Алгебраические структуры 5 2015

Математическая модель пространства событий в специальной теории относительности

Пропасть, зияющая между нашим повседневным мышлением и нормами математического рассуждения, должна оставаться неприкосновенной, если мы хотим, чтобы математика выполняла свои функции. Ю.И. Манин. Математика как метафора

Наша цель — предложить математическую модель пространства событий в специальной теории относительности (далее: СТО) в рамках современных
(но относительно элементарных) алгебры и геометрии и изучить некоторые ее свойства.

• Глобальная $4$-мерная система координат на множестве $M$ — биекция между множествами $M$ и $\mathbb {R} ^{4}$.
• Глобальные $4$-мерные системы координат $\alpha$ и ${\tilde {\alpha }}$ на множестве $M$ инерциально согласованы в смысле СТО, если замена координат ${\tilde {\alpha }}\circ \alpha ^{-1}$ —
  преобразование Пуанкаре (композиция специального ортохронного преобразования Лоренца и сдвига), то есть существуют такие $\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathrm {SO} ^{+}(1,3)$
  и $\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\in \mathbb {R} ^{4}$, что для любых $x\in \mathbb {R} ^{4}$ выполнено ${\tilde {\alpha }}(\alpha ^{-1}(x))=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot x+\xi _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}$.
• Лемма 1. Отношение инерциальной согласованности в смысле СТО является отношением эквивалентности.
• Пространство событий в СТО — множество $M$, на котором зафиксирован класс ${\mathcal {A}}_{M}$ инерциальной согласованности в смысле СТО глобальных
  $4$-мерных систем координат.
• Инерциальная система координат на пространстве событий $M$ в СТО — глобальная $4$-мерная система координат, принадлежащая классу ${\mathcal {A}}_{M}$.

Из определения следует, что на пространстве событий в СТО задана более жесткая структура, чем структура $4$-мерного многообразия: на $4$-мерном
многообразии разрешены любые гладкие замены координат, а на пространстве событий в СТО, изучаемом в инерциальных системах координат,
разрешены только замены координат, являющиеся преобразованиями Пуанкаре. Для пространства событий в СТО определены все стандартные
конструкции дифференциальной геометрии, относящиеся к произвольным многообразиям: касательные пространства и кокасательные пространства,
тензорные расслоения и тензорные поля, симметричные и внешние формы и так далее (все эти конструкции инвариантны относительно любых гладких
замен координат и, в частности, инвариантны относительно замен координат, являющихся преобразованиями Пуанкаре). Кроме этих конструкций, для
пространства событий в СТО, изучаемого в инерциальных системах координат, определены специфические конструкции, связанные с тем, что на этом
пространстве рассматриваются только очень жесткие замены координат. Далее мы определяем эти конструкции.

Зафиксируем пространство событий $M$ в СТО; его элементы для простоты будем называть точками (а не событиями).

• Лемма 2. Для любых $m\in M$, $v\in \mathrm {T} _{m}M$ и $\alpha ,{\tilde {\alpha }}\in {\mathcal {A}}_{M}$ выполнено $v^{\tilde {\alpha }}\!=\Lambda _{\alpha }^{\tilde {\alpha }}\!\cdot v^{\alpha }$ (здесь $v^{\alpha }$ — столбец координат вектора $v$ относительно базиса
  ${\Bigl \{}{\frac {\partial }{\partial x^{0}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}(m),{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}(m){\Bigr \}}$ пространства $\mathrm {T} _{m}M$, определяемого инерциальной системой координат $\alpha$ на $M$).
• Пусть $m,n\in M$ и $v\in \mathrm {T} _{m}M$; сумма $n+v$ точки $n$ и касательного вектора $v$ — точка $\alpha ^{-1}(\alpha (n)+v^{\alpha })$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Лемма 3. Определение суммы точки и касательного вектора не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Пусть $m\in M$; скалярное произведение $g(m)$ на касательном пространстве $\mathrm {T} _{m}M$ — невырожденная симметричная билинейная форма
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M\times \mathrm {T} _{m}M&\to \mathbb {R} \\(v,w)&\mapsto (v^{\alpha })^{\mathtt {T}}\!\cdot \mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)\cdot w^{\alpha }\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Лемма 4. Определение скалярного произведения на касательном пространстве не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Пусть $k\in \mathbb {N}$, $m_{1},\ldots ,m_{k}\in M$, $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}\in \mathbb {R}$ и $\tau _{1}+\ldots +\tau _{k}=1$; барицентрическая комбинация $\tau _{1}m_{1}+\ldots +\tau _{k}m_{k}$ точек $m_{1},\ldots ,m_{k}$ с
  коэффициентами $\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ — точка $\alpha ^{-1}(\tau _{1}\alpha (m_{1})+\ldots +\tau _{k}\alpha (m_{k}))$, где $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$.
• Лемма 5. Определение барицентрической комбинации точек не зависит от выбора инерциальной системы координат $\alpha$ на $M$.
• Пусть $m,n\in M$; прямая, проходящая через точки $m$ и $n$, — множество $\{(1-\tau )m+\tau \,n\mid \tau \in \mathbb {R} \}$.
• Пусть $m,n\in M$; разность $n-m$ точек $m$ и $n$ — скорость в нуле пути ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {R} &\to M\\\tau &\mapsto (1-\tau )m+\tau \,n\end{aligned}}\!{\biggr )}$ (это элемент касательного пространства $\mathrm {T} _{m}M$).
• Лемма 6. Для любых $m,n\in M$ и $\alpha \in {\mathcal {A}}_{M}$ выполнено $(n-m)^{\alpha }\!=\alpha (n)-\alpha (m)$.
• Теорема об инвариантных биекциях и изоморфизмах. Пусть $m,n\in M$; тогда
  (1) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to M\\v&\mapsto m+v\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\n&\mapsto n-m\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные биекции;
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{m}M&\to \mathrm {T} _{n}M\\v&\mapsto (n+v)-n\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {T} _{n}M&\to \mathrm {T} _{m}M\\v&\mapsto (m+v)-m\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы псевдоевклидовых пространств.

Написанные выше утверждения показывают, что пространство событий в СТО обладает следующими дополнительными инвариантными структурами:
структурой аффинного пространства над каждым касательным пространством и структурой псевдориманова многообразия сигнатуры $(1,3)$, а также
на нем имеется параллельный перенос между любыми двумя касательными пространствами.

Дифференциальные операции на многообразии $\mathbb {R} ^{3}$

Рассмотрим множество $\mathbb {R} ^{3}$ как трехмерное риманово ориентированное многообразие, структура которого задана атласом, являющимся классом
согласованности системы координат $\mathrm {id} _{\mathbb {R} ^{3}}$ (эти координаты обозначаются $(x,y,z)$), метрической формой («метрическим тензором» или «квадратом
элемента длины») $\sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}$ и формой объема («элементом объема») $vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$.

Пусть $(x^{1},x^{2},x^{3})$ — система координат на $\mathbb {R} ^{3}$; тогда
(1) $\mathrm {d} x={\frac {\partial x}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial x}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial x}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}$, $\mathrm {d} y={\frac {\partial y}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial y}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial y}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}$ и $\mathrm {d} z={\frac {\partial z}{\partial x^{1}}}\,\mathrm {d} x^{1}+{\frac {\partial z}{\partial x^{2}}}\,\mathrm {d} x^{2}+{\frac {\partial z}{\partial x^{3}}}\,\mathrm {d} x^{3}$;
(2) $\sigma =(\mathrm {d} x)^{2}+(\mathrm {d} y)^{2}+(\mathrm {d} z)^{2}=\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}+2\,\sigma _{1,2}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{2}+2\,\sigma _{1,3}\,\mathrm {d} x^{1}\,\mathrm {d} x^{3}+2\,\sigma _{2,3}\,\mathrm {d} x^{2}\,\mathrm {d} x^{3}$, где для любых
$i,j\in \{1,2,3\}$ выполнено $\sigma _{i,j}={\frac {\partial x}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial x}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial y}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial y}{\partial x^{j}}}+{\frac {\partial z}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial z}{\partial x^{j}}}$;
(3) $vol=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$, где $vol_{1,2,3}$ есть якобиан замены координат при переходе от коорд. $(x^{1},x^{2},x^{3})$ к коорд. $(x,y,z)$.

Пусть $(x^{1},x^{2},x^{3})$ — ортогональная положительно ориентированная система координат на $\mathbb {R} ^{3}$ (то есть $\sigma _{1,2}=\sigma _{1,3}=\sigma _{2,3}=0$ и $vol_{1,2,3}\!>0$); тогда
$\sigma =\sigma _{1,1}(\mathrm {d} x^{1})^{2}+\sigma _{2,2}(\mathrm {d} x^{2})^{2}+\sigma _{3,3}(\mathrm {d} x^{3})^{2}$ и $vol=vol_{1,2,3}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}$, где $vol_{1,2,3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}$.

• Зафиксируем ортогональную положительно ориентированную систему координат $(x^{1},x^{2},x^{3})$ на $\mathbb {R} ^{3}$ и обозначим через $e_{1}$, $e_{2}$ и $e_{3}$ векторные
  поля ${\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}$, ${\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}$ и ${\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}$ соответственно (они образуют ортонормированный базис в каждом касательном пространстве); тогда
  $e^{1}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,\mathrm {d} x^{1}$, $e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,\mathrm {d} x^{2}$ и $e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,\mathrm {d} x^{3}$, а также $\sigma =(e^{1})^{2}+(e^{2})^{2}+(e^{3})^{2}$ и $vol=e^{1}\!\wedge e^{2}\!\wedge e^{3}$.
• Пусть $v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})$; тогда
  (1) ${\downarrow }\,v=v^{1}e^{1}+v^{2}e^{2}+v^{3}e^{3}\!=\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}$;
  (2) $*\,({\downarrow }\,v)=v^{1}e^{2}\!\wedge e^{3}-v^{2}e^{1}\!\wedge e^{3}+v^{3}e^{1}\!\wedge e^{2}\!=\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}$.
• Пусть $f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})$; найдем градиент функции $f$ в координатах $(x^{1},x^{2},x^{3})$:
  $\nabla f={\uparrow }\,(\mathrm {d} f)={\uparrow }\,(\partial _{1}f\;\mathrm {d} x^{1}+\partial _{2}f\;\mathrm {d} x^{2}+\partial _{3}f\;\mathrm {d} x^{3})={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}$.
• Пусть $v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})$; найдем дивергенцию векторного поля $v$ в координатах $(x^{1},x^{2},x^{3})$:
  $\mathrm {div} \,v=*\,\mathrm {d} \,{*}\,({\downarrow }\,v)=*\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}-\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\bigr )}=$
  $=*{\Bigl (}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}{\Bigr )}=$
  $={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{1}{\bigr )}+\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}\,v^{2}{\bigr )}+\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}\,v^{3}{\bigr )}{\bigr )}$.
• Пусть $v=v^{1}e_{1}+v^{2}e_{2}+v^{3}e_{3}\in \mathrm {Vect} (\mathbb {R} ^{3})$; найдем ротор векторного поля $v$ в координатах $(x^{1},x^{2},x^{3})$:
  $\mathrm {rot} \,v={\uparrow }\,(*\,\mathrm {d} ({\downarrow }\,v))={\uparrow }\,{\bigl (}{*}\,\mathrm {d} {\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}\mathrm {d} x^{1}+\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}\mathrm {d} x^{2}+\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}\mathrm {d} x^{3}{\bigr )}{\bigr )}=$
  $={\uparrow }{\Bigl (}{*}{\Bigl (}\!{\bigl (}\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{2}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{3}+{\bigl (}\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}\!{\bigr )}\,\mathrm {d} x^{1}\!\wedge \mathrm {d} x^{2}{\Bigr )}\!{\Bigr )}\!=$
  $={\frac {\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{1}-{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}\,v^{3}{\bigr )}-\partial _{3}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}\,e_{2}+{\frac {\partial _{1}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}\,v^{2}{\bigr )}-\partial _{2}{\bigl (}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}\,v^{1}{\bigr )}}{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}\,e_{3}$.
• Пусть $f\in \mathrm {Func} (\mathbb {R} ^{3})$; найдем лапласиан функции $f$ в координатах $(x^{1},x^{2},x^{3})$:
  $\Delta f=\mathrm {div} (\nabla f)=\mathrm {div} {\Bigl (}{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}}\,\partial _{1}f\;e_{1}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}}\,\partial _{2}f\;e_{2}+{\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}}\,\partial _{3}f\;e_{3}{\Bigr )}\!=$
  $={\frac {1}{\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}}{\Bigl (}\partial _{1}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{2,2}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{1,1}}}}\,\partial _{1}f{\Bigr )}+\partial _{2}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{3,3}}}}{\sqrt {\sigma _{2,2}}}}\,\partial _{2}f{\Bigr )}+\partial _{3}{\Bigl (}{\frac {\!{\sqrt {\sigma _{1,1}\,\sigma _{2,2}}}}{\sqrt {\sigma _{3,3}}}}\,\partial _{3}f{\Bigr )}\!{\Bigr )}$.

Нетривиальными примерами ортогональной положительно ориентированной системы координат на $\mathbb {R} ^{3}$ (за исключением множества меры $0$) являются
цилиндрическая система координат $(r,\varphi ,z)$ и сферическая система координат $(R,\varphi ,\theta )$ (обозначения В.И. Арнольда). Для цилиндрической системы
координат выполнено $\sigma _{1,1}=1$, $\sigma _{2,2}=r^{2}$ и $\sigma _{3,3}=1$. Для сферической системы координат выполнено $\sigma _{1,1}=1$, $\sigma _{2,2}=R^{2}\cos ^{2}\theta$ и $\sigma _{3,3}=R^{2}$.

2  Линейная алгебра

2.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат гомоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {h}}=\mathrm {c} _{h}^{\tilde {h}}\cdot a_{e}^{h}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись (если $a$ — эндоморфизм): $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

Инвариантный объект	Координаты относительно базиса	Преобразование координат при замене базиса	Пример использования в геометрии и физике
вектор $v$ — элемент пространства $V$ (тензор типа $(1,0)$ над $V$)	${\begin{aligned}V&\to K^{n}\\v&\mapsto v^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$	скорость в точке гладкого пути на многообразии
ковектор $\lambda$ — элемент пространства $V^{*}$ (тензор типа $(0,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}V^{*}\!&\to K_{n}\\\lambda &\mapsto \lambda _{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм векторных пространств)	матричная запись: $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{n}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}{\Bigr )}$ преобразование базиса: ${\tilde {e}}^{*}\!=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$	дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии
эндоморфизм $a$ — элемент пространства $\mathrm {End} (V)$ (тензор типа $(1,1)$ над $V$)	${\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\a&\mapsto a_{e}^{e}\end{aligned}}$ (это изоморфизм колец и векторных пространств)	матричная запись: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ покомпонентная запись: $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}{\Bigr )}$	дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя