Домашнее задание к 25.09.14, матан, 1 семестр

1. 1. (1) Докажите, что ограниченная последовательность вещественных чисел имеет предел тогда и только тогда, когда она имеет единственный частичный предел (предел подпоследовательности).
   2. (1) Докажите, что множество частичных пределов любой последовательности вещественных чисел замкнуто.
2. 1. (1) Докажите, что если $X_{1}\subset X$ и пространство $(X,\rho )$ сепарабельно, то пространство $(X_{1},\rho )$ тоже сепарабельно.
   2. (1) Пусть $X_{n}$ --- последовательность подмножеств $(X,\rho )$, такая что $(X_{n},\rho )$ сепарабельны, а $\cup X_{n}$ плотно в $X$. Докажите, что $(X,\rho )$ сепарабельно.
3. (2) Докажите, что если метрическое пространство сепарабельно, то любое его открытое подмножество представляется в виде счетного объединения шаров.
4. (1) Пусть $p$ --- простое число. Для $x\in \mathbb {Q} ,x\neq 0$ определим $\|x\|_{p}=p^{-n}$, где число $x$ представлено в виде $x=p^{n}{\frac {a}{b}}$, где $a,b,n\in \mathbb {Z}$ и $a,b$ не делятся на $p$. Положим $\|0\|_{p}=0$. Докажите, что функция $\rho _{p}(x,y)=\|x-y\|_{p}$ является метрикой на множестве $\mathbb {Q}$.
5. (4) Докажите, что если $X$ --- полное метрическое сепарабельное пространство без изолированных точек (изолированной называется точка, совпадающая с некоторой своей окрестностью), то найдется инъекция из множества бесконечных (0,1)-последовательностей в $X$ (тем самым, $X$ не счетно).
6. (4) Полное метрическое пространство представлено в виде счетного объединения замкнутых множеств. Докажите, что хотя бы одно из них имеет непустую внутренность.
7. (4) Докажите, что если $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ --- две метрики на множестве $X$, такие что метрические пространства $(X,\rho _{1})$ и $(X,\rho _{2})$ сепарабельны, то метрическое пространство $(X,\rho _{1}+\rho _{2})$ тоже сепарабельно.
8. Найдите множество частичных пределов последовательности
   1. (2) $\{{\sqrt {n}}\}$ ($\{x\}=x-[x]$ --- дробная часть числа $x$, то есть $0\leq \{x\}<1$ и $[x]=x-\{x\}$ --- целое число.)
   2. (3) $\sin(\pi {\sqrt {2}}n)$.