Вычислительная геометрия

Лектор - Андрей Давыдов andrey.a.davydov@gmail.com

Домашние задания

Задание 1. Проверка принадлежности точки полигону

Дедлайн: 17.09

На вход N вершин полигона в формате (x, y) [abs(x), abs(y) <= 10^5] и M точек запроса. На выходе — M строк yes/no. Полигон всегда корректный, закрученный против часовой стрелки. Полигон считать замкнутым, т.е. для точек на границе ожидаемый ответ — yes.

input	output
3 (0, 0) (3, 0) (0, 2) 3 (0, 1) (1, 1) (2, 1)	yes yes no

Задание 2. Триангуляция монотонного полигона

Дедлайн: 1.10

На вход полигон в том же формате и с теми же ограничениями на координаты, что в первом задании. Гарантируется, что полигон монотонен относительно OX, закручен против часовой стрелки, и первая вершина в инпуте — самая левая. Требуется разбить его на треугольники. На выходе N-2 тройки индексов (номеров вершин полигона) — треугольники на соответствующих вершинах. Формат троек такой же как точек в инпуте, то есть (i, j, k). Треугольники должны быть закручены против часовой стрелки, среди возможных троек представляющих один и тот же треугольник нужно выбирать наименьшую лексикографически. Сами тройки могут идти в любом порядке. Вершины полигона нумеруются с 0.

Пример (неофициальный):

input	output
4 (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1)	(0, 1, 2) (0, 2, 3)

Задание 3. Поиск касательных к выпуклому полигону

На входе выпуклый полигон закрученный против часовой стрелки, заданный как обычно: т.е. число вершин n на первой строке и затем n строк вида (x, y), где x, y -- целые и |x|, |y| <= 10^5. Далее во входном потоке идет строка c числом запросов m и m строк с запросами, т.е. точками вне полигона, из которых мы хотим построить касательные. На выходе ожидается m строк с парами индексов вершин, в которых происходит касание (в литературе иногда эти вершины называются основаниями опорных прямых). Если касательная проходит через сторону полигона, в ответ выдавать индекс той вершины, которая ближе к точке запроса. Один запрос должен обрабатываться за O(log n).

input	output
4 (0, 0) (1, 0) (1, 1) (0, 1) 2 (2, -1) (-2, 0)	0 2 3 0

Задание 4. 2d-tree

Дано множество точек. Запрос — прямоугольник со сторонами параллельными осям координат, ответ — количество точек которые попадают в прямоугольник. Для реализации использовать 2d-tree, прямоугольник считать замкнутым (считается, что точки на границе входят в него).
Формат инпута: на первой строке n - число точек, далее n строк с точками в обычном формате. На следующей строке m - число запросов, далее m строк с запросами в формате x1 x2 y1 y2 — прямоугольник $[x_{1},x_{2}]\times [y_{1},y_{2}]$.
Вывести m строк с ответами на каждый запрос.

Пример (неофициальный):

input	output
4 (1, 1) (2, 2) (3, 3) (3, 1) 3 1 4 2 4 0 5 0 5 1 2 3 4	2 4 0