|
|
| (не показано 6 промежуточных версий этого же участника) |
| Строка 1: |
Строка 1: |
| − | __NOTOC__
| |
| − | <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2>
| |
| − | <table cellpadding="6" cellspacing="0">
| |
| − | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table><br>
| |
| − |
| |
| − | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
| |
| − |
| |
| − | <ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>.
| |
| − | <li>Глобальные <math>4</math>-мерные системы координат <math>\alpha</math> и <math>\tilde\alpha</math> на множестве <math>M</math> <i>инерциально согласованы в смысле СТО</i>, если замена координат <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> —<br>преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие <math>\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\in\mathrm{SO}^+(1,3)</math><br>и <math>\xi_\alpha^\tilde\alpha\in\mathbb R^4</math>, что для любых <math>x\in\mathbb R^4</math> выполнено <math>\tilde\alpha(\alpha^{-1}(x))=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot x+\xi_\alpha^\tilde\alpha</math>.
| |
| − | <li><u>Лемма 1.</u> Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
| |
| − | <li><i>Пространство событий в СТО</i> — множество <math>M</math>, на котором зафиксирован класс <math>\mathcal A_M</math> инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных<br><math>4</math>-мерных систем координат.
| |
| − | <li><i>Инерциальная система координат</i> на пространстве событий <math>M</math> в СТО — глобальная <math>4</math>-мерная система координат, принадлежащая классу <math>\mathcal A_M</math>.</ul>
| |
| − |
| |
| − | Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура <math>4</math>-мерного многообразия: на <math>4</math>-мерном<br>многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,<br>разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные<br>конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,<br>тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких<br>замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для<br>пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом<br>пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
| |
| − |
| |
| − | Зафиксируем пространство событий <math>M</math> в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).
| |
| − |
| |
| − | <ul><li><u>Лемма 2.</u> Для любых <math>m\in M</math>, <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>v^\tilde\alpha\!=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot v^\alpha</math> (здесь <math>v^\alpha</math> — столбец координат вектора <math>v</math> относительно базиса<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^0}(m),\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr\}</math> пространства <math>\mathrm T_mM</math>, определяемого инерциальной системой координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>).
| |
| − | <li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> точки <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — точка <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
| |
| − | <li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
| |
| − | <li>Пусть <math>m\in M</math>; <i>скалярное произведение</i> <math>g(m)</math> на касательном пространстве <math>\mathrm T_mM</math> — невырожденная симметричная билинейная форма<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM\times\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\(v,w)&\mapsto(v^\alpha)^\mathtt T\!\cdot\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\cdot w^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
| |
| − | <li><u>Лемма 4.</u> Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
| |
| − | <li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> точек <math>m_1,\ldots,m_k</math> с<br>коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — точка <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>.
| |
| − | <li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>.
| |
| − | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через точки <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>.
| |
| − | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> точек <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного пространства <math>\mathrm T_mM</math>).
| |
| − | <li><u>Лемма 6.</u> Для любых <math>m,n\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>(n-m)^\alpha\!=\alpha(n)-\alpha(m)</math>.
| |
| − | <li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul>
| |
| − |
| |
| − | Доказанные утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math>, а также<br>на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
| |
| − |
| |
| − | <h2>Дифференциальные формы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2>
| |
| − |
| |
| − | Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math>.
| |
| − |
| |
| − | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>i,j\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{i,j}=\frac{\partial x}{\partial x^i}\frac{\partial x}{\partial x^j}+\frac{\partial y}{\partial x^i}\frac{\partial y}{\partial x^j}+\frac{\partial z}{\partial x^i}\frac{\partial z}{\partial x^j}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\wedge\mathrm dx^2\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>.
| |
| − |
| |
| − | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br>(1) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math>;<br>(2) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\wedge\mathrm dx^2\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>.
| |
| − |
| |
| − | <!--<h2>Алгебраические структуры</h2>
| |
| − |
| |
| | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. | | <b>Лектор:</b> Евгений Евгеньевич Горячко. |
| | | | |
| Строка 52: |
Строка 11: |
| | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] | | [[Медиа:Problems_11.11.pdf|<b>Файл с домашним заданием на 11-е ноября.</b>]] |
| | | | |
| − | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed?widget=false<b>Таблица успеваемости студентов.</b>] | + | [https://docs.google.com/spreadsheets/d/1FFLPZXZwBFdEmG7NFQC856NN9ZCfcAthoX53pVq-Du8/htmlembed<b>Таблица успеваемости студентов.</b>] |
| | | | |
| | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). | | <b>Все основные материалы курса имеются на следующих страницах:</b> http://mit.spbau.ru/courses/algstructures и<br>http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_se (а также http://mit.spbau.ru/courses/algstructures_cs для группы CS). |
| | | | |
| − | __NOTOC__
| + | <h2>Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности</h2> |
| − | <h2>2 Линейная алгебра</h2> | + | <table cellpadding="6" cellspacing="0"> |
| | + | <tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться<br>неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции.</td></tr><tr align="right"><td><i>Ю.И. Манин. Математика как метафора</i></td></tr></table></td></tr></table> |
| | | | |
| − | <h3>2.1 Матрицы, базисы, координаты</h3>
| + | Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных<br>(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства. |
| − | <h5>2.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Пространство матриц <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>. Пространство столбцов: <math>K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)</math>. Пространство строк: <math>{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)</math>.
| + | |
| − | <li>Матричные единицы: <math>(\mathrm{se}_i^j)^k_l=\delta_i^k\delta^j_l</math>. Стандартный базис пространства <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathrm{se}_i^j\mid i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
| − | <li>Стандартный базис пространства <math>K^p</math>: <math>\{\mathrm{se}_i\mid i\in\{1,\ldots,p\}\}</math>. Стандартный базис пространства <math>{}^n\!K</math>: <math>\{\mathrm{se}^j\mid j\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
| − | <li>Умножение матриц: <math>(b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k</math>. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо <math>\mathrm{Mat}(n,K)</math>. Группа <math>\mathrm{GL}(n,K)</math>.
| + | |
| − | <li>Строки матрицы: <math>a^i=\mathrm{se}^i\cdot a</math>. Столбцы матрицы: <math>a_j=a\cdot\mathrm{se}_j</math>. Утверждение: <i><math>(b\cdot a)^i=b^i\cdot a=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j</math> и <math>(b\cdot a)_k=b\cdot a_k=\sum_{j=1}^pa^j_k\,b_j</math></i>.
| + | |
| − | <li>След матрицы: <math>\mathrm{tr}\,a=\sum_{i=1}^na^i_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n,p,K)</math>; тогда <math>\mathrm{tr}(b\cdot a)=\mathrm{tr}(a\cdot b)</math></i>.
| + | |
| − | <li>Транспонирование матрицы: <math>(a^\mathtt T)^i_j=a^j_i</math>. Утверждение: <i>пусть <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(r,p,K)</math>; тогда <math>(b\cdot a)^\mathtt T\!=a^\mathtt T\!\cdot b^\mathtt T</math></i>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>2.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов</h5> | + | <ul><li><i>Глобальная <math>4</math>-мерная система координат</i> на множестве <math>M</math> — биекция между множествами <math>M</math> и <math>\mathbb R^4</math>. |
| − | <ul><li>Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>. | + | <li>Глобальные <math>4</math>-мерные системы координат <math>\alpha</math> и <math>\tilde\alpha</math> на множестве <math>M</math> <i>инерциально согласованы в смысле СТО</i>, если замена координат <math>\tilde\alpha\circ\alpha^{-1}</math> —<br>преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие <math>\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\in\mathrm{SO}^+(1,3)</math><br>и <math>\xi_\alpha^\tilde\alpha\in\mathbb R^4</math>, что для любых <math>x\in\mathbb R^4</math> выполнено <math>\tilde\alpha(\alpha^{-1}(x))=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot x+\xi_\alpha^\tilde\alpha</math>. |
| − | <li>Матрица гомоморфизма: <math>(a_e^h)_j=a(e_j)^h</math>. Утверждение: <i><math>a(e)=h\cdot a_e^h</math> и <math>\forall\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math></i>. Утверждение: <math>(b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f</math>. | + | <li><u>Лемма 1.</u> Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности. |
| − | <li>Изоморфизм векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math>. Изоморфизм колец и векторных пространств <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.</ul>--> | + | <li><i>Пространство событий в СТО</i> — множество <math>M</math>, на котором зафиксирован класс <math>\mathcal A_M</math> инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных<br><math>4</math>-мерных систем координат. |
| | + | <li><i>Инерциальная система координат</i> на пространстве событий <math>M</math> в СТО — глобальная <math>4</math>-мерная система координат, принадлежащая классу <math>\mathcal A_M</math>.</ul> |
| | | | |
| − | <h5>2.1.3 Преобразования координат при замене базиса</h5>
| + | Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура <math>4</math>-мерного многообразия: на <math>4</math>-мерном<br>многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,<br>разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные<br>конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,<br>тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких<br>замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для<br>пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом<br>пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции. |
| − | <ul><li>Матрица замены координат: <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Матрица замены базиса: <math>\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm{id}_V)_\tilde e^e</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm c_\tilde e^e)^{-1}</math></i>.
| + | |
| − | <li>Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Преобразование координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>. Покомпонентная запись: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>.
| + | |
| − | <li>Преобразование координат гомоморфизма: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>. Покомпонентная запись (если <math>a</math> — эндоморфизм): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <!--<h5>2.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду</h5>
| + | Всюду далее <math>M</math> — пространство событий в СТО. |
| − | <ul><li>Элементарные трансвекции <math>\{\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_i^j\mid c\in K,\,i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i\ne j\}</math> и псевдоотражения <math>\{\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_i^i\mid c\in K^\times,\,i\in\{1,\ldots,n\}\}</math>.
| + | |
| − | <li>Элементарные преобразования над строками первого типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathrm{se}_i^k)\cdot a</math> и второго типа <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+(c-1)\mathrm{se}_i^i)\cdot a</math>.
| + | |
| − | <li>Элементарные преобразования над столбцами первого типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+c\,\mathrm{se}_l^j)</math> и второго типа <math>a\mapsto a\cdot(\mathrm{id}_n+(c-1)\mathrm{se}_j^j)</math>.
| + | |
| − | <li>Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
| + | |
| − | <p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>p,n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно <math>\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> (и, значит, не зависит от матриц <math>g_1,\ldots,g_l</math>).</i></p>
| + | |
| − | <li>Нахождение базиса подпространства, порожденного конечным множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h3>2.2 Линейные операторы (часть 1)</h3> | + | <ul><li><u>Лемма 2.</u> Для любых <math>m\in M</math>, <math>v\in\mathrm T_mM</math> и <math>\alpha,\tilde\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>v^\tilde\alpha\!=\Lambda_\alpha^\tilde\alpha\!\cdot v^\alpha</math> (здесь <math>v^\alpha</math> — столбец координат вектора <math>v</math> относительно базиса<br><math>\Bigl\{\frac\partial{\partial x^0}(m),\frac\partial{\partial x^1}(m),\frac\partial{\partial x^2}(m),\frac\partial{\partial x^3}(m)\Bigr\}</math> пространства <math>\mathrm T_mM</math>, определяемого инерциальной системой координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>). |
| − | <h5>2.2.1 Ядро и образ линейного оператора</h5> | + | <li>Пусть <math>m,n\in M</math> и <math>v\in\mathrm T_mM</math>; <i>сумма</i> <math>n+v</math> события <math>n</math> и касательного вектора <math>v</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\alpha(n)+v^\alpha)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
| − | <ul><li>Отступление о свойствах базиса. Утверждение: <math>V\cong Y\,\Leftrightarrow\,\dim V=\dim Y</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>\dim U=\dim V<\infty</math>; тогда <math>U=V</math></i>. | + | <li><u>Лемма 3.</u> Определение суммы события и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
| − | <li>Ядро линейного оператора: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)\le V</math>. Образ линейного оператора: <math>\mathrm{Im}\,a\le Y</math>. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее. | + | <li>Пусть <math>m\in M</math>; <i>скалярное произведение</i> <math>g(m)</math> на касательном пространстве <math>\mathrm T_mM</math> — невырожденная симметричная билинейная форма<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM\times\mathrm T_mM&\to\mathbb R\\(v,w)&\mapsto(v^\alpha)^\mathtt T\!\cdot\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)\cdot w^\alpha\!\end{align}\!\biggr)</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
| − | <p><u>Лемма о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>y\in Y</math>, <math>v_0\in a^{-1}(y)</math>; тогда <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>.</i></p> | + | <li><u>Лемма 4.</u> Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
| − | <p><u>Следствие из леммы о слоях гомоморфизма.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр. над <math>K</math>, <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p> | + | <li>Пусть <math>k\in\mathbb N</math>, <math>m_1,\ldots,m_k\in M</math>, <math>\tau_1,\ldots,\tau_k\in\mathbb R</math> и <math>\tau_1+\ldots+\tau_k=1</math>; <i>барицентрическая комбинация</i> <math>\tau_1m_1+\ldots+\tau_km_k</math> событий <math>m_1,\ldots,m_k</math><br>с коэффициентами <math>\tau_1,\ldots,\tau_k</math> — событие <math>\alpha^{-1}(\tau_1\alpha(m_1)+\ldots+\tau_k\alpha(m_k))</math>, где <math>\alpha\in\mathcal A_M</math>. |
| − | <li><u>Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>,<br><math>\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда выполнено <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math>.</i> | + | <li><u>Лемма 5.</u> Определение барицентрической комбинации событий не зависит от выбора инерциальной системы координат <math>\alpha</math> на <math>M</math>. |
| − | <li><u>Принцип Дирихле для линейных операторов.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V=\dim Y<\infty</math>;<br>тогда выполнено <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math>.</i></ul> | + | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>прямая</i>, проходящая через события <math>m</math> и <math>n</math>, — множество <math>\{(1-\tau)m+\tau\,n\mid\tau\in\mathbb R\}</math>. |
| | + | <li>Пусть <math>m,n\in M</math>; <i>разность</i> <math>n-m</math> событий <math>m</math> и <math>n</math> — скорость в нуле пути <math>\biggl(\!\begin{align}\mathbb R&\to M\\\tau&\mapsto(1-\tau)m+\tau\,n\end{align}\!\biggr)</math> (это элемент касательного простр.-ва <math>\mathrm T_mM</math>). |
| | + | <li><u>Лемма 6.</u> Для любых <math>m,n\in M</math> и <math>\alpha\in\mathcal A_M</math> выполнено <math>(n-m)^\alpha\!=\alpha(n)-\alpha(m)</math>. |
| | + | <li><u>Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах.</u> Пусть <math>m,n\in M</math>; тогда<br>(1) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to M\\v&\mapsto m+v\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}M&\to\mathrm T_mM\\n&\mapsto n-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные биекции;<br>(2) отображения <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_mM&\to\mathrm T_nM\\v&\mapsto(n+v)-n\end{align}\!\biggr)</math> и <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm T_nM&\to\mathrm T_mM\\v&\mapsto(m+v)-m\end{align}\!\biggr)</math> суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.</ul> |
| | | | |
| − | <h5>2.2.2 Ранг линейного оператора</h5>
| + | Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:<br>структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и<br>структурой псевдориманова многообразия сигнатуры <math>(1,3)</math> (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,<br>определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами. |
| − | <ul><li>Ранг линейного оператора: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранг матрицы (ранг по столбцам): <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a_1,\ldots,a_n\rangle</math>. Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>.
| + | |
| − | <li>Утверждение: <math>\mathrm{rk}(a)\le\min\{\dim V,\dim Y\}</math>. Утверждение: <i><math>a\in\mathrm{Inj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim V</math> и <math>a\in\mathrm{Surj}(V,Y)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\dim Y</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) для любых матриц <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(g\cdot a\cdot g')=\mathrm{rk}(a)</math>;<br>(2) существуют такие матрицы <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathrm{se}_1^1+\mathrm{se}_2^2+\ldots+\mathrm{se}_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>;<br>(3) <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1,\ldots,a^p\rangle</math> и <math>\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a^\mathtt T)</math> (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).</i></ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>2.2.3 Системы линейных уравнений</h5> | + | <h2>Дифференциальные операторы на многообразии <math>\mathbb R^3</math></h2> |
| − | <ul><li>Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: <i>пусть <math>a\cdot v_0=y</math>; тогда <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=y\}=v_0+\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда <math>\exists\,v\in K^n\;\bigl(a\cdot v=y\bigr)\,\Leftrightarrow\,\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}((a\;\,y))</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства <math>\{v\in K^n\mid a\cdot v=0\}</math>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h3>2.3 Конструкции над векторными пространствами</h3>
| + | Рассмотрим множество <math>\mathbb R^3</math> как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом<br>согласованности системы координат <math>\mathrm{id}_{\mathbb R^3}</math> (эти координаты обозначаются <math>(x,y,z)</math>), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом<br>элемента длины») <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2</math> и формой объема («элементом объема») <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz</math> (в записи с тензорным произведением<br><math>\sigma=\mathrm dx\otimes\mathrm dx+\mathrm dy\otimes\mathrm dy+\mathrm dz\otimes\mathrm dz</math> и <math>vol=\mathrm dx\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dz+\mathrm dy\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dx+\mathrm dz\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dy-\mathrm dx\otimes\mathrm dz\otimes\mathrm dy-\mathrm dz\otimes\mathrm dy\otimes\mathrm dx-\mathrm dy\otimes\mathrm dx\otimes\mathrm dz</math>). |
| − | <h5>2.3.1 Факторпространства и прямая сумма векторных пространств</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math>. Утверждение: <i>пусть <math>U\le V</math>, <math>A</math> — базис в <math>U</math>, <math>B</math> — базис в <math>V</math>, <math>A\subseteq B</math>; тогда <math>\{b+U\mid b\in B\setminus A\}</math> — базис в <math>V/U</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Прямая сумма векторных пространств: <math>U\oplus W</math>. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
| + | |
| − | <p><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U,W\le V</math>;<br>обозначим через <math>\mathrm{add}_{U,W}</math> отображение <math>\biggl(\!\begin{align}U\oplus W&\to V\\(u,w)&\mapsto u+w\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Hom}(U\oplus W,V)</math>, <math>\mathrm{Ker}\,\mathrm{add}_{U,W}\cong U\cap W</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,\mathrm{add}_{U,W}=U+W</math>;<br>(2) <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\,</math><math>\forall\,v\in V\;\exists!\,u\in U,\,w\in W\;\bigl(v=u+w\bigr)</math><math>\,\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;U+W=V</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\mathrm{add}_{U,W}\in\mathrm{Iso}(U\oplus W,V)</math><math>\;\Leftrightarrow\;</math><math>U\cap W=\{0\}\;\land\;\dim U+\dim W=\dim V</math>;<br>(4) если <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i></p>
| + | |
| − | <li>Подпространство, инвариантное относительно эндоморфизма: <math>a(U)\le U</math>. Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
| + | |
| − | <li>Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>2.3.2 Двойственное пространство</h5> | + | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — система координат на <math>\mathbb R^3</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm dx=\frac{\partial x}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial x}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial x}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>, <math>\mathrm dy=\frac{\partial y}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial y}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial y}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math> и <math>\mathrm dz=\frac{\partial z}{\partial x^1}\,\mathrm dx^1+\frac{\partial z}{\partial x^2}\,\mathrm dx^2+\frac{\partial z}{\partial x^3}\,\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>\sigma=(\mathrm dx)^2+(\mathrm dy)^2+(\mathrm dz)^2=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2+2\,\sigma_{1,2}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^2+2\,\sigma_{1,3}\,\mathrm dx^1\,\mathrm dx^3+2\,\sigma_{2,3}\,\mathrm dx^2\,\mathrm dx^3</math>, где для любых<br><math>j_1,j_2\in\{1,2,3\}</math> выполнено <math>\sigma_{j_1,j_2}\!=\frac{\partial x}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial x}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial y}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial y}{\partial x^{j_2}}+\frac{\partial z}{\partial x^{j_1}}\frac{\partial z}{\partial x^{j_2}}</math>;<br>(3) <math>vol=\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}</math> есть якобиан замены координат при переходе от коорд. <math>(x^1,x^2,x^3)</math> к коорд. <math>(x,y,z)</math>. |
| − | <ul><li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j(v)=(v^e)^j</math>. Утверждение: <math>\lambda=\!\sum_{j=1}^{\dim V}\!\lambda(e_j)e^j</math>. Столбец <math>e^*</math>.
| + | |
| − | <li>Строка координат ковектора. Утверждение: <math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*</math>. Преобразования при замене базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>, <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math> и <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math>.
| + | |
| − | <li>Отождествление пространств <math>V</math> и <math>V^{**}</math> в случае конечномерного пространства <math>V</math> при помощи изоморфизма <math>\,v\mapsto\!\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K\\\lambda&\mapsto\lambda(v)\end{align}\!\biggr)</math>.
| + | |
| − | <li>Сводная таблица о координатах. (В таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>.)</ul>-->
| + | |
| − | <p><table border cellpadding="3" cellspacing="0">
| + | |
| − | <tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
| − | <td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
| + | |
| − | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
| + | |
| − | <td>скорость в точке<br>гладкого пути<br>на многообразии</td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
| − | <td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
| + | |
| − | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
| + | |
| − | <td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
| + | |
| − | <td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
| + | |
| − | <td><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="3"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr>
| + | |
| − | <tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)</math></td></tr></table></td>
| + | |
| − | <td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table></p> | + | |
| | | | |
| − | <!--<h3>2.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель</h3>
| + | Пусть <math>(x^1,x^2,x^3)</math> — ортогональная положительно ориентированная система координат на <math>\mathbb R^3</math> (то есть <math>\sigma_{1,2}=\sigma_{1,3}=\sigma_{2,3}=0</math> и <math>vol_{1,2,3}\!>0</math>); тогда<br><math>\sigma=\sigma_{1,1}(\mathrm dx^1)^2+\sigma_{2,2}(\mathrm dx^2)^2+\sigma_{3,3}(\mathrm dx^3)^2</math> и <math>vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3</math>, где <math>vol_{1,2,3}\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}</math>. |
| − | <h5>2.4.1 Отступление о симметрических группах</h5>
| + | |
| − | <ul><li>Симметрическая группа: <math>\mathrm S_n=\mathrm S(\{1,\ldots,n\})</math>. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
| + | |
| − | <li>Утверждение: <math>(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k)\circ(k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)=(i_1\;\ldots\;i_l\;\,k\;\,j_1\;\ldots\;j_m)</math>. Утверждение: <math>u\circ(i_1\;\ldots\;i_l)\circ u^{-1}=(u(i_1)\;\ldots\;u(i_l))</math>.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о классах сопряженности в симметрических группах.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>s,\breve s\in\mathrm S_n</math>; тогда перестановки <math>s</math> и <math>\breve s</math> сопряжены, если и только<br>если (неупорядоченные) наборы длин циклов перестановок <math>s</math> и <math>\breve s</math> равны.</i>
| + | |
| − | <li>Транспозиции <math>\{(i\;\,j)\mid i,j\in\{1,\ldots,n\},\,i<j\}</math> и фундаментальные транспозиции <math>\{(i\;\,i+1)\mid i\in\{1,\ldots,n-1\}\}</math>. Число циклов <math>\kappa(u)</math>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма об умножении на транспозицию.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N\!\setminus\!\{1\}</math>, <math>u\in\mathrm S_n</math>, <math>i,j\in\{1,\ldots,n\}</math> и <math>i<j</math>; тогда<br>(1) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат одному циклу в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)+1</math>;<br>(2) если числа <math>i</math> и <math>j</math> принадлежат разным циклам в перестановке <math>u</math>, то <math>\kappa(u\circ(i\;\,j))=\kappa(u)-1</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций.</u> <i>Пусть <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>u\in\mathrm S_n</math>; обозначим через <math>l</math> число <math>n-\kappa(u)</math>; тогда<br>(1) существуют такие транспозиции <math>u_1,\ldots,u_l\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_l</math>;<br>(2) для любых <math>t\in\mathbb N_0</math> из существования таких транспозиций <math>u_1,\ldots,u_t\in\mathrm S_n</math>, что <math>u=u_1\circ\ldots\circ u_t</math>, следует, что <math>t\ge l</math> и <math>t\equiv l\;(\mathrm{mod}\;2)</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Знак перестановки: <math>\mathrm{sgn}(u)=(-1)^{n-\kappa(u)}</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{sgn}</math> — гомоморфизм групп</i>. Знакопеременная группа: <math>\mathrm A_n=\{u\in\mathrm S_n\!\mid\mathrm{sgn}(u)=1\}\trianglelefteq\mathrm S_n</math>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>2.4.2 Полилинейные отображения и формы объема</h5>
| + | <ul><li>Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат <math>(x^1,x^2,x^3)</math> на <math>\mathbb R^3</math> и обозначим через <math>e_1</math>, <math>e_2</math> и <math>e_3</math> векторные<br>поля <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\frac{\partial}{\partial x^1}</math>, <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\frac{\partial}{\partial x^2}</math> и <math>\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\frac{\partial}{\partial x^3}</math> соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда<br><math>e^1\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,\mathrm dx^1</math>, <math>e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,\mathrm dx^2</math> и <math>e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,\mathrm dx^3</math>, а также <math>\sigma=(e^1)^2+(e^2)^2+(e^3)^2</math> и <math>vol=e^1\!\wedge e^2\!\wedge e^3</math>. |
| − | <ul><li>Пространства полилинейных отображений <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math>, <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math> и полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math>, <math>\mathrm{Multi}_kV</math>. | + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; тогда<br>(1) <math>{\downarrow}\,v=v^1e^1+v^2e^2+v^3e^3\!=\!\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3</math>;<br>(2) <math>*\,({\downarrow}\,v)=v^1e^2\!\wedge e^3-v^2e^1\!\wedge e^3+v^3e^1\!\wedge e^2\!=\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2</math>. |
| − | <li>Пространства билинейных отображений <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math> и билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math>, <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилинейных форм.
| + | <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем градиент функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\nabla f={\uparrow}\,(\mathrm df)={\uparrow}\,(\partial_1f\;\mathrm dx^1+\partial_2f\;\mathrm dx^2+\partial_3f\;\mathrm dx^3)=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3</math>. |
| − | <li>Пространство симметричных полилинейных форм <math>\mathrm{SMulti}_kV</math>. Пространство антисимметричных полилинейных форм <math>\mathrm{AMulti}_kV</math>. | + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем дивергенцию векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{div}\,v=*\,\mathrm d\,{*}\,({\downarrow}\,v)=*\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3-\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\bigr)=</math><br><math>=*\Bigl(\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3\Bigr)=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}\,v^1\bigr)+\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}\,v^2\bigr)+\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}\,v^3\bigr)\bigr)</math>. |
| − | <li><u>Лемма об антисимметричных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>\omega\in\mathrm{Multi}_kV</math>; тогда<br>следующие условия эквивалентны (если <math>\mathrm{char}\,K=2</math>, то исключаются импликации (2)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1) и (3)<math>\;\Rightarrow\,</math>(1)):<br>(1) <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_kV</math>;<br>(2) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и таких <math>u\in\mathrm S_k</math>, что <math>u</math> — транспозиция, выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=-\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_k\in V</math> и <math>u\in\mathrm S_k</math> выполнено <math>\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})=\mathrm{sgn}(u)\,\omega(v_1,\ldots,v_k)</math>.</i>
| + | <li>Пусть <math>v=v^1e_1+v^2e_2+v^3e_3\in\mathrm{Vect}(\mathbb R^3)</math>; найдем ротор векторного поля <math>v</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\mathrm{rot}\,v={\uparrow}\,(*\,\mathrm d({\downarrow}\,v))={\uparrow}\,\bigl({*}\,\mathrm d\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\mathrm dx^1+\!\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\mathrm dx^2+\!\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\mathrm dx^3\bigr)\bigr)=</math><br><math>={\uparrow}\Bigl({*}\Bigl(\!\bigl(\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^2\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^3+\bigl(\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)\!\bigr)\,\mathrm dx^1\!\wedge\mathrm dx^2\Bigr)\!\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac{\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)}{\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\,e_1-\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{3,3}}\,v^3\bigr)-\partial_3\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}\,e_2+\frac{\partial_1\bigl(\sqrt{\sigma_{2,2}}\,v^2\bigr)-\partial_2\bigl(\sqrt{\sigma_{1,1}}\,v^1\bigr)}{\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}\,e_3</math>. |
| − | <li>Пространство форм объема <math>\mathrm{AMulti}_nV</math> (<math>n=\dim V</math>). Форма объема, связанная с базисом: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,(v_1^e)^{u(1)}\!\ldots(v_n^e)^{u(n)}</math>.
| + | <li>Пусть <math>f\in\mathrm{Func}(\mathbb R^3)</math>; найдем лапласиан функции <math>f</math> в координатах <math>(x^1,x^2,x^3)</math>:<br><math>\Delta f=\mathrm{div}(\nabla f)=\mathrm{div}\Bigl(\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\;e_1+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\;e_2+\frac1{\!\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\;e_3\Bigr)\!=</math><br><math>=\frac1{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}\Bigl(\partial_1\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{2,2}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{1,1}}}\,\partial_1f\Bigr)+\partial_2\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{3,3}}}{\sqrt{\sigma_{2,2}}}\,\partial_2f\Bigr)+\partial_3\Bigl(\frac{\!\sqrt{\sigma_{1,1}\,\sigma_{2,2}}}{\sqrt{\sigma_{3,3}}}\,\partial_3f\Bigr)\!\Bigr)</math>.</ul> |
| − | <li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда<br>(1) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) для любых <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{AMulti}_nV</math>;<br>(3) для любых <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> и <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul> | + | |
| | | | |
| − | <h5>2.4.3 Определитель линейного оператора</h5> | + | Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на <math>\mathbb R^3</math> (за исключением множества меры нуль)<br>являются цилиндрическая система координат <math>(\rho,\varphi,z)</math> и сферическая система координат <math>(r,\theta,\varphi)</math>. Ниже найдены функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для этих<br>систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы<br>для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат. |
| − | <ul><li>Определитель линейного оператора: <math>\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))=\det a\cdot\omega(v_1,\ldots,v_n)</math>, где <math>\omega\in\mathrm{AMulti}_nV\!\setminus\!\{0\}</math>. Корректность определения.
| + | |
| − | <li><u>Теорема о главных свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math> (напоминание: <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>);<br>(2) для любых <math>a,b\in\mathrm{End}(V)</math> выполнено <math>\det(a\circ b)=\det a\cdot\det b</math><br>(и, значит, отображение <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{GL}(V)&\to K^\times\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> определено корректно и является гомоморфизмом групп).</i>
| + | |
| − | <li>Определитель матрицы: <math>\det a=\sum_{u\in\mathrm S_n}\mathrm{sgn}(u)\,a^{u(1)}_1\!\ldots a^{u(n)}_n</math>. Утверждение: <i>пусть <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math></i>.
| + | |
| − | <li><u>Лемма об определителе оператора и определителе матрицы.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>\dim V<\infty</math>,<br><math>a\in\mathrm{End}(V)</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; обозначим через <math>n</math> число <math>\dim V</math>; тогда <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>.</i>
| + | |
| − | <li>Утверждение: <i><math>\det a=\det a^\mathtt T</math> и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков</i>.
| + | |
| − | <li>Специальные линейные группы: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(V)</math> и <math>\mathrm{SL}(n,K)=\{a\in\mathrm{GL}(n,K)\mid\det a=1\}\trianglelefteq\mathrm{GL}(n,K)</math>.</ul>
| + | |
| | | | |
| − | <h5>2.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица</h5>
| + | <ul><li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для цилиндрической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\rho}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=\rho^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(\rho\cos\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(\rho\sin\varphi)}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial z}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>. |
| − | <ul><li>Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^i_j=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнительный минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(j,i)</math><math>\bigr)</math>. | + | <li>Функции <math>\sigma_{1,1}</math>, <math>\sigma_{2,2}</math>, <math>\sigma_{3,3}</math> для сферической системы координат:<br><math>\sigma_{1,1}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial r}\Bigr)^{\!2}\!=1</math>, <math>\sigma_{2,2}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\theta}\Bigr)^{\!2}\!=r^2</math>,<br><math>\sigma_{3,3}=\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\cos\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\sin\theta\sin\varphi)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!+\Bigl(\frac{\partial(r\cos\theta)}{\partial\varphi}\Bigr)^{\!2}\!=r^2\sin^2\theta</math>.</ul> |
| − | <li><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,K)</math>; тогда<br>(1) <math>\forall\,i,k\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k\Bigr)</math> и <math>\forall\,j,l\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j\Bigr)</math> (в частности,<br>при <math>i=k</math> имеем <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a\Bigr)</math> и при <math>j=l</math> имеем <math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a\Bigr)</math>;<br>это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, то <math>a^{-1}=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math>.</i> | + | |
| − | <li><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac{\det\!\bigl(a_1\;\ldots\;a_{j-1}\;\,y\;\,a_{j+1}\;\ldots\;a_n\bigr)}{\det a}</math>.</i>
| + | |
| − | <li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел<br><math>m\in\mathbb N_0</math>, что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i></ul>--> | + | |
Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.
Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура -мерного многообразия: на -мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.
Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством (для любых событий и касательных векторов определена их сумма) и
структурой псевдориманова многообразия сигнатуры (для любых касательных векторов, принадлежащих одному касательному пространству,
определено их скалярное произведение), а также на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.
Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на (за исключением множества меры нуль)
являются цилиндрическая система координат и сферическая система координат . Ниже найдены функции , , для этих
систем координат; используя формулы для этих функций и приведенные выше формулы для дифференциальных операторов, можно найти формулы
для рассматриваемых дифференциальных операторов в цилиндрической и сферической системах координат.
