Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах

• Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце $R$: $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\exists \,t\in R\;{\bigl (}r=s\,t{\bigr )}$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow \;s\,|\,r\,\land \,\lnot (r\,|\,s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;r\,|\,s\,\land \,s\,|\,r$.
• Понятия $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в коммут. кольце $R$: $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}t'\,|\,r\,\land \,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow \,t'\,|\,t{\bigr )}$ и $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}r\,|\,t'\,\land \,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow \,t\,|\,t'{\bigr )}$.
• Нормировка $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ (если они не $0$): $\mathrm {gcd} (a,b),\mathrm {lcm} (a,b)\in \mathbb {N}$ — в кольце $\mathbb {Z}$; старшие коэфф.-ты $\mathrm {gcd} (f,g)$ и $\mathrm {lcm} (f,g)$ равны $1$ — в кольце $K[x]$.
• Главный идеал — идеал, порожд. одним элементом. Анонс: в $\mathbb {Z}$ и $K[x]$ все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал $(2)+(x)$ в $\mathbb {Z} [x]$.
• Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $r,s,t\in R$; тогда
  (1) $s\,|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subseteq (s)$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subset (s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\,\Leftrightarrow \,(r)=(s)$; $r\in R^{\times }\Leftrightarrow \,r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\,\Leftrightarrow \,(r)=R$;
  (2) если $R$ — область целостности, то $r\neq 0\;\Rightarrow \;\forall \,a,b\in R\;{\bigl (}a\,r=b\,r\,\Rightarrow \,a=b{\bigr )}$, а также $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\exists \,\varepsilon \in R^{\times }{\bigl (}r=\varepsilon \,s{\bigr )}$;
  (3) $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)\cap (s)$; если идеал $(r)+(s)$ главный, то $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)+(s)$;
  (4) $(R/(r))^{\times }\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid (r)+(s)=R\}$ и, если в кольце $R$ все идеалы главные, то $(R/(r))^{\times }\!=\{s+(r)\in R/(r)\mid \mathrm {gcd} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\}$.
• Неприводимые и простые эл.-ты: $\mathrm {Irr} (R)=(R\!\setminus \!R^{\times }\!)\setminus \{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus \!R^{\times }\!\}$ и $\mathrm {Prime} (R)=\{r\in R\!\setminus \!(R^{\times }\!\cup \{0\})\mid \forall \,s,t\in R\;{\bigl (}r\,|\,s\,t\,\Rightarrow \,r\,|\,s\,\lor \,r\,|\,t{\bigr )}\}$.
• Примеры: $\mathrm {Irr} (\mathbb {C} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,\,a\neq 0\}$ и $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$.
• Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо; тогда
  (1) если $R$ — область целостности, то $\,\mathrm {Prime} (R)\subseteq \mathrm {Irr} (R)$;
  (2) если в кольце $R$ все идеалы главные, то $\,\mathrm {Irr} (R)\subseteq \mathrm {Prime} (R)$;
  (3) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ следующие два высказывания эквивалентны: $r\in \mathrm {Prime} (R)$ и $R/(r)$ — область целостности;
  (4) если $R$ — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ следующие четыре высказывания эквивалентны:
  $r\in \mathrm {Irr} (R)$, $r\in \mathrm {Prime} (R)$, $R/(r)$ — область целостности, $R/(r)$ — поле.

1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца

• Евклидова норма: $\nu \colon R\to N$, где $N\subseteq \mathbb {N} _{0}\cup \{-\infty \}$ и $\forall \,r\in R\!\setminus \!\{0\},\,s\in R\;{\Bigl (}\exists \,q,t\in R\;{\bigl (}s=q\,r+t\,\land \,\nu (t)<\nu (r){\bigr )}\,\land \,{\bigl (}s\,|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)\leq \nu (r){\bigr )}{\Bigr )}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: $\mathbb {Z}$ ($\nu (a)=|a|$); $K[x]$ ($\nu (f)=\deg f$); $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}\,\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ ($\nu (a)=|a|^{2}$).
• Теорема о евклидовых кольцах. Пусть $R$ — евклидово кольцо с евклидовой нормой $\nu$; тогда
  (1) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ и $s\in R$ выполнено $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)<\nu (r)$;
  (2) не существует такой бесконечной последовательности $r_{1},r_{2},\ldots$ элементов кольца $R$, что для любых $i\in \mathbb {N}$ выполнено $r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}$;
  (3) если $I\trianglelefteq R$, то для любых $r\in I\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $I=(r)\,\Leftrightarrow \,\nu (r)=\min\{\nu (s)\mid s\in I\!\setminus \!\{0\}\}$;
  (4) в кольце $R$ все идеалы главные, а также $\,\mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)$.
• Факториальное кольцо — область целостности с ${\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}$-однозначным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
• Примеры: $\mathbb {Z}$ — факториальное кольцо (это основная теорема арифметики); если $R$ факториально, то и $R[x]$ факториально (без доказательства).
• Теорема о факториальности евклидовых колец.
  (1) Пусть $R$ — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности $r_{1},r_{2},\ldots$ элементов кольца $R$, что
  для любых $i\in \mathbb {N}$ выполнено $r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}$, и, кроме того, $\mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)$; тогда $R$ — факториальное кольцо.
  (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца $\,\mathbb {Z}$ и $K[x]$, где $K$ — поле, факториальны).
• Теорема о факториальных кольцах. Пусть $R$ — факториальное кольцо и $r,s\in R\!\setminus \!\{0\}$; разложим $r$ и $s$ в произведение неприводимых элементов:
  $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}$ и $s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}$, где $k\in \mathbb {N} _{0}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathrm {Irr} (R)$, $p_{1},\ldots ,p_{k}$ попарно неассоциированы и $d_{1},\ldots ,d_{k},e_{1},\ldots ,e_{k}\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}e_{i}\leq d_{i}{\bigr )}$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}d_{i}=e_{i}{\bigr )}$;
  (2) $\mathrm {gcd} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\min(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\min(d_{k},e_{k})}$; $\mathrm {lcm} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}$; $rs\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}+e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}+e_{k}}\!\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\cdot \mathrm {lcm} (r,s)$.

1.4.3  Алгоритм Евклида, китайская теорема об остатках, функция Эйлера

• Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: $r_{0}=s$ и $r_{1}=r$; на $i$-м шаге $r_{i-1}=q_{i}r_{i}+r_{i+1}$ и $\nu (r_{i+1})<\nu (r_{i})$; тогда $r_{n+1}=0\,\Rightarrow \,r_{n}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$.
• Соотношение Безу для элементов $r$ и $s$ евкл. кольца: $u\,r+v\,s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$, где $u$ и $v$ — коэфф.-ты Безу. Нахождение $(s+(r))^{-1}$ в группе $(R/(r))^{\times }$.
• Расширенный алгоритм Евклида в евкл. кольце: $u_{n+1}=0$ и $v_{n+1}=1$; на $i$-м шаге $u_{i}=v_{i+1}-q_{i}u_{i+1}$ и $v_{i}=u_{i+1}$; тогда $u_{1}r_{1}+v_{1}r_{0}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$.
• Китайская теорема об остатках для евклидовых колец. Пусть $R$ — евклидово кольцо, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $r_{1},\ldots ,r_{k}\in R$ и $r_{1},\ldots ,r_{k}$ попарно взаимно
  просты (то есть $\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (r_{i},r_{j})\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1{\bigr )}$); обозначим через $r$ элемент $r_{1}\cdot \ldots \cdot r_{k}$ кольца $R$; тогда отображение
  ${\biggl (}\!{\begin{aligned}R/(r)&\to R/(r_{1})\times \ldots \times R/(r_{k})\\s+(r)&\mapsto (s+(r_{1}),\ldots ,s+(r_{k}))\end{aligned}}\!{\biggr )}$ определено корректно и является изоморфизмом колец.
• Китайская теорема об остатках для целых чисел и многочленов.
  (1) Пусть $k\in \mathbb {N} _{0}$, $n_{1},\ldots ,n_{k}\in \mathbb {N}$ и $n_{1},\ldots ,n_{k}$ попарно взаимно просты ($\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (n_{i},n_{j})=1{\bigr )}$); обозначим через $n$
  число $n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k}$; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {Z} /n&\to \mathbb {Z} /n_{1}\times \ldots \times \mathbb {Z} /n_{k}\\a&\mapsto (a{\bmod {n}}_{1},\ldots ,a{\bmod {n}}_{k})\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм колец.
  (2) Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $f_{1},\ldots ,f_{k}\in K[x]\!\setminus \!\{0\}$ и $f_{1},\ldots ,f_{k}$ попарно взаимно просты ($\forall \,i,j\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}i\neq j\,\Rightarrow \,\mathrm {gcd} (f_{i},f_{j})=1{\bigr )}$);
  обозначим через $f$ многочлен $f_{1}\cdot \ldots \cdot f_{k}$; тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K[x]/f&\to K[x]/f_{1}\times \ldots \times K[x]/f_{k}\\a&\mapsto (a{\bmod {f}}_{1},\ldots ,a{\bmod {f}}_{k})\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм колец.
• Функция Эйлера: $\phi (n)=|\{a\in \mathbb {Z} /n\mid \mathrm {gcd} (a,n)=1\}|=|(\mathbb {Z} /n)^{\times }\!|$. Пример: если $p\in \mathbb {P}$, то $\phi (p)=p-1$. Теорема Эйлера и следствие из нее.

  Теорема Эйлера. Пусть $n\in \mathbb {N}$, $a\in \mathbb {Z}$ и $\mathrm {gcd} (a,n)=1$; тогда $a^{\phi (n)}\!\equiv 1\;(\mathrm {mod} \;n)$.

  Следствие из теоремы Эйлера. Пусть $n\in \mathbb {N}$, $a\in \mathbb {Z}$, $\mathrm {gcd} (a,n)=1$ и $t\in \mathbb {Z}$; тогда $a^{t}\equiv a^{t{\bmod {\phi }}(n)}\;(\mathrm {mod} \;n)$.

• Теорема о функции Эйлера.
  (1) Пусть $p\in \mathbb {P}$ и $d\in \mathbb {N}$; тогда $\phi (p^{d})=p^{d-1}(p-1)$.
  (2) Пусть $m,n\in \mathbb {N}$ и $\mathrm {gcd} (m,n)=1$; тогда $\phi (mn)=\phi (m)\,\phi (n)$.
  (3) Пусть $n\in \mathbb {N}$; разложим $n$ в произведение простых чисел: $n=p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}$, где $k\in \mathbb {N} _{0}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathbb {P}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}$ попарно различны и
  $d_{1},\ldots ,d_{k}\in \mathbb {N}$; тогда $\phi (n)=p_{1}^{d_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}-1}(p_{k}-1)=n\,{\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{1}}}{\Bigr )}\cdot \ldots \cdot {\Bigl (}1-{\frac {1}{p_{k}}}{\Bigr )}$.

1.4.4  Производная многочлена, интерполяция, рациональные дроби

• Сопоставление многочлену формальной производной ${\biggl (}\!{\begin{aligned}'\,\colon R[x]&\to R[x]\\f_{n}x^{n}+\ldots +f_{0}&\mapsto nf_{n}x^{n-1}+\ldots +f_{1}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Лемма о свойствах формальной производной.

  Лемма о свойствах формальной производной. Пусть $R$ — кольцо; тогда для любых $f,g\in R[x]$ и $r\in R$ выполнено $(f+g)'=f'\!+g'$ (и, значит,
  отображение $\,'$ — эндоморфизм группы $R[x]^{+}$) и $(rf)'=rf'$, а также $(fg)'=f'g+f\,g'$ (это правило Лейбница).

• Корень $r$ кратности $k$ многочлена $f$: $(x-r)^{k}\,|\,f\,\land \,\lnot {\bigl (}(x-r)^{k+1}\,|\,f{\bigr )}\;\Leftrightarrow \;\exists \,g\in R[x]\;{\bigl (}f=(x-r)^{k}g\,\land \,g(r)\neq 0{\bigr )}$. Теорема о кратных корнях.

  Теорема о кратных корнях. Пусть $R$ — коммутативное кольцо, $f\in R[x]$, $r\in R$ и $k\in \mathbb {N}$; тогда
  (1) если $r$ — корень кратности не меньше $k$ многочлена $f$, то $r$ — корень кратности не меньше $k-1$ многочлена $f'$;
  (2) если $R$ — область целостности, $\mathrm {char} \,R$ не делит $k$ и $r$ — корень кратности $k$ многочлена $f$, то $r$ — корень кратности $k-1$ многочлена $f'$;
  (3) $r$ — кратный корень многочлена $f$ (то есть корень кратности не меньше $2$), если и только если $r$ — корень многочленов $f$ и $f'$.

• Теорема об интерполяции. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N}$, $c_{1},\ldots ,c_{n},e_{1},\ldots ,e_{n}\in K$ и $c_{1},\ldots ,c_{n}$ попарно различны; тогда существует единственный такой
  многочлен $f\in K[x]$, что $\deg f<n$ и для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено $f(c_{i})=e_{i}$, и этот многочлен можно найти следующими способами:
  (1) $f=\sum _{i=1}^{n}e_{i}l_{i}$, где $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}l_{i}={\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})\cdot (x-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{n})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})\cdot (c_{i}-c_{i+1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{n})}}{\biggr )}$ (это интерполяционная формула Лагранжа);
  (2) $f=f_{n}$, где $f_{0}=0$ и $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\biggl (}f_{i}=f_{i-1}+{\bigl (}e_{i}-f_{i-1}(c_{i}){\bigr )}{\frac {(x-c_{1})\cdot \ldots \cdot (x-c_{i-1})}{(c_{i}-c_{1})\cdot \ldots \cdot (c_{i}-c_{i-1})}}{\biggr )}$ (это интерполяционная формула Ньютона).
• Поле частных: $\mathrm {Q} (R)={\bigl (}R\times (R\!\setminus \!\{0\}){\bigr )}/{\sim }$; $(s,r)\sim ({\breve {s}},{\breve {r}})\,\Leftrightarrow \,{\breve {r}}s=r{\breve {s}}$ и $\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)+\mathrm {cl} _{\sim }\!(u,t)=\mathrm {cl} _{\sim }\!(st+ru,rt)$, $\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)\,\mathrm {cl} _{\sim }\!(u,t)=\mathrm {cl} _{\sim }\!(su,rt)$.
• Лемма о поле частных. Отожд.-е $r$ и $\mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)$. Примеры: $\mathrm {Q} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Q}$ и $K(x)=\mathrm {Q} (K[x])={\Bigl \{}{\frac {g}{f}}\!\mid f,g\in K[x],\,f\neq 0{\Bigr \}}$ — поле рациональных дробей.

  Лемма о поле частных. Пусть $R$ — область целостности; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}R&\to \mathrm {Q} (R)\\r&\mapsto \mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм колец;
  (2) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ и $s\in R$ выполнено $\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,r)={\frac {\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,1)}{\mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)}}$ (и, значит, $\mathrm {Q} (R)={\Bigl \{}{\frac {\mathrm {cl} _{\sim }\!(s,1)}{\mathrm {cl} _{\sim }\!(r,1)}}\!\mid r,s\in R,\,r\neq 0{\Bigr \}}$).

• Несократимая дробь: ${\frac {g}{f}}$, где $\mathrm {gcd} (f,g)=1$. Правильная дробь: ${\frac {g}{f}}$, где $\deg g<\deg f$.

1.4.5  Кольца матриц

• Множества матриц, столбцов и строк: $\mathrm {Mat} (p,n,R)$, $R^{n}\!=\mathrm {Mat} (n,1,R)$ и $R_{n}\!=\mathrm {Mat} (1,n,R)$. Сложение матриц и умножение матриц на скаляры.
• Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умнож.-я. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,R)=\mathrm {Mat} (n,n,R)$, группа $\mathrm {GL} (n,R)=\mathrm {Mat} (n,R)^{\times }$.
• Диагональные и скалярные матрицы. Верхнетреугольные, нижнетреугольные и треугольные матрицы. Блочные и блочно-треугольные матрицы.
• Матрицы, столбцы, строки с одной единицей: $({\underline {e}}_{i}^{j})_{l}^{k}=\delta _{i}^{k}\delta _{l}^{j}$, $({\underline {e}}_{i})^{k}=\delta _{i}^{k}$, $({\underline {e}}^{j})_{l}=\delta _{l}^{j}$. Утверждение: ${\underline {e}}_{i}^{j}\cdot {\underline {e}}_{k}^{l}=\delta _{k}^{j}{\underline {e}}_{i}^{l}$, ${\underline {e}}_{i}\cdot {\underline {e}}^{j}={\underline {e}}_{i}^{j}$, ${\underline {e}}^{j}\cdot {\underline {e}}_{i}=\delta _{i}^{j}$.
• Строки матрицы $a$: $a_{\bullet }^{i}={\underline {e}}^{i}\cdot a$. Столбцы матрицы $a$: $a_{j}^{\bullet }=a\cdot {\underline {e}}_{j}$. Утверждение: $(b\cdot a)_{\bullet }^{i}=b_{\bullet }^{i}\cdot a=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{\bullet }^{j}$ и $(b\cdot a)_{k}^{\bullet }=b\cdot a_{k}^{\bullet }=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{\bullet }\,a_{k}^{j}$.
• Транспонирование матрицы $a$: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: пусть $R$ — комм. кольцо, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,R)$ и $b\in \mathrm {Mat} (r,p,R)$; тогда $(b\cdot a)^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot b^{\mathtt {T}}$.
• След квадр. матрицы $a$: $\mathrm {tr} \,a=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{i}$. Утверждение: пусть $R$ — комм. кольцо, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $b\in \mathrm {Mat} (n,p,K)$; тогда $\mathrm {tr} (b\cdot a)=\mathrm {tr} (a\cdot b)$.
• Теорема о представлении комплексных чисел вещественными матрицами и о представлении кватернионов комплексными матрицами.
  (1) Отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {C} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {R} )\,\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм колец (и, значит, $\mathbb {C} \cong {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &\beta \\-\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} {\bigr \}}$).
  (2) Отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathbb {H} &\to \mathrm {Mat} (2,\mathbb {C} )\\\alpha +\beta \,\mathrm {i} +\gamma \,\mathrm {j} +\delta \,\mathrm {k} &\mapsto \!{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha +\beta \,\mathrm {i} &\gamma +\delta \,\mathrm {i} \\-\gamma +\delta \,\mathrm {i} &\alpha -\beta \,\mathrm {i} \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм колец (и, значит, $\mathbb {H} \cong {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} {\bigr \}}$).