Просмотр исходного текста страницы Алгебра phys 1 февраль–март

__NOTOC__
<h2>Подробный план первой половины второго семестра курса алгебры</h2>
<table cellpadding="6" cellspacing="0">
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно-<br>научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира-<br>щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического<br>анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам-<br>нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство<br>приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика.<br>Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности<br>малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы<br>является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной<br>алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной<br>двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб-<br>лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени.</td></tr><tr align="right"><td><i>А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия</i></td></tr></table></td></tr>
<tr><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td></td><td><table cellpadding="0" cellspacing="3"><tr><td>Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса,<br>особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики.<br>Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и<br>до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести<br>квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли<br>правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться<br>игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения)<br>также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной.<br>То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за<br>листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб-<br>разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю-<br>щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго<br>пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст-<br>венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело-<br>век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-)</td></tr><tr align="right"><td><i>По мотивам комментария в Живом Журнале ([http://avva.livejournal.com/2932837.html avva.livejournal.com/2932837.html])</i></td></tr></table></td></tr></table>

<h3>6&nbsp;&nbsp; Векторные пространства</h3>
<h5>6.1&nbsp; Определения и конструкции, связанные с векторными пространствами</h5>
<ul><li>Векторное пространство над полем <math>K</math> — абелева группа с «правильным» умножением на скаляры из <math>K</math>. Свойства операций в векторном пространстве.
<li>Примеры: пространства столбцов и строк, пространства матриц, пространства функций, пространства финитных функций, пространства многочленов.
<li>Гомоморфизмы вект. пространств (линейные операторы): <math>\mathrm{Hom}(V,Y)</math> — вект. пространство. Кольцо <math>\mathrm{End}(V)</math>, группа <math>\mathrm{GL}(V)=\mathrm{Aut}(V)=\mathrm{End}(V)^\times</math>.
<li>Подпростр.-во: <math>U\le V\,\Leftrightarrow\,U+U\subseteq U\,\land\,0\in U\,\land\,K\,U\subseteq U</math>. Подпр.-во, порожд. мн.-вом <math>D</math>: <math>\langle D\rangle</math> — наименьш. относ.-но <math>\subseteq</math> подпр.-во, содержащ. <math>D</math>.
<li>Линейная комбинация элементов множества <math>D</math>: <math>\sum_{d\in D}f(d)\,d=f(d_1)\,d_1+\ldots+f(d_m)\,d_m</math>. Утверждение: <math>\langle D\rangle=\bigl\{\sum_{d\in D}f(d)\,d\mid f\in\mathrm{FinFunc}(D,K)\bigr\}</math>.
<li>Ядро и образ линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{Ker}\,a=a^{-1}(0)</math> и <math>\mathrm{Im}\,a</math>. Утверждение: <i><math>\mathrm{Ker}\,a\le V</math> и <math>\,\mathrm{Im}\,a\le Y</math></i>. Теорема о слоях и ядре линейного оператора.
<p><u>Теорема о слоях и ядре линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>y\in Y</math> и <math>v_0\in a^{-1}(y)</math> выполнено <math>a^{-1}(y)=v_0+\mathrm{Ker}\,a</math>;<br>(2) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>\,\mathrm{Ker}\,a=\{0\}</math>.</i></p>
<li>Матричная запись системы из <math>p</math> линейных уравн.-й от <math>n</math> переменных: <math>a\cdot v=y</math> (<math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>, <math>v\in K^n</math>, <math>y\in K^p</math>). Однородная система: <math>a\cdot v=0</math>.
<li>Аффинные операторы: <math>v\mapsto a(v)+z</math>, где <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>. Аффинные подпростр.-ва: <math>v+U</math>, где <math>U\le V</math> (<math>U</math> — направляющее подпр.-во для <math>v+U</math>).</ul>

<h5>6.2&nbsp; Независимые множества, порождающие множества, базисы</h5>
<ul><li><math>C</math> — независимое мн.-во: <math>\forall\,f\in\mathrm{FinFunc}(C,K)\;\bigl(\sum_{c\in C}f(c)\,c=0\,\Rightarrow f=0\bigr)</math>. <math>D</math> — порождающее мн.-во: <math>V=\langle D\rangle</math>. Базис — независ. порожд. мн.-во.
<li>Стандартные базисы пространств <math>K^n</math> и <math>K_n</math>: <math>\{\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n\}</math> и <math>\{\mathbf e^1,\ldots,\mathbf e^n\}</math>. Стандартный базис простр.-ва <math>\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>: <math>\{\mathbf e_1^1,\ldots,\mathbf e_1^n,\ldots,\mathbf e_p^1,\ldots,\mathbf e_p^n\}</math>.
<li><u>Теорема о свойствах базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>B\subseteq V</math>; тогда следующие утверждения эквивалентны:<br>(у1) <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>;<br>(у2) отображение <math>\Biggl(\!\begin{align}\,\mathrm{FinFunc}(B,K)&\to V\\f&\mapsto\sum_{b\in B}f(b)\,b\end{align}\!\Biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств;<br>(у3) для любого вектора <math>v\in V</math> существует единственная такая финитная функция <math>f\in\mathrm{FinFunc}(B,K)</math>, что <math>v=\sum_{b\in B}f(b)\,b</math>;<br>(у4) <math>B</math> — максимальное независимое множество (то есть <math>B</math> — независимое мн.-во и для любых <math>v\in V\!\setminus\!B</math> мн.-во <math>B\cup\{v\}</math> не является независимым);<br>(у5) <math>B</math> — минимальное порождающее множество (то есть <math>B</math> — порождающее мн.-во и для любых <math>b\in B</math> мн.-во <math>B\!\setminus\!\{b\}</math> не является порождающим).</i>
<li><u>Теорема о порядках независимых и порождающих множеств.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>C,D\subseteq V</math> и <math>|D|<\infty</math>;<br>тогда, если <math>C</math> — независимое множество и <math>C\subseteq\langle D\rangle</math>, то <math>|C|\le|D|</math>, и, если <math>C</math> и <math>D</math> — базисы пространства <math>V</math>, то <math>|C|=|D|</math>.</i>
<li><u>Теорема о существовании базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>C</math> — независимое подмножество в <math>V</math> и<br><math>D</math> — порождающее подмножество в <math>V</math>, а также в <math>V</math> существует конечное порождающее подмножество; тогда<br>(1) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>C\subseteq B</math> (и, значит, дополняя до базиса множество <math>\,\varnothing</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис);<br>(2) существует такой базис <math>B</math> пространства <math>V</math>, что <math>B\subseteq D</math> (и, значит, выделяя базис из множества <math>V</math>, получаем, что в <math>V</math> существует базис).</i>
<li><u>Теорема об универсальности базиса.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math> и <math>B</math> — базис пространства <math>V</math>; тогда для любых <math>\alpha\in\mathrm{Func}(B,Y)</math><br>существует единственный такой <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, что <math>a|_B=\alpha</math> (и, значит, <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Func}(B,Y)\\a&\mapsto a|_B\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пространств).</i>
<li><u>Теорема о базисах и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — вект. пр.-ва над <math>K</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>a</math> — инъекция, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — независимое множество;<br>(2) <math>a</math> — сюръекция, если и только если <math>a(B)</math> — порождающее множество;<br>(3) <math>a</math> — изоморфизм, если и только если <math>a|_B</math> — инъекция и <math>a(B)</math> — базис.</i></ul>

<h5>6.3&nbsp; Размерность, координаты, замена координат</h5>
<ul><li>Размерность <math>\dim V</math> пр.-ва <math>V</math> — порядок (мощность) базиса пр.-ва <math>V</math>. Примеры: <math>\dim K^n\!=\dim K_n\!=n</math>, <math>\dim\mathrm{Mat}(p,n,K)=n\,p</math>, <math>\dim K[x]=\infty</math>.
<li><u>Теорема о свойствах размерности.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда<br>(1) для любого независимого подмножества <math>C</math> в <math>V</math> выполнено <math>|C|\le\dim V</math> и, если <math>|C|=\dim V</math>, то <math>C</math> — базис;<br>(2) для любого порождающего подмножества <math>D</math> в <math>V</math> выполнено <math>|D|\ge\dim V</math> и, если <math>|D|=\dim V</math>, то <math>D</math> — базис;<br>(3) для любого подпространства <math>U</math> в <math>V</math> выполнено <math>\dim U\le\dim V</math> и, если <math>\dim U=\dim V</math>, то <math>U=V</math>.</i>
<li><u>Теорема о размерности и линейных операторах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>\dim V,\dim Y<\infty</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\le\dim Y</math>;<br>(2) <math>\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)\ne\varnothing</math>, если и только если <math>\dim V\ge\dim Y</math>;<br>(3) <math>V\cong Y</math>, если и только если <math>\dim V=\dim Y</math>;<br>(4) если <math>\dim V=\dim Y</math>, то <math>\,\mathrm{Inj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Surj}(V,Y)\cap\mathrm{Hom}(V,Y)=\mathrm{Iso}(V,Y)</math> (это принцип Дирихле для линейных операторов).</i>
<li>Множество упорядоченных базисов: <math>\mathrm{OB}(V)</math>. Столбец координат вектора: <math>v^e</math>. Утверждение: <math>v=e\cdot v^e</math>. Изоморфизм векторных простр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Матрица линейн. оператора <math>a</math>: <math>(a_e^h)^\bullet_j=a(e_j)^h</math>. Теорема о матрице линейного оператора. Изоморфизм колец и вект. пр.-в <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}\!\biggr)</math>.
<p><u>Теорема о матрице линейного оператора.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле и <math>V,X,Y,Z</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>; тогда<br>(1) если <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>p=\dim Y<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,Y),\,v\in V\;\bigl(a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\bigr)</math>, а также отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{Hom}(V,Y)&\to\mathrm{Mat}(p,n,K)\\a&\mapsto a_e^h\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм векторных пространств (и, значит, <math>\dim\mathrm{Hom}(V,Y)=n\,p</math>);<br>(2) если <math>\dim V,\dim X,\dim Z<\infty</math>, <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>f\in\mathrm{OB}(X)</math> и <math>g\in\mathrm{OB}(Z)</math>, то <math>\forall\,a\in\mathrm{Hom}(V,X),\,b\in\mathrm{Hom}(X,Z)\;\bigl((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\bigr)</math>.</i></p>
<li>Матрица замены координат (<math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>): <math>\mathrm c_e^\tilde e=(\mathrm{id}_V)_e^\tilde e</math>. Пример: <math>\mathrm c_e^\mathbf e=e</math> (<math>V=K^n</math>, <math>\mathbf e=(\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n)</math>). Утверждение: <i><math>\mathrm c_\tilde e^\tilde\tilde e\cdot\mathrm c_e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde\tilde e</math> и <math>\,\mathrm c_\tilde e^e=(\mathrm c_e^\tilde e)^{-1}</math></i>.
<li>Преобразование столбца координат вектора: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math>; то же в покомпонентной записи: <math>v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k</math>. Преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>.
<li>Преобраз.-е матрицы линейн. оператора: <math>a_\tilde e^\tilde h=\mathrm c_h^\tilde h\cdot a_e^h\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>; то же в покомпонентной записи (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>e=h{}</math>, <math>\tilde e=\tilde h{}</math>): <math>a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k</math>.</ul>

<h5>6.4&nbsp; Факторпространства, прямая сумма векторных пространств, двойственное пространство</h5>
<ul><li>Факторпространство: <math>V/U</math> с фактороперациями (<math>U\le V</math>). Корректность опред.-я. Теорема о гомоморфизме. Коразмерность: <math>\mathrm{codim}_VU=\dim V/U</math>.
<p><u>Теорема о гомоморфизме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда <math>V/\,\mathrm{Ker}\,a\cong\mathrm{Im}\,a</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о факторпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>U\le V</math>; тогда<br>(1) если <math>A</math> — базис пространства <math>U</math>, <math>B</math> — базис пространства <math>V</math> и <math>A\subseteq B</math>, то все классы смежности <math>b+U</math>, где <math>b\in B\!\setminus\!A</math>, попарно различны и<br>вместе образуют базис пространства <math>V/U</math>;<br>(1') если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\dim V/U=\dim V-\dim U</math>;<br>(2) если <math>\dim V<\infty</math>, <math>Y</math> — вект. пр.-во над <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, то <math>\dim\mathrm{Ker}\,a+\dim\mathrm{Im}\,a=\dim V</math> (это теорема о размерностях ядра и образа).</i>
<li>Прямая сумма <math>U\oplus W</math>: <math>U\times W</math> с покомпонентными операциями. Обобщение (<math>I</math> — мн.-во): <math>\bigoplus_{i\in I}V_i=\{f\in\mathrm{FinFunc}(I,\bigcup_{i\in I}V_i)\mid\forall\,i\in I\;\bigl(f(i)\in V_i\bigr)\}</math>.
<li><u>Теорема о прямой сумме.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>k\in\mathbb N_0</math> и <math>V_1,\ldots,V_k\le V</math>; обозначим через <math>\mathrm{add}</math><br>линейный оператор <math>\biggl(\!\begin{align}V_1\oplus\ldots\oplus V_k&\to V\\(v_1,\ldots,v_k)&\mapsto v_1+\ldots+v_k\end{align}\!\biggr)</math>; тогда<br>(1) если <math>B_1,\ldots,B_k</math> — базисы пространств <math>V_1,\ldots,V_k</math> соответственно, то <math>\{(b_1,0,\ldots,0)\mid b_1\in B_1\}\cup\ldots\cup\{(0,\ldots,0,b_k)\mid b_k\in B_k\}{}</math> —<br>базис пространства <math>V_1\oplus\ldots\oplus V_k{}</math> (и, значит, если дополнительно <math>\mathrm{add}</math> — изоморфизм, то <math>B_1\cup\ldots\cup B_k</math> — базис пространства <math>V</math>);<br>(1') если <math>\dim V_1,\ldots,\dim V_k<\infty</math>, то <math>\dim(V_1\oplus\ldots\oplus V_k)=\dim V_1+\ldots+\dim V_k</math>;<br>(2) следующие утверждения эквивалентны: (у1) <math>\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>, (у2) <math>\forall\,v\in V\;\exists!\,v_1\in V_1,\ldots,v_k\in V_k\;\bigl(v=v_1+\ldots+v_k\bigr)</math> и<br>(у3) <math>\forall\,i\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(V_i\cap(V_1+\ldots+V_{i-1}+V_{i+1}+\ldots+V_k)=\{0\}\bigr)\,\land\,V=V_1+\ldots+V_k</math>;<br>(3) если <math>\dim V<\infty</math>, то в пункте (2) условие "<math>V=V_1+\ldots+V_k\!</math>" можно заменить на условие "<math>\dim V=\dim V_1+\ldots+\dim V_k\!</math>";<br>(4) если <math>U,W\le V</math> и <math>\dim U,\dim W<\infty</math>, то <math>\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W</math> (это формула Грассмана).</i>
<li>Внутренняя прямая сумма: <math>V=V_1\oplus\ldots\oplus V_k\,\Leftrightarrow\,\mathrm{add}\in\mathrm{Iso}(V_1\oplus\ldots\oplus V_k,V)</math>. Лемма об инвариантном подпространстве. Прямая сумма матриц.
<p><u>Лемма об инвариантном подпространстве.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math>, <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>, <math>U\le V</math> и<br><math>a(U)\subseteq U</math> (то есть <math>U</math> — <math>a</math>-инвариантное подпространство), а также <math>n'=\dim U</math> и <math>n''\!=n-n'</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math>, <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math> и <math>b\in\mathrm{Mat}(n',n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&b\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>;<br>(2) если <math>W\le V</math>, <math>V=U\oplus W</math> и <math>a(W)\subseteq W</math>, то существуют такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>, <math>a'\!\in\mathrm{Mat}(n',K)</math> и <math>a''\!\in\mathrm{Mat}(n'',K)</math>, что <math>a_e^e=\Bigl(\begin{smallmatrix}a'&0\\0&a''\!\end{smallmatrix}\Bigr)</math>.</i></p>
<li>Двойственное пространство: <math>V^*\!=\mathrm{Hom}(V,K)</math>. Двойственный базис: <math>e^j=e_j^*=\bigl(v\mapsto(v^e)^j\bigr)</math>. Столбец <math>e^*\!=\biggl(\begin{smallmatrix}e^1\\\vdots\\e^n\end{smallmatrix}\biggr)</math>. Строка координат ковектора: <math>\lambda_e</math>.
<li>Утверждение: <i><math>\lambda=\lambda_e\cdot e^*\!</math> и <math>\lambda(v)=\lambda_e\cdot v^e</math></i>. Изоморфизм <math>\biggl(\!\begin{align}V^*\!&\to K_n\!\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}\!\biggr)</math>. Преобр.-я при замене базиса: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math>, <math>\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l</math> и <math>\,\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math>.
<li>Двойственный оператор (<math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>): <math>\biggl(\!\begin{align}a^*\colon Y^*\!&\to V^*\\\theta&\mapsto\theta\circ a\end{align}\!\biggr)</math>. Утверждение: <i>если <math>\dim V<\infty</math>, то <math>\biggl(\!\begin{align}V&\to V^{**}\\v&\mapsto\bigl(\lambda\mapsto\lambda(v)\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math> — изоморфизм вект. пр.-в</i>.</ul><br>

<table border cellpadding="4" cellspacing="0">
<tr><th colspan="4">ТАБЛИЦА О КООРДИНАТАХ<br>(в таблице <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e,\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math>)</th></tr>
<tr><th>Инвариантный объект</th><th>Координаты<br>относительно базиса</th><th>Преобразование координат<br>при замене базиса</th><th>Пример использования<br>в геометрии и физике</th></tr>
<tr align="center"><td>вектор <math>v</math> —<br>элемент пространства <math>V</math><br>(тензор типа <math>(1,0)</math> над <math>V</math>)</td>
<td><math>\begin{align}V&\to K^n\\v&\mapsto v^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>v^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot v^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(v^\tilde i=\sum_{k=1}^n(e_k)^\tilde i\,v^k\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e=e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr></table></td>
<td>скорость в точке<br>гладкой кривой<br>на многообразии</td></tr>
<tr align="center"><td>ковектор <math>\lambda</math> —<br>элемент пространства <math>V^*</math><br>(тензор типа <math>(0,1)</math> над <math>V</math>)</td>
<td><math>\begin{align}V^*\!&\to K_n\\\lambda&\mapsto\lambda_e\end{align}</math><br>(это изоморфизм<br>векторных пространств)</td>
<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>\lambda_\tilde e=\lambda_e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(\lambda_\tilde j=\sum_{l=1}^n(e_\tilde j)^l\,\lambda_l\Bigr)</math></td></tr><tr align="center"><td>преобразование базиса: <math>\tilde e^*\!=\mathrm c_e^\tilde e\cdot e^*</math></td></tr></table></td>
<td>дифференциал в точке<br>гладкой функции (скалярного поля)<br>на многообразии</td></tr>
<tr align="center"><td>эндоморфизм <math>a</math> —<br>элемент пространства <math>\mathrm{End}(V)</math><br>(тензор типа <math>(1,1)</math> над <math>V</math>)</td>
<td><math>\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to\mathrm{Mat}(n,K)\\a&\mapsto a_e^e\end{align}</math><br>(это изоморфизм колец<br>и векторных пространств)</td>
<td><table cellpadding="0" cellspacing="2"><tr align="center"><td>матричная запись: <math>a_\tilde e^\tilde e=\mathrm c_e^\tilde e\cdot a_e^e\cdot\mathrm c_\tilde e^e</math></td></tr><tr align="center"><td>покомпонентная запись:<br><math>\forall\,i,j\in\{1,\ldots,n\}\;\Bigl(a^\tilde i_\tilde j=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^n(e_k)^\tilde i(e_\tilde j)^l\,a_l^k\Bigr)\!</math></td></tr></table></td>
<td>дифференциал в неподвижной точке<br>гладкого отображения,<br>действующего из многообразия в себя</td></tr></table><br>

<h3>7&nbsp;&nbsp; Линейные операторы (часть 1)</h3>
<h5>7.1&nbsp; Ранг линейного оператора, элементарные преобразования, метод Гаусса</h5>
<ul><li>Ранг линейного оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\mathrm{Im}\,a</math>. Ранги матрицы <math>a</math> по столбцам и по строкам: <math>\mathrm{rk}(a)=\dim\,\langle a^\bullet_1,\ldots,a^\bullet_n\rangle</math> и <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\dim\,\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math>.
<li>Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}(a_e^h)</math>, <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}((a_e^h)^\mathtt T)</math> и <math>\mathrm{rk}(a+b)\le\mathrm{rk}(a)+\mathrm{rk}(b)</math></i>. Тензорное произв.-е вектора <math>y</math> и ковектора <math>\lambda</math>: <math>(y\otimes\lambda)(v)=\lambda(v)\,y</math>.
<li>Утверждение: <i><math>y\otimes\lambda\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>, <math>\mathrm{rk}(y\otimes\lambda)\le1</math> и <math>(y\otimes\lambda)_e^h=y^h\cdot\lambda_e</math></i>. Теорема о свойствах ранга. Утверждение: <i><math>\mathrm{rk}(b\circ a)\le\min(\mathrm{rk}(a),\mathrm{rk}(b))</math></i>.
<p><u>Теорема о свойствах ранга.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V,Y</math> — векторные пространства над полем <math>K</math>, <math>\dim V,\dim Y<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{Hom}(V,Y)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{rk}(a)=\dim V-\dim\mathrm{Ker}\,a</math> и <math>\mathrm{rk}(a)\le\min(\dim V,\dim Y)</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)=\min\,\{m\in\mathbb N_0\!\mid\exists\,y_1,\ldots,y_m\in Y,\,\lambda_1,\ldots,\lambda_m\in V^*\,\bigl(a=y_1\otimes\lambda_1+\ldots+y_m\otimes\lambda_m\bigr)\}</math>;<br>(3) сущ.-т такие <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math> и <math>h\in\mathrm{OB}(Y)</math>, что <math>a_e^h=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math> (это теорема о приведении матрицы оператора к почти единичному виду)<br>(матричн. формулировка: для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> сущ.-т такие <math>g\in\mathrm{GL}(p,K)</math> и <math>g'\!\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, что <math>g\cdot a\cdot g'=\mathbf e_1^1+\ldots+\mathbf e_{\mathrm{rk}(a)}^{\mathrm{rk}(a)}</math>);<br>(4) <math>\mathrm{rk}(a^*)=\mathrm{rk}(a)</math> (матричная формулировка: для любых <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> выполнено <math>\mathrm{rk}(a^\mathtt T)=\mathrm{rk}(a)</math>).</i></p>
<li>Элементарные матрицы 1-го типа (трансвекции): <math>\mathrm{id}_n+c\,\mathbf e_i^j</math> (<math>c\in K</math>, <math>i\ne j</math>). Элементарные матрицы 2-го типа (дилатации): <math>\mathrm{id}_n-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i</math> (<math>c\in K^\times</math>).
<li>Элементарные преобраз.-я над строками 1-го и 2-го типов: <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p+c\,\mathbf e_i^k)\cdot a</math> и <math>a\mapsto(\mathrm{id}_p-\mathbf e_i^i+c\,\mathbf e_i^i)\cdot a</math>. Элементарные преобр.-я над столбцами.
<li>Ступенчатые матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Строго ступенчатые матрицы. Приведение к строго ступенчатому виду.
<p><u>Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда<br>(1) существуют такие <math>l\in\mathbb N_0</math> и элементарные матрицы <math>g_1,\ldots,g_l</math> размера <math>p\times p</math> над полем <math>K</math>, что <math>g_l\cdot\ldots\cdot g_1\cdot a</math> — ступенчатая матрица;<br>(2) множество ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) — базис пространства <math>\langle a^1_\bullet,\ldots,a^p_\bullet\rangle</math> (и, значит, их количество равно <math>\mathrm{rk}(a)</math>).</i></p>
<li>Метод Гаусса для реш.-я системы <math>a\cdot v=y</math>: привед.-е <math>\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)</math> к ступенч. виду. Главные и свободные переменные. Фундамент. системы решений.
<li><u>Теорема Кронекера–Капелли.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math> и <math>y\in K^p</math>; тогда<br>(1) <math>\dim\,\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}=n-\mathrm{rk}(a)</math> и, если <math>n>p</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}\ne\{0\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{rk}(a)\le\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, а также, если <math>\mathrm{rk}(a)<\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}=\varnothing</math>, и, если <math>\mathrm{rk}(a)=\mathrm{rk}\bigl(\!\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_n\;\,y\bigr)\!\bigr)</math>, то<br><math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=y\}</math> — аффинное подпространство в <math>K^n</math> с направляющим подпространством <math>\{v\in K^n\!\mid a\cdot v=0\}</math>.</i></ul>

<h5>7.2&nbsp; Полилинейные операторы, полилинейные формы, формы объема</h5>
<ul><li>Пространства полилинейных операторов <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,Y)</math> и <math>\mathrm{Multi}_k(V,Y)</math>. Пространства полилинейных форм <math>\mathrm{Multi}(V_1,\ldots,V_k,K)</math> и <math>\mathrm{Multi}_kV</math>.
<li>Пространства билинейных операторов <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,Y)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V,Y)</math>. Пространства билинейных форм <math>\mathrm{Bi}(V_1,V_2,K)</math> и <math>\mathrm{Bi}(V)</math>. Примеры полилин.-х форм.
<li>Перестановка аргументов форм: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}_u\colon\mathrm{Multi}_kV&\to\mathrm{Multi}_kV\\\omega&\mapsto\bigl((v_1,\ldots,v_k)\mapsto\omega(v_{u(1)},\ldots,v_{u(k)})\bigr)\!\end{align}\!\biggr)</math>. Действие <math>\mathrm{paf}</math> группы <math>\mathrm S_k</math>: <math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{paf}\,\colon\mathrm S_k\!&\to\mathrm{GL}(\mathrm{Multi}_kV)\\u&\mapsto\mathrm{paf}_u\end{align}\!\biggr)</math>.
<li>Пространство симметричных полилинейных форм: <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=\omega\bigr)\}\le\mathrm{Multi}_kV</math>.
<li>Пр.-во антисимм. полилин. форм: <math>\mathrm{AMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,v_1,\ldots,v_k\in V\;\bigl(\exists\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;(i\ne j\,\land\,v_i=v_j)\,\Rightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_k)=0\bigr)\}</math>.
<li><u>Лемма о симметричных и антисимметричных полилинейных формах.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>k\in\mathbb N_0</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{SMulti}_kV=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\omega\bigr)\}</math>;<br>(2) <math>\mathrm{AMulti}_kV\subseteq\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,i,j\in\{1,\ldots,k\}\;\bigl(i\ne j\,\Rightarrow\,\mathrm{paf}_{(i\;j)}(\omega)=-\omega\bigr)\}=\{\omega\in\mathrm{Multi}_kV\mid\forall\,u\in\mathrm S_k\,\bigl(\mathrm{paf}_u(\omega)=\mathrm{sgn}(u)\,\omega\bigr)\}{}</math>;<br>(3) если <math>\mathrm{char}\,K\ne2</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" в пункте (2) можно заменить на "<math>\,=</math>".</i>
<li>Простр.-во форм объема: <math>\mathrm{VF}(V)=\mathrm{AMulti}_nV</math>, где <math>n=\dim V</math>. Форма объема, связанная с упоряд. базисом <math>e</math>: <math>\mathrm{vol}^e(v_1,\ldots,v_n)=\det\!\bigl(v_1^e\;\ldots\;v_n^e\bigr)</math>.
<li><u>Теорема о формах объема.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>e\in\mathrm{OB}(V)</math>; тогда<br>(1) <math>\mathrm{vol}^e\!\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math>, <math>\mathrm{vol}^e(e_1,\ldots,e_n)=1</math> и для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)</math> выполнено <math>\omega=\omega(e_1,\ldots,e_n)\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(2) множество <math>\{\mathrm{vol}^e\}</math> — базис пространства <math>\,\mathrm{VF}(V)</math> (и, значит, <math>\dim\mathrm{VF}(V)=1</math>) и для любых <math>\tilde e\in\mathrm{OB}(V)</math> выполнено <math>\mathrm{vol}^\tilde e\!=\det\mathrm c_e^\tilde e\,\mathrm{vol}^e</math>;<br>(3) для любых <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>v_1,\ldots,v_n\in V</math> выполнено <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)\,\Leftrightarrow\,\omega(v_1,\ldots,v_n)\ne0</math>.</i></ul>

<h5>7.3&nbsp; Определитель линейного оператора, миноры матрицы, спектр линейного оператора</h5>
<ul><li>Определитель линейн. оператора <math>a</math> (<math>a\in\mathrm{End}(V)</math>): <math>\det a=\frac{\omega(a(v_1),\ldots,a(v_n))}{\omega(v_1,\ldots,v_n)}</math>, где <math>\omega\in\mathrm{VF}(V)\!\setminus\!\{0\}</math> и <math>(v_1,\ldots,v_n)\in\mathrm{OB}(V)</math>. Корректность опр.-я.
<li>Утверждение: <math>\det a=\mathrm{vol}^e(a(e_1),\ldots,a(e_n))=\det a_e^e</math>. Теорема о свойствах определителя. Спец. лин. группа: <math>\mathrm{SL}(V)=\{a\in\mathrm{GL}(V)\mid\det a=1\}</math>.
<p><u>Теорема о свойствах определителя.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math> и <math>\dim V<\infty</math>; тогда отображение<br><math>\biggl(\!\begin{align}\mathrm{End}(V)&\to K\\a&\mapsto\det a\end{align}\!\biggr)</math> — гомоморфизм моноидов по умножению, а также <math>\,\mathrm{GL}(V)=\{a\in\mathrm{End}(V)\mid\det a\ne0\}</math>.</i></p>
<li>Миноры — определители квадр. подматриц. Дополнит. миноры. Присоедин. матрица: <math>\mathrm{adj}(a)^j_i=(-1)^{i+j}</math><math>\bigl(</math>дополнит. минор матрицы <math>a</math> в позиции <math>(i,j)</math><math>\bigr)</math>.
<li>Теорема о присоединенной матрице. Правило Крамера. Сравнение эффективности явных формул для нахождения <math>\det a</math>, <math>a^{-1}</math>, <math>a^{-1}\!\cdot y\,</math> и метода Гаусса.
<p><u>Теорема о присоединенной матрице.</u> <i>Пусть <math>R</math> — коммутативное кольцо, <math>n\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(n,R)</math>; тогда<br>(1) для любых <math>i\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_i=\det a</math> и для любых <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^j_i\,a^i_j=\det a</math><br>(это формулы разложения определителя матрицы <math>a</math> по <math>i</math>-й строке матрицы <math>a</math> и по <math>j</math>-му столбцу матрицы <math>a</math> соответственно);<br>(2) для любых <math>i,k\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{j=1}^na^i_j\,\mathrm{adj}(a)^j_k=\det a\cdot\delta^i_k</math> и для любых <math>j,l\in\{1,\ldots,n\}</math> выполнено <math>\sum_{i=1}^n\mathrm{adj}(a)^l_i\,a^i_j=\det a\cdot\delta^l_j</math>;<br>(3) <math>a\cdot\mathrm{adj}(a)=\mathrm{adj}(a)\cdot a=\det a\cdot\mathrm{id_n}</math> и, если <math>\det a\in R^\times</math>, то <math>\,a^{-1}\!=\frac1{\det a}\,\mathrm{adj}(a)</math> (и, значит, <math>\mathrm{GL}(n,R)=\{a\in\mathrm{Mat}(n,R)\mid\det a\in R^\times\}</math>).</i></p>
<p><u>Правило Крамера.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n\in\mathbb N_0</math>, <math>a\in\mathrm{GL}(n,K)</math>, <math>y\in K^n</math> и <math>j\in\{1,\ldots,n\}</math>; тогда <math>(a^{-1}\!\cdot y)^j=\frac1{\det a}\det\bigl(a^\bullet_1\;\ldots\;a^\bullet_{j-1}\;\,y\;\;a^\bullet_{j+1}\;\ldots\;a^\bullet_n\bigr)</math>.</i></p>
<li><u>Теорема о базисном миноре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>n,p\in\mathbb N_0</math> и <math>a\in\mathrm{Mat}(p,n,K)</math>; тогда <math>\mathrm{rk}(a)</math> равен максимальному среди всех таких чисел <math>m\in\mathbb N_0</math>,<br>что в матрице <math>a</math> существует такая подматрица <math>a'</math> размера <math>m\times m</math>, что <math>\det a'\ne0</math> (то есть <math>a'\!\in\mathrm{GL}(m,K)</math>).</i>
<li>Собственные число и вектор лин. операт. <math>a</math>: <math>a(v)=c\,v\,\land\,v\ne0</math>. Спектр лин. опер. <math>a</math>: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid(a-c\cdot\mathrm{id}_V)\notin\mathrm{GL}(V)\}</math>. Лемма о спектре.
<p><u>Лемма о спектре.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное простр.-во над полем <math>K</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда <math>\{c\in K\mid\exists\,v\in V\!\setminus\!\{0\}\;\bigl(a(v)=c\,v\bigr)\}\subseteq\mathrm{Spec}(a)</math><br>и, если <math>\dim V<\infty</math>, то "<math>\,\subseteq</math>" можно заменить на "<math>\,=</math>".</i></p>
<li>Характеристический многочлен матрицы <math>a</math>: <math>\chi_a=\det(x\cdot\mathrm{id}_n-a)</math>. Характеристический многочлен лин. оператора <math>a</math>: <math>\chi_a=\chi_{a_e^e}</math>. Корректность опред.-я.
<li>Утверждение: <math>\mathrm{Spec}(a)=\{c\in K\mid\chi_a(c)=0\}</math>. След лин. оператора <math>a</math>: <math>\mathrm{tr}\,a=\mathrm{tr}\,a_e^e</math>. Корректность опр.-я. Теорема о характеристическом многочлене.
<p><u>Теорема о характеристическом многочлене.</u> <i>Пусть <math>K</math> — поле, <math>V</math> — векторное пространство над полем <math>K</math>, <math>n=\dim V<\infty</math> и <math>a\in\mathrm{End}(V)</math>; тогда<br><math>\chi_a=x^n-\mathrm{tr}\,a\cdot x^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det a</math> и, если <math>c_1,\ldots,c_n\in K</math> и <math>\chi_a=(x-c_1)\cdot\ldots\cdot(x-c_n)</math>, то <math>\det a=c_1\cdot\ldots\cdot c_n</math> и <math>\mathrm{tr}\,a=c_1+\ldots+c_n</math>.</i></p></ul>