Алгебра phys 1 ноябрь–декабрь

1  Основы алгебры

1.4  Кольца (часть 2)

1.4.1  Делимость в коммутативных кольцах

• Делимость, строгая делимость, ассоциированность в коммут. кольце $R$: $s\,|\,r\;\Leftrightarrow \;\exists \,t\in R\;{\bigl (}r=s\,t{\bigr )}$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\;\Leftrightarrow \;s\,|\,r\,\land \,\lnot (r\,|\,s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\;\Leftrightarrow \;r\,|\,s\,\land \,s\,|\,r$.
• Понятия $\mathrm {gcd}$ и $\mathrm {lcm}$ в коммут. кольце $R$: $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}t'\,|\,r\,\land \,t'\,|\,s\,\Leftrightarrow \,t'\,|\,t{\bigr )}$ и $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\;\Leftrightarrow \;\forall \,t'\in R\;{\bigl (}r\,|\,t'\,\land \,s\,|\,t'\,\Leftrightarrow \,t\,|\,t'{\bigr )}$.
• Нормировка в $\mathbb {Z}$: $\mathrm {gcd} (a,b),\mathrm {lcm} (a,b)\in \mathbb {N}$ (если $a\,b\neq 0$); нормировка в $K[x]$: старшие коэфф. многочл. $\mathrm {gcd} (f,g)$, $\mathrm {lcm} (f,g)$ равны $1$ (если $f\,g\neq 0$).
• Теорема о делимости и главных идеалах. Пусть $R$ — коммутативное кольцо и $r,s,t\in R$; тогда
  (1) $s\,|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subseteq (s)$; $s\,|\!\!|\!\!|\,r\,\Leftrightarrow \,(r)\subset (s)$; $r\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;s\,\Leftrightarrow \,(r)=(s)$;
  (2) $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {lcm} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)\cap (s)$; если идеал $(r)+(s)$ — главный, то $t\;{\overset {\scriptscriptstyle \mid }{\sim }}\;\mathrm {gcd} (r,s)\,\Leftrightarrow \,(t)=(r)+(s)$.

1.4.2  Евклидовы кольца и факториальные кольца

• Евклидова норма на кольце $R$: $\nu \colon R\to N$, где $N\subseteq \mathbb {N} _{0}\cup \{-\infty \}$ и $\forall \,r\in R\!\setminus \!\{0\},\,s\in R\;{\bigl (}\exists \,q,t\in R\;{\bigl (}s=qr+t\,\land \,\nu (t)<\nu (r){\bigr )}\,\land \,\nu (s)\leq \nu (rs){\bigr )}$.
• Евклидово кольцо — область целостности с евкл. нормой. Примеры: $\mathbb {Z}$ ($\nu (a)=|a|$); $K[x]$, где $K$ — поле ($\nu (f)=\deg f$); $\mathbb {Z} [\mathrm {i} ]$, $\mathbb {Z} [\mathrm {e} ^{{\frac {2\pi }{3}}\mathrm {i} }]$ ($\nu (a)=|a|^{2}$).