Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах

• Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце $R$: $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\exists \,t\in R\;{\bigl (}r=s\,t{\bigr )}$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow \;s\,|\,r\,\land \,\lnot (r\,|\,s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;r\,|\,s\,\land \,s\,|\,r$.
• Понятия $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в коммут. кольце $R$: $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}t'\,|\,r\,\land \,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow \,t'\,|\,t{\bigr )}$ и $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}r\,|\,t'\,\land \,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow \,t\,|\,t'{\bigr )}$.
• Нормировка в $\mathbb {Z}$: $\mathrm {gcd} (a,b),\mathrm {lcm} (a,b)\in \mathbb {N}$ (если $a\,b\neq 0$); нормировка в $K[x]$: старшие коэфф. многочл. $\mathrm {gcd} (f,g)$, $\mathrm {lcm} (f,g)$ равны $1$ (если $f\,g\neq 0$).
• Главный идеал — идеал, порожд. одним элементом. Анонс: в $\mathbb {Z}$ и $K[x]$ все идеалы главные. Пример неглавного идеала: идеал $(2)+(x)$ в $\mathbb {Z} [x]$.
• Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $r,s,t\in R$; тогда
  (1) $s\,|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subseteq (s)$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subset (s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\,\Leftrightarrow \,(r)=(s)$; $r\in R^{\times }\Leftrightarrow \,r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\,\Leftrightarrow \,(r)=R$;
  (2) $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)\cap (s)$; если идеал $(r)+(s)$ главный, то $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)+(s)$;
  (3) если $R$ — область целостности, то $r\neq 0\;\Rightarrow \;\forall \,a,b\in R\;{\bigl (}a\,r=b\,r\,\Rightarrow \,a=b{\bigr )}$, а также $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\exists \,\varepsilon \in R^{\times }{\bigl (}r=\varepsilon \,s{\bigr )}$;
  (4) $(R/(r))^{\times }\!=\{a+(r)\in R/(r)\mid (a)+(r)=R\}$ и, если в кольце $R$ все идеалы главные, то $(R/(r))^{\times }\!=\{a+(r)\in R/(r)\mid \mathrm {gcd} (a,r)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;1\}$.
• Неприводимые и простые эл.-ты: $\mathrm {Irr} (R)=(R\!\setminus \!R^{\times }\!)\setminus \{s\,t\mid s,t\in R\!\setminus \!R^{\times }\!\}$ и $\mathrm {Prime} (R)=\{r\in R\!\setminus \!(R^{\times }\!\cup \{0\})\mid \forall \,s,t\in R\;{\bigl (}r\,|\,s\,t\,\Rightarrow \,r\,|\,s\,\lor \,r\,|\,t{\bigr )}\}$.
• Примеры: $\mathrm {Irr} (\mathbb {C} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {C} ,\,a\neq 0\}$ и $\mathrm {Irr} (\mathbb {R} [x])=\{a\,x+b\mid a,b\in \mathbb {R} ,\,a\neq 0\}\cup \{a\,x^{2}+b\,x+c\mid a,b,c\in \mathbb {R} ,\,b^{2}-4a\,c<0\}$.
• Теорема о неприводимых и простых элементах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо; тогда
  (1) если $R$ — область целостности, то $\,\mathrm {Prime} (R)\subseteq \mathrm {Irr} (R)$;
  (2) если в кольце $R$ все идеалы главные, то $\,\mathrm {Irr} (R)\subseteq \mathrm {Prime} (R)$;
  (3) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ следующие два условия эквивалентны: $r\in \mathrm {Prime} (R)$ и $R/(r)$ — область целостности;
  (4) если $R$ — область целостности, в которой все идеалы главные, то для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ следующие четыре условия эквивалентны:
  $r\in \mathrm {Irr} (R)$, $r\in \mathrm {Prime} (R)$, $R/(r)$ — область целостности, $R/(r)$ — поле.

1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца

• Евклидова норма: $\nu \colon R\to N$, где $N\subseteq \mathbb {N} _{0}\cup \{-\infty \}$ и $\forall \,r\in R\!\setminus \!\{0\},\,s\in R\;{\Bigl (}\exists \,q,t\in R\;{\bigl (}s=q\,r+t\,\land \,\nu (t)<\nu (r){\bigr )}\,\land \,{\bigl (}s\,|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)\leq \nu (r){\bigr )}{\Bigr )}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евклидовой нормой. Примеры: $\mathbb {Z}$ ($\nu (a)=|a|$); $K[x]$ ($\nu (f)=\deg f$); $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}\,\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ ($\nu (a)=|a|^{2}$).
• Теорема о евклидовых кольцах. Пусть $R$ — евклидово кольцо с евклидовой нормой $\nu$; тогда
  (1) для любых $r\in R\!\setminus \!\{0\}$ и $s\in R$ выполнено $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Rightarrow \,\nu (s)<\nu (r)$;
  (2) не существует такой бесконечной последовательности $r_{1},r_{2},\ldots$ элементов кольца $R$, что для любых $i\in \mathbb {N}$ выполнено $r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}$;
  (3) если $I\trianglelefteq R$, то для любых $r\in I\!\setminus \!\{0\}$ выполнено $I=(r)\,\Leftrightarrow \,\nu (r)=\min\{\nu (s)\mid s\in I\!\setminus \!\{0\}\}$;
  (4) в кольце $R$ все идеалы главные, а также $\,\mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)$.
• Алгоритм Евклида в евклидовом кольце: $r_{0}=s$ и $r_{1}=r$; на $i$-м шаге $r_{i-1}=q_{i}r_{i}+r_{i+1}$ и $\nu (r_{i+1})<\nu (r_{i})$; тогда $r_{n+1}=0\,\Rightarrow \,r_{n}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$.
• Соотношение Безу для элементов $r$ и $s$: $u\,r+v\,s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$, где $u$ и $v$ — коэффициенты Безу; если $s+(r)\in (R/(r))^{\times }$, то $(s+(r))^{-1}\!=v+(r)$.
• Расширенный алгоритм Евклида в евкл. кольце: $u_{n+1}=0$ и $v_{n+1}=1$; на $i$-м шаге $u_{i}=v_{i+1}-q_{i}u_{i+1}$ и $v_{i}=u_{i+1}$; тогда $u_{1}r_{1}+v_{1}r_{0}\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)$.
• Факториальное кольцо — область целостности с ${\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}$-однозначным разложением любого ненулевого элемента в произведение неприводимых элементов.
• Пример: $\mathbb {Z}$ факториально (это основная теорема арифметики). Теорема о факториальности евклидовых колец. Теорема о факториальных кольцах.

  Теорема о факториальности евклидовых колец.
  (1) Пусть $R$ — такая область целостности, что не существует такой бесконечной последовательности $r_{1},r_{2},\ldots$ элементов кольца $R$, что
  для любых $i\in \mathbb {N}$ выполнено $r_{i+1}\,|\!\!|\!\!|\,r_{i}$, и, кроме того, $\mathrm {Irr} (R)=\mathrm {Prime} (R)$; тогда $R$ — факториальное кольцо.
  (2) Евклидовы кольца являются факториальными кольцами (и, значит, кольца $\,\mathbb {Z}$, $K[x]$, где $K$ — поле, $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}\,\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ факториальны).

  Теорема о факториальных кольцах. Пусть $R$ — факториальное кольцо и $r,s\in R\!\setminus \!\{0\}$; разложим $r$ и $s$ в произведение неприводимых элементов:
  $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}}$ и $s\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}$, где $k\in \mathbb {N} _{0}$, $p_{1},\ldots ,p_{k}\in \mathrm {Irr} (R)$, $p_{1},\ldots ,p_{k}$ попарно неассоциированы и $d_{1},\ldots ,d_{k},e_{1},\ldots ,e_{k}\in \mathbb {N} _{0}$; тогда
  (1) $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}e_{i}\leq d_{i}{\bigr )}$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;\forall \,i\in \{1,\ldots ,k\}\;{\bigl (}d_{i}=e_{i}{\bigr )}$;
  (2) $\mathrm {gcd} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\min(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\min(d_{k},e_{k})}$; $\mathrm {lcm} (r,s)\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{\max(d_{1},e_{1})}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\max(d_{k},e_{k})}$; $rs\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;p_{1}^{d_{1}+e_{1}}\!\cdot \ldots \cdot p_{k}^{d_{k}+e_{k}}\!\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\cdot \mathrm {lcm} (r,s)$.

1.4.3  Элементарная теория чисел

• Китайская теорема об остатках для евклидовых колец.