!\!&\to \mathbb {R} _{>0}\!\\a&\mapsto |a|\end{aligned}}\!{\biggr )}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1}$. Экспонента от компл. числа ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a}\!=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}\,a^{k}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых ${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$ выполнено ${\displaystyle \mathrm {e} ^{a+b}\!=\mathrm {e} ^{a}\!\cdot \mathrm {e} ^{b}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=1}$ и ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-a}\!=(\mathrm {e} ^{a})^{-1}}$.
  (2) Для любых ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z}$).

Математика (формулы скомпилированы 16.01.2018)

3.3  Поле комплексных чисел

• Кольцо комплексных чисел: ${\displaystyle \mathbb C=\{\alpha+\beta\,\mathrm i\mid\alpha,\beta\in\mathbb R\}{}}$, где ${\displaystyle \mathrm i^2=-1{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C\cong\mathbb R[x]/(x^2+1){}}$. Комплексные числа как точки плоскости ${\displaystyle \mathbb R^2{}}$.
• Вещественная и мнимая части: ${\displaystyle \mathrm{Re}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\alpha{}}$ и ${\displaystyle \mathrm{Im}(\alpha+\beta\,\mathrm i)=\beta{}}$. Сопряжение: ${\displaystyle \overline a=\mathrm{Re}(a)-\mathrm{Im}(a)\,\mathrm i{}}$. Модуль: ${\displaystyle |a|=\!\sqrt{\mathrm{Re}(a)^2+\mathrm{Im}(a)^2}{}}$.
• Теорема о свойствах комплексных чисел.
  (1) Для любых ${\displaystyle a\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle a\,\overline a=|a|^2{}}$ и, если ${\displaystyle a\ne0{}}$, то ${\displaystyle a^{-1}\!=\!\frac{\overline a}{|a|^2}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathbb C{}}$ — поле).
  (2) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \overline{a+b}=\overline a+\overline b{}}$ и ${\displaystyle \overline{a\,b}=\overline a\,\overline b{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C&\to\mathbb C\\a&\mapsto\overline a\end{align}\!\biggr){}}$ — автоморфизм поля ${\displaystyle \,\mathbb C{}}$).
  (3) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle |a\,b|=|a|\,|b|{}}$ (и, значит, отображение ${\displaystyle \biggl(\!\begin{align}\mathbb C^\times\!\!&\to\mathbb R_{>0}\!\\a&\mapsto|a|\end{align}\!\biggr){}}$ — гомоморфизм групп).
• Группа ${\displaystyle \mathrm S^1{}}$: ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{g\in\mathbb C\mid|g|=1\}{}}$. Утверждение: ${\displaystyle \mathbb C^\times\!\cong\mathbb R_{>0}\!\times\mathrm S^1{}}$. Экспонента от компл. числа ${\displaystyle a{}}$: ${\displaystyle \mathrm e^a\!=\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\,a^k{}}$. Теорема о свойствах экспоненты.

  Теорема о свойствах экспоненты.
  (1) Для любых ${\displaystyle a,b\in\mathbb C{}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{a+b}\!=\mathrm e^a\!\cdot\mathrm e^b{}}$, а также ${\displaystyle \mathrm e^0\!=1{}}$ и ${\displaystyle \mathrm e^{-a}\!=(\mathrm e^a)^{-1}{}}$.
  (2) Для любых ${\displaystyle \varphi\in\mathbb R{}}$ выполнено ${\displaystyle \mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!=\cos\varphi+\sin\varphi\;\mathrm i{}}$ (и, значит, ${\displaystyle \mathrm S^1\!=\{\mathrm e^{\varphi\,\mathrm i}\!\mid\varphi\in[0;2\pi)\}{}}$ и ${\displaystyle \,\mathrm S^1\!\cong\mathbb R^+\!/2\pi\,\mathbb Z{}}$).