Просмотр исходного текста страницы Домашнее задание к 09.10.14, матан, 1 семестр

[[Медиа:Matan141009.tex|TeX]], [[Медиа:Matan141009.pdf|PDF]]

# Пусть <math>x_n </math> и <math>y_n </math> --- последовательности вещественных чисел. Пусть <math>X=\lim\limits_{n\to +\infty}x_n </math>,<math>Y=\lim\limits_{n\to +\infty}y_n </math>, а функции <math>N_x \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, N_y \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} </math> таковы, что для любого <math>\varepsilon>0 </math> при <math>n>N_x(\varepsilon) </math> выполнено <math>|x_n-X|<\varepsilon </math>, а при <math>n>N_y(\varepsilon) </math>  выполнено <math>|y_n-Y|<\varepsilon </math>. Найдите предел <math>Z=\lim\limits_{n\to +\infty}z_n </math> и функцию <math>N_z \colon \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R} </math> такую, что для любого <math>\varepsilon>0 </math> при <math>n>N_z(\varepsilon) </math> выполнено <math>|z_n-Z|<\varepsilon </math>, если последовательность <math>z_n </math> задана соотношением:
## (0.5) <math>z_n = x_n + y_n </math>;
## (0.5) <math>z_n = x_n^2 </math>;
## (1) <math>z_n = x_n y_n </math>; 
## (1) <math>z_n = \frac{1}{y_n} </math> (считать <math>Y\ne 0 </math>);
## (1) <math>z_n =\frac{x_n}{y_n} </math> (считать <math>Y\ne 0 </math>);
## (1) <math>z_n = x_n^2y_n + y_n^2x_n </math>;
## (1) <math>z_n = \frac{x_n^2y_n + y_n^2x_n}{1+(x_n+y_n)^2} </math>; 
# (2 балла) Докажите, что последовательность <math>x_n=\sqrt{n} \cdot \frac{1\cdot 3\cdot \dots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \dots \cdot 2n} </math> имеет конечный предел.
# (3 балла) Докажите, что последовательность вещественных чисел, удовлетворяющая рекуррентному соотношению <math>x_{n+1}=x_n \sin x_n </math>, сходится.
# (4 балла) Докажите, что если последовательность <math>x_n </math> имеет предел <math>a </math>, то последовательность <math>y_n=\frac{x_1+x_2+\dots + x_n}{n} </math> тоже имеет предел <math>a </math>.