Алгебра phys 2 ноябрь–декабрь

3  Билинейная и полилинейная алгебра

						В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре- менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред. Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран- ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается. Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии
						In the 20th century, the subject came to be known as tensor analysis, and achieved broader acceptance with the introduction of Einstein's the- ory of general relativity, around 1915. General relativity is formulated completely in the language of tensors. Einstein had learned about them, with great difficulty, from the geometer Marcel Grossmann. Tullio Levi-Civita then initiated a correspondence with Einstein to correct mistakes Einstein had made in his use of tensor analysis. The correspondence lasted 1915–1917, and was characterized by mutual respect: "I admire the elegance of your method of computation; it must be nice to ride through these fields upon the horse of true mathematics while the like of us have to make our way laboriously on foot" (from Einstein's letter to Levi-Civita). Статья «Tensor» в англоязычной Википедии

3.4  Тензорные произведения векторных пространств

3.4.1  Определения, конструкции и основные теоремы, связанные с тензорами

• Тензорное произв.-е пространств: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}={\mathcal {F}}/{\mathcal {F}}_{0}$, где ${\mathcal {F}}=\mathrm {FinFunc} (V_{1}\times \ldots \times V_{k},K)$ и ${\mathcal {F}}_{0}$ — подпространство полилинеаризации.
• Разложимые тензоры: $v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}=(v_{1},\ldots ,v_{k})+{\mathcal {F}}_{0}$. Утверждение: $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}=\langle \{v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\mid v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}\}\rangle$.
• Ранг тензора $T$: $\mathrm {rk} (T)$ равен минимальному среди всех таких чисел $m\in \mathbb {N} _{0}$, что $T=T_{1}+\ldots +T_{m}$, где $T_{1},\ldots ,T_{m}$ — разложимые тензоры.
• Теорема об универсальности тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $V_{1},\ldots ,V_{k},Y$ — векторные пространства над полем $K$;
  тогда отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V_{1}\times \ldots \times V_{k}&\to V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}\\(v_{1},\ldots ,v_{k})&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ полилинейно, и для любых $\omega \in \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)$ существует единственный
  такой гомоморфизм $a\in \mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)$, что для любых $v_{1}\in V_{1},\ldots ,v_{k}\in V_{k}$ выполнено $a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})=\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k},Y)&\to \mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k},Y)\\a&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto a(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм векторных пространств).
• Теорема о базисе тензорного произведения. Пусть $K$ — поле, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $V_{1},\ldots ,V_{k}$ — векторные пространства над полем $K$ и $B_{1},\ldots ,B_{k}$ —
  базисы пространств $V_{1},\ldots ,V_{k}$ соответственно; тогда все тензоры $b_{1}\otimes \ldots \otimes b_{k}$, где $b_{1}\in B_{1},\ldots ,b_{k}\in B_{k}$, попарно различны и вместе
  образуют базис пространства $V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k}$, а также, если $\dim V_{1},\ldots ,\dim V_{k}<\infty$, то $\dim(V_{1}\otimes \ldots \otimes V_{k})=\dim V_{1}\cdot \ldots \cdot \dim V_{k}$.
• Первая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $U,V,W$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  $(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\cong U\otimes V\otimes W$ и $V\otimes K\cong K\otimes V\cong V$, а также $V\otimes W\cong W\otimes V$.
• Тензорное произв.-е тензоров: $T\otimes T'$. Тензорное произв.-е гомоморфизмов ($a\in \mathrm {Hom} (V,Y),b\in \mathrm {Hom} (W,Z)$): $(a\otimes b)(v\otimes w)=a(v)\otimes b(w)$.
• Вторая теорема о канонических изоморфизмах. Пусть $K$ — поле и $V,W,Y,Z$ — векторные пространства над полем $K$; тогда
  (1) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Hom} (V,Y)\otimes \mathrm {Hom} (W,Z)&\to \mathrm {Hom} (V\otimes W,Y\otimes Z)\\a\otimes b&\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto a(v)\otimes b(w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также,
  если $\dim V,\dim W,\dim Y,\dim Z<\infty$, то данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (2) отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}Y\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,Y)\\y\otimes \lambda &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,y{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективный гомоморфизм векторных пространств, а также, если $\dim V,\dim Y<\infty$, то
  данное отображение — изоморфизм векторных пространств;
  (3) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to (V\otimes W)^{*}\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\otimes w\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes W^{*}\!&\to \mathrm {Bi} (V,W,K)\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}(v,w)\mapsto \lambda (v)\,\mu (w){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — инъективные гомоморфизмы векторных
  пространств, а также, если $\dim V,\dim W<\infty$, то данные отображения — изоморфизмы векторных пространств.

3.4.2  Тензорная алгебра и тензоры в координатах

• Пространство тензоров типа $(p,q)$: ${\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V=V^{\otimes p}\!\otimes (V^{*})^{\otimes q}$. Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,0}^{0}V=K$, ${\mathcal {T}}^{1}V=V$, ${\mathcal {T}}_{\,1}V=V^{*}$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{1}V\cong \mathrm {End} (V)$, ${\mathcal {T}}_{\,2}V\cong \mathrm {Bi} (V)$.
• Примеры: ${\mathcal {T}}_{\,\,2}^{1}V\cong \mathrm {Bi} (V,V,V)$ — пространство структур алгебры на $V$, ${\mathcal {T}}_{\,\,1}^{2}V\cong \mathrm {Hom} (V,V\otimes V)$ — пространство структур коалгебры на $V$.
• Утверждение: пусть $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\dim V<\infty$; тогда ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}_{\,k}V={\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — изоморфизм вект. пространств.
• Тензорная алгебра: ${\mathcal {T}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {T}}^{k}V$ — ассоциативная $K$-алгебра с $1$ (в опред. умножения используются изоморфизмы ${\mathcal {T}}^{k}V\otimes {\mathcal {T}}^{k'}\!V\cong {\mathcal {T}}^{k+k'}\!V$).
• Теорема о тензорной алгебре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через
  $n$ число $\dim V$; тогда множество $\{e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}\}$ — базис алгебры $\,{\mathcal {T}}(V)$, и для любых элементов
  $e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}$ и $e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}})\otimes (e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}\!)=e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\!\otimes e_{i_{1}'}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k'}'}$ (и, значит,
  линейное отображение, заданное на базисе по правилу ${\biggl (}\!{\begin{aligned}K_{\otimes }[x_{1},\ldots ,x_{n}]&\to {\mathcal {T}}(V)\\x_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes x_{i_{k}}\!&\mapsto e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{k}}\end{aligned}}\!{\biggr )}$, — изоморфизм алгебр с $1$).
• Тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\!\sum _{i_{1},\ldots ,i_{p},j_{1},\ldots ,j_{q}}\!\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}e_{i_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\!\otimes e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{q}}$. Примеры: $v=\sum _{i=1}^{n}(v^{e})^{i}e_{i}$, $\lambda =\sum _{j=1}^{n}(\lambda _{e})_{j}\,e^{j}$, $a=\!\!\sum _{1\leq i,j\leq n}\!\!(a_{e}^{e})_{j}^{i}\,e_{i}\otimes e^{j}$.
• Примеры: $\sigma =\!\!\sum _{1\leq j_{1},j_{2}\leq n}\!\!(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\,e^{j_{1}}\!\otimes e^{j_{2}}$ — метрический тензор, $\omega =\!\!\!\sum _{1\leq j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}\!\!\!\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {sgn} (j_{1},\ldots ,j_{n})\,e^{j_{1}}\!\otimes \ldots \otimes e^{j_{n}}$ — форма объема.
• Преобразование координат: $T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!=\!\!\!\!\!\sum _{k_{1},\ldots ,k_{p},l_{1},\ldots ,l_{q}}\!\!\!\!\!(e_{k_{1}})^{\tilde {i_{1}}}\ldots (e_{k_{p}})^{\tilde {i_{p}}}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}\ldots (e_{\tilde {j_{q}}})^{l_{q}}\,T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}$ (здесь $T_{{\tilde {j_{1}}},\ldots ,{\tilde {j_{q}}}}^{{\tilde {i_{1}}},\ldots ,{\tilde {i_{p}}}}\!={\stackrel {\tilde {e}}{T}}\!\,_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}$ и $T_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}\!={\stackrel {e}{T}}\!\,_{l_{1},\ldots ,l_{q}}^{k_{1},\ldots ,k_{p}}$).

3.4.3  Операции над тензорами

• Перестановки компонент тензоров в общем случае. Представление $\mathrm {lat}$ группы $\mathrm {S} _{k}$ в простр.-ве ${\mathcal {T}}^{k}V$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {lat} _{u}\colon {\mathcal {T}}^{k}V&\to {\mathcal {T}}^{k}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}&\mapsto v_{u^{-1}(1)}\!\otimes \ldots \otimes v_{u^{-1}(k)}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Тензорное произведение тензоров в координатах: ${\bigl (}T\otimes T'{\bigr )}_{\;\;\;\;\;\;\;\;j_{1},\ldots ,j_{q}\;\;\;\;\;\;\;j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1},\ldots ,i_{p}\;\;\;\;\;\;\;i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}\!\!=T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\!\cdot {T'}_{j_{1}',\ldots ,j_{q'}'}^{i_{1}',\ldots ,i_{p'}'}$. Кронекеровское произведение матриц.
• Свертка по паре $(b,d)$: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {con} _{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto \lambda _{d}(v_{b})\,v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Свертка по паре $(b,d)$ в координатах: ${\bigl (}\mathrm {con} _{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{h=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},h,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},h,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}$. Теорема о свертках тензоров малой валентности.

  Теорема о свертках тензоров малой валентности. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $v\in V$, $\lambda \in V^{*}$ и $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\lambda (v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \lambda )$, $\mathrm {tr} \,a=\mathrm {con} _{1}^{1}(a)$, $a(v)=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes a)$ и $\lambda \circ a=\mathrm {con} _{2}^{1}(a\otimes \lambda )$;
  (2) для любых $v,w\in V$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$ выполнено $\sigma (v,w)=\mathrm {con} _{1}^{1}(\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes w\otimes \sigma ))$ и ${\downarrow }_{\sigma }v=\mathrm {con} _{1}^{1}(v\otimes \sigma )$.

• Теорема об обратном метрическом тензоре. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$ и $\sigma \in \mathrm {Bi} (V)$; тогда
  (1) прообраз гомоморфизма $\downarrow _{\sigma }$ относительно изоморфизма ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V^{*}\!\otimes V^{*}\!&\to \mathrm {Hom} (V,V^{*})\\\lambda \otimes \mu &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \lambda (v)\,\mu {\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$ равен тензору $\sigma$;
  (2) если форма $\sigma$ невырождена, то, обозначая через $^{-1}\sigma$ прообраз гомоморфизма $\uparrow ^{\sigma }$ относительно изоморфизма ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\otimes V&\to \mathrm {Hom} (V^{*},V)\\v\otimes w&\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v)\,w{\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$
  (тензор $^{-1}\sigma$ — тензор типа $(2,0)$, обратный к тензору $\sigma$), для любых $\lambda \in V^{*}$ имеем следующий факт: ${\uparrow }^{\sigma }\lambda =\mathrm {con} _{1}^{1}(^{-1}\sigma \otimes \lambda )$.
• Опускание индекса: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q+1}^{p-1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes ({\downarrow }_{\sigma }v_{b})\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Подъем индекса: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}\colon {\mathcal {T}}_{\;q}^{p}V&\to {\mathcal {T}}_{\;q-1}^{p+1}V\\v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}&\mapsto v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{b-1}\!\otimes ({\uparrow }^{\sigma }\lambda _{d})\otimes v_{b+1}\!\otimes \ldots \otimes v_{p}\otimes \lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{d-1}\!\otimes \lambda _{d+1}\!\otimes \ldots \otimes \lambda _{q}\end{aligned}}\!{\biggr )}$.
• Опускание и подъем в координатах: ${\bigl (}(\downarrow _{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j,j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{i_{b}=1}^{n}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}\,\sigma _{i_{b},j}$ и ${\bigl (}(\uparrow ^{\sigma })_{d}^{b}(T){\bigr )}_{j_{1},\ldots ,j_{d-1},j_{d+1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{b-1},i,i_{b+1},\ldots ,i_{p}}\!=\sum _{j_{d}=1}^{n}(^{-1}\sigma )^{j_{d},i}\,T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}$.

3.5  Симметрические и внешние степени векторных пространств

3.5.1  Определения и конструкции, связанные с симметричными и антисимметричными тензорами

• Симметрическая и внешняя степени: ${\mathsf {S}}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=T{\bigr )}\}$ и ${\mathsf {\Lambda }}^{k}V=\{T\in {\mathcal {T}}^{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {lat} _{u}(T)=\mathrm {sgn} (u)\,T{\bigr )}\}$.
• Теорема о симметричных и антисимметричных ковариантных тензорах и полилинейных формах. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное
  пространство над $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$, $\dim V<\infty$; обозначим через $\iota$ изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\mathcal {T}}^{k}V^{*}\!&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\lambda _{1}\otimes \ldots \otimes \lambda _{k}&\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \lambda _{1}(v_{1})\ldots \lambda _{k}(v_{k}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$, обозначая через $\,\mathrm {laf} _{u}$ автоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Multi} _{k}V&\to \mathrm {Multi} _{k}V\\\omega &\mapsto {\bigl (}(v_{1},\ldots ,v_{k})\mapsto \omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)}){\bigr )}\!\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующие факты:
  $\iota \circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {laf} _{u}\!\circ \iota$, $\mathrm {SMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\omega {\bigr )}\}$, $\mathrm {AMulti} _{k}V=\{\omega \in \mathrm {Multi} _{k}V\mid \forall \,u\in \mathrm {S} _{k}\,{\bigl (}\mathrm {laf} _{u}(\omega )=\mathrm {sgn} (u)\,\omega {\bigr )}\}$;
  (2) $\iota ({\mathsf {S}}^{k}V^{*})=\mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\iota ({\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*})=\mathrm {AMulti} _{k}V$ (и, значит, ${\mathsf {S}}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {SMulti} _{k}V$ и $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V^{*}\!\cong \mathrm {AMulti} _{k}V$).
• Операторы симметризации и альтернирования: $\mathrm {sym} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {lat} _{u}$ и $\mathrm {alt} _{k}={\frac {1}{k!}}\!\sum _{u\in \mathrm {S} _{k}}\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {lat} _{u}$. Лемма о симметризации и альтернировании.

  Лемма о симметризации и альтернировании. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {sym} _{k}=\mathrm {sym} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\mathrm {lat} _{u}\!\circ \mathrm {alt} _{k}=\mathrm {alt} _{k}\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {sgn} (u)\,\mathrm {alt} _{k}$;
  (2) для любых $T\in {\mathsf {S}}^{k}V$ выполнено $\mathrm {sym} _{k}(T)=T$ и для любых $T\in {\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ выполнено $\mathrm {alt} _{k}(T)=T$;
  (3) $\mathrm {Im} \,\mathrm {sym} _{k}={\mathsf {S}}^{k}V$, $\mathrm {sym} _{k}^{2}=\mathrm {sym} _{k}$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {alt} _{k}={\mathsf {\Lambda }}^{k}V$, $\mathrm {alt} _{k}^{2}=\mathrm {alt} _{k}$ (то есть $\mathrm {sym} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {S}}^{k}V$ и $\mathrm {alt} _{k}$ — проектор на $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$).

• Симметрич. произведение векторов: $v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}=\mathrm {sym} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$. Внешнее произведение векторов: $v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}=k!\,\mathrm {alt} _{k}(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})$.
• Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении векторов. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — вект. пр. над $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $\mathrm {S} ^{k}V=\langle \{v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\mid v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\}\rangle$ и для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено $v_{u(1)}\!\cdot \ldots \cdot v_{u(k)}\!=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$;
  (2) $\mathrm {\Lambda } ^{k}V=\langle \{v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\mid v_{1},\ldots ,v_{k}\in V\}\rangle$ и для любых $u\in \mathrm {S} _{k}$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ выполнено $v_{u(1)}\!\wedge \ldots \wedge v_{u(k)}\!=\mathrm {sgn} (u)\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$.
• Теорема о базисе симметрической степени и базисе внешней степени. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$,
  $k\in \mathbb {N} _{0}$, $\dim V<\infty$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) все тензоры $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {S}}^{k}V$;
  (2) все тензоры $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$, где $i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i_{1}<\ldots <i_{k}$, попарно различны и вместе образуют базис пространства $\,{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$;
  (3) $\dim {\mathsf {S}}^{k}V=\!{\biggl (}\!\!{\binom {n}{k}}\!\!{\biggr )}\!={\binom {n+k-1}{k}}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}$ и $\,\dim {\mathsf {\Lambda }}^{k}V={\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$.
• Симметричный тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\sum _{i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}}\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{(i_{1},\ldots ,i_{k})}e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$. Антисимметричный тензор в координатах: $T=\!\!\!\!\sum _{i_{1}<\ldots <i_{k}}\!\!\!\!{\stackrel {e}{T}}\!\,^{[i_{1},\ldots ,i_{k}]}e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$.
• Примеры: $\mathrm {vol} ^{e}=e^{1}\wedge \ldots \wedge e^{n}$ — форма объема, связанная с $e$; $v\wedge w=(v\times w)^{3}\,e_{1}\wedge e_{2}-(v\times w)^{2}\,e_{1}\wedge e_{3}+(v\times w)^{1}\,e_{2}\wedge e_{3}$ ($v,w\in K^{3}$).

3.5.2  Симметрическая алгебра и внешняя алгебра

• Симметрич. и внешняя степени гомоморфизма: $a^{\cdot k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {S}}^{k}V\to {\mathsf {S}}^{k}Y}$ и $a^{\wedge k}\!=(a^{\otimes k})|_{{\mathsf {\Lambda }}^{k}V\to {\mathsf {\Lambda }}^{k}Y}$ (корректность следует из $a^{\otimes k}\!\circ \mathrm {lat} _{u}=\mathrm {lat} _{u}\!\circ a^{\otimes k}$).
• Утверждение: пусть $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$ и $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$; тогда $a^{\cdot k}(v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k})=a(v_{1})\cdot \ldots \cdot a(v_{k})$ и $a^{\wedge k}(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k})=a(v_{1})\wedge \ldots \wedge a(v_{k})$.
• Симметрическое произведение тензоров: $T\cdot T'=\mathrm {sym} _{k+k'}(T\otimes T')$. Внешнее произведение тензоров: $T\wedge T'={\frac {(k+k')!}{k!\,k'!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'}(T\otimes T')$.
• Лемма о симметрическом произведении и внешнем произведении тензоров. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над
  полем $K$, $k,k',k''\!\in \mathbb {N} _{0}$, $v_{1},\ldots ,v_{k},v_{1}',\ldots ,v_{k'}'\!\in V$ и $T\in {\mathcal {T}}^{k}V$, $T'\!\in {\mathcal {T}}^{k'}\!V$, $T''\!\in {\mathcal {T}}^{k''}\!V$; тогда
  (1) $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\cdot (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}\cdot v_{1}'\cdot \ldots \cdot v_{k'}'$ и $(v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k})\wedge (v_{1}'\otimes \ldots \otimes v_{k'}')={\frac {1}{k!\,k'!}}\,v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}\wedge v_{1}'\wedge \ldots \wedge v_{k'}'$;
  (2) $\mathrm {sym} _{k}(T)\cdot T'=T\cdot \mathrm {sym} _{k'}(T')=T\cdot T'$ и $\mathrm {alt} _{k}(T)\wedge T'=T\wedge \mathrm {alt} _{k'}(T')=T\wedge T'$;
  (3) $(T\cdot T')\cdot T''=T\cdot (T'\cdot T'')=\mathrm {sym} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$ и $(T\wedge T')\wedge T''=T\wedge (T'\wedge T'')={\frac {(k+k'+k'')!}{k!\,k'!\,k''!}}\,\mathrm {alt} _{k+k'+k''}(T\otimes T'\otimes T'')$
  (симметрическое произведение ассоциативно и внешнее произведение ассоциативно);
  (4) $(\ldots (v_{1}\cdot v_{2})\cdot \ldots \cdot v_{k-1})\cdot v_{k}=v_{1}\cdot \ldots \cdot v_{k}$ и $(\ldots (v_{1}\wedge v_{2})\wedge \ldots \wedge v_{k-1})\wedge v_{k}=v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}$;
  (5) $T\cdot T'=T'\cdot T$ и $T\wedge T'=(-1)^{kk'}T'\wedge T$ (симметрическое произведение коммутативно и внешнее произведение суперкоммутативно).
• Симметрическая алгебра (алгебра симметричных контравариантных тензоров): ${\mathsf {S}}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {S}}^{k}V$ — ассоциативная коммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Внешняя алгебра (алгебра антисимметричных контравариантных тензоров): ${\mathsf {\Lambda }}(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathsf {\Lambda }}^{k}V$ — ассоциативная суперкоммутативная $K$-алгебра с $1$.
• Теорема о симметрической алгебре и внешней алгебре. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K=0$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$
  и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) множество $\{e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}\!\mid k\in \mathbb {N} _{0},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}\leq \ldots \leq i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {S}}(V)$, и для любых элементов $e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}}$ и
  $e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k}})\cdot (e_{i_{1}'}\!\cdot \ldots \cdot e_{i_{k'}'}\!)=e_{{\hat {i}}_{1}}\!\cdot \ldots \cdot e_{{\hat {i}}_{k+k'}}$, где числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$,
  упорядоченные по неубыванию;
  (2) множество $\{e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}\!\mid k\in \{0,\ldots ,n\},\,i_{1},\ldots ,i_{k}\in \{1,\ldots ,n\},\,i_{1}<\ldots <i_{k}\}$ — базис алгебры $\,{\mathsf {\Lambda }}(V)$, и для любых элементов
  $e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}}$ и $e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}$ этого базиса выполнено $(e_{i_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k}})\wedge (e_{i_{1}'}\!\wedge \ldots \wedge e_{i_{k'}'}\!)=\mathrm {sgn} (i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'\!)\,e_{{\hat {i}}_{1}}\!\wedge \ldots \wedge e_{{\hat {i}}_{k+k'}}$, где
  числа ${\hat {i}}_{1},\ldots ,{\hat {i}}_{k+k'}$ суть числа $i_{1},\ldots ,i_{k},i_{1}',\ldots ,i_{k'}'$, упорядоченные по возрастанию.