Алгебра phys 2 осень 2016

Лектор и преподаватели практики

Лектор: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/1: Евгений Евгеньевич Горячко.

Преподаватель практики у подгруппы 201/2: Софья Сергеевна Афанасьева.

Дополнительная литература

[1]  Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
[2]  И.М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
[3]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра.
[4]  А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
[5]  А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Содержание третьего семестра курса алгебры

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

• 3.1.1  ¯-Билинейные формы
• 3.1.2  ¯-Квадратичные формы
• 3.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы
• 3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

3.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

• 3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы
• 3.2.2  Сигнатура формы
• 3.2.3  Предгильбертовы пространства

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

• 3.3.1  Сопряжение операторов
• 3.3.2  Два пространства и два множества операторов
• 3.3.3  Спектральная теория в унитарных пространствах
• 3.3.4  Спектральная теория в евклидовых пространствах

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

• 3.4.1  Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами
• 3.4.2  Тензорная алгебра и тензоры в координатах
• 3.4.3  Операции над тензорами

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

• 3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами
• 3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра
• 3.5.3  Поливектор ориентации и оператор Ходжа

3.6  Алгебраические основы дифференциальной геометрии

• 3.6.1  Многообразия с глобальной гладкой структурой
• 3.6.2  Касательное пространство и кокасательное пространство
• 3.6.3  Тензорные расслоения и тензорные поля

Подробный план первой половины третьего семестра курса алгебры

Подробный план второй половины третьего семестра курса алгебры

Информация об экзамене

Вопросы к экзамену по второй половине третьего семестра (в соответствии с подробным планом)

1. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 3.4.1 «Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами».
2. Строки 1, 2, 3, 5 пункта 3.4.1 «Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами».
3. Строки 1, 2, 3, 6 пункта 3.4.1 «Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами».
4. Строки 7, 8 пункта 3.4.1 «Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами».
5. Строки 1, 2, 3 пункта 3.4.2 «Тензорная алгебра и тензоры в координатах».
6. Строки 4, 5 пункта 3.4.2 «Тензорная алгебра и тензоры в координатах».
7. Строки 6, 7, 8 пункта 3.4.2 «Тензорная алгебра и тензоры в координатах».
8. Строки 1, 2 пункта 3.4.3 «Операции над тензорами».
9. Строки 3, 4 пункта 3.4.3 «Операции над тензорами».
10. Строки 5, 6, 7, 8 пункта 3.4.3 «Операции над тензорами».
11. Строки 1, 2 пункта 3.5.1 «Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами».
12. Строки 1, 3 пункта 3.5.1 «Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами».
13. Строки 4, 5 пункта 3.5.1 «Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами».
14. Строки 6, 7, 8 пункта 3.5.1 «Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами».
15. Строки 1, 2 пункта 3.5.2 «Симметрическая алгебра и внешняя алгебра».
16. Строки 3, 4 пункта 3.5.2 «Симметрическая алгебра и внешняя алгебра».
17. Строки 5, 6, 7 пункта 3.5.2 «Симметрическая алгебра и внешняя алгебра».
18. Строки 1, 2 пункта 3.5.3 «Поливектор ориентации и оператор Ходжа».
19. Строки 3, 4, 5 пункта 3.5.3 «Поливектор ориентации и оператор Ходжа».
20. Строки 6, 7, 8 пункта 3.5.3 «Поливектор ориентации и оператор Ходжа».
21. Строки 1, 2, 3, 4, 5 пункта 3.6.1 «Многообразия с глобальной гладкой структурой».
22. Строки 6, 7, 8 пункта 3.6.1 «Многообразия с глобальной гладкой структурой».
23. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 3.6.2 «Касательное пространство и кокасательное пространство».
24. Строка 5 пункта 3.6.2 «Касательное пространство и кокасательное пространство».
25. Строка 6 пункта 3.6.2 «Касательное пространство и кокасательное пространство».
26. Строки 7, 8 пункта 3.6.2 «Касательное пространство и кокасательное пространство».
27. Строки 1, 2, 3, 4 пункта 3.6.3 «Тензорные расслоения и тензорные поля».
28. Строки 5, 6, 7, 8 пункта 3.6.3 «Тензорные расслоения и тензорные поля».

Правила проведения экзамена

• На экзамене можно использовать только подробный план курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
• «Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в подробном плане курса (например, строки 1, 2, 3 пункта 3.4.2),
  либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 3.4.1 суть «настоящие строки» 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).
• При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,
  то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть доказаны).
• На экзамене нужно ответить на два вопроса: один вопрос с номером от 1 до 14 и один вопрос с номером от 15 до 28. Кроме того, будут
  заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по всем пунктам второй половины третьего семестра,
  а также студентам, претендующим на оценку «отлично» за экзамен, будет дана задача.
• При подготовке к экзамену рекомендуется обратить особое внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность
  использовать на экзамене подробный план курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).