Алгебраические структуры 5 2015

3  Билинейная и полилинейная алгебра

3.1  Векторные пространства с ¯-билинейной формой

3.1.1  ¯-Билинейные формы

• Пространство билинейных форм $\mathrm {Bi} (V)$. Примеры билинейных форм: $(v,w)\mapsto v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w$ ($v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot w=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}s_{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}w^{j_{2}}$), $(f,g)\mapsto \!\int _{X}\!sfg$.
• Необходимость изучения ¯-билинейных форм. Поля с инволюцией. Пространство ${\overline {V}}$. Пространство ¯-билинейных форм: ${\overline {\mathrm {Bi} }}(V)=\mathrm {Bi} (V,{\overline {V}},K)$.
• Матрица Грама формы $\sigma$: $(\sigma _{e,e})_{j_{1},j_{2}}\!=\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})$. ¯-Билинейная форма в координатах: $\sigma (v,w)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {w^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {w^{j_{2}}}}$.
• Изоморфизм ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {Mat} (n,K)\\\sigma &\mapsto \sigma _{e,e}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Преобразования при замене базиса: $\sigma _{{\tilde {e}},{\tilde {e}}}=(\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}}}$ и $\sigma _{{\tilde {j_{1}}},{\tilde {j_{2}}}}\!=\sum _{l_{1}=1}^{n}\sum _{l_{2}=1}^{n}(e_{\tilde {j_{1}}})^{l_{1}}{\overline {(e_{\tilde {j_{2}}})^{l_{2}}}}\,\sigma _{l_{1},l_{2}}$.
• Пр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {SBi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)={\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!={\overline {s}}\}$.
• Пр.-ва (над полем $\{c\in K\mid c={\overline {c}}\}$) ${\overline {\mathrm {ABi} }}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (w,v)=-{\overline {\sigma (v,w)}}{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {A} }}\mathrm {Mat} (n,K)=\{s\in \mathrm {Mat} (n,K)\mid s^{\mathtt {T}}\!=-{\overline {s}}\}$.
• Мн.-во гомоморфизмов между пространствами с формой: $\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(Y,\varphi ))=\{a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\mid \forall \,v,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,w)=\varphi (a(v),a(w)){\bigr )}\}$.
• Группа автоморфизмов пространства с формой: $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\mathrm {Hom} ((V,\sigma ),(V,\sigma ))\cap \mathrm {GL} (V)$ и $\mathrm {Aut} (n,K,s)=\{a\in \mathrm {GL} (n,K)\mid a^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {a}}=s\}$.

3.1.2  ¯-Квадратичные формы

• Пространство ¯-квадратичных форм: ${\overline {\mathrm {Quad} }}(V)=\{\kappa \in \mathrm {Map} (V,K)\mid \exists \,\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\;\forall \,v\in V\;{\bigl (}\kappa (v)=\sigma (v,v){\bigr )}\}$. Утверждение: $\kappa (c\,v)=c{\overline {c}}\,\kappa (v)$.
• ¯-Квадратичная форма в координатах: $\kappa (v)=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}\!\cdot {\overline {v^{e}}}=\sum _{j_{1}=1}^{n}\sum _{j_{2}=1}^{n}\sigma _{j_{1},j_{2}}v^{j_{1}}{\overline {v^{j_{2}}}}$ — однородный ¯-многочлен степени $2$ от $v^{1},\ldots ,v^{n}$.
• Гиперповерхность второго порядка в пространстве $V$: мн.-во вида $\{v\in V\mid \kappa (v)+2\,\lambda (v)+c=0\}$, где $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)\!\setminus \!\{0\}$, $\lambda \in V^{*}$, $c\in K$.
• Теорема о поляризации квадратичных форм. Пусть $K$ — поле, $\mathrm {char} \,K\neq 2$ и $V$ — векторное пространство над полем $K$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in \mathrm {Quad} (V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to K\\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)-\kappa (v-w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$, имеем следующий факт:
  $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — симметричная билинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in \mathrm {SBi} (V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {Quad} (V)&\to \mathrm {SBi} (V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {SBi} (V)&\to \mathrm {Quad} (V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о поляризации ¯-квадратичных форм над полем C. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $\,\mathbb {C}$; тогда
  (1) для любых $\kappa \in {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)$, обозначая через $\,\mathrm {pol} _{\kappa }$ отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}V\times V&\to \mathbb {C} \\(v,w)&\mapsto {\bigl (}\kappa (v+w)+\mathrm {i} \,\kappa (v+\mathrm {i} \,w)-\kappa (v-w)-\mathrm {i} \,\kappa (v-\mathrm {i} \,w){\bigr )}/4\end{aligned}}\!{\biggr )}$,
  имеем следующий факт: $\mathrm {pol} _{\kappa }$ — полуторалинейная форма в пространстве $V$ (то есть $\mathrm {pol} _{\kappa }\!\in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$);
  (2) отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Quad} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\\kappa &\mapsto \mathrm {pol} _{\kappa }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to {\overline {\mathrm {Quad} }}(V)\\\sigma &\mapsto {\bigl (}v\mapsto \sigma (v,v){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Утверждение: пусть $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $\sigma \in \mathrm {SBi} (V)$ или $K=\mathbb {C}$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$; тогда $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid \forall \,v\in V\;{\bigl (}\sigma (v,v)=\sigma (a(v),a(v)){\bigr )}\}$.

3.1.3  Невырожденные ¯-билинейные формы

• Опускание индексов: ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\downarrow _{\sigma }\colon V&\to {\overline {V}}^{*}\\v&\mapsto {\bigl (}w\mapsto \sigma (v,w){\bigr )}\end{aligned}}\!{\biggr )}$. Опускание индексов в координатах: $({\downarrow }_{\sigma }v)_{e}=(v^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$ и $({\downarrow }_{\sigma }v)_{j}=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i,j}\,v^{i}$.
• Случай $\dim V<\infty$: ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\downarrow _{\sigma }$ — биекция${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$\mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}$. Ранг формы: $\mathrm {rk} (\sigma )=\dim \mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }$. Утверждение: $\mathrm {rk} (\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma _{e,e})$.
• Тонкости случая $\dim V=\infty$. Пример: пусть $V=\mathrm {C} ^{0}\!([-1;1],\mathbb {R} )$ и $\sigma \colon (f,g)\mapsto \!\int _{-1}^{1}\!fg$; тогда $\mathrm {Ker} \,{\downarrow }_{\sigma }\!=\{0\}$, но $\mathrm {Im} \,{\downarrow }_{\sigma }\!<V^{*}\!\cap \mathrm {C} ^{0}\!(V,\mathbb {R} )$.
• Подъем индексов ($\sigma$ невырождена): $\uparrow ^{\sigma }={\downarrow }_{\sigma }^{-1}$. Подъем индексов в координатах ($\sigma ^{e,e}=(\sigma _{e,e})^{-1}$): $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot (\lambda _{e})^{\mathtt {T}}$ и $({\uparrow }^{\sigma }\lambda )^{i}=\sum _{j=1}^{n}\sigma ^{j,i}\,\lambda _{j}$.
• Лемма о базисах и невырожденных формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, $m\in \mathbb {N} _{0}$, $e\in V^{m}$; обозначим
  через $U$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{m}\rangle$; тогда $\det \sigma _{e,e}\!\neq 0$, если и только если $e\in \mathrm {OB} (U)$ и форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Ортогональность ($\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$): $v\perp w\,\Leftrightarrow \,\sigma (v,w)=0\,\Leftrightarrow \,\sigma (w,v)=0$. Ортогональное дополнение: $U^{\perp }\!=\{v\in V\mid U\perp v\}\leq V$.
• Теорема об ортогональном дополнении. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\cup {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)$ и $U,W\leq V$; тогда
  (1) $U\leq U^{\perp \perp }$, $U\leq W\,\Rightarrow \,W^{\perp }\!\leq U^{\perp }$, $(U+W)^{\perp }\!=U^{\perp }\!\cap W^{\perp }$ и $\,U^{\perp }\!+W^{\perp }\!\leq (U\cap W)^{\perp }$;
  (2) $\mathrm {Ker} ({\downarrow }_{\sigma |_{U\times U}})=U\cap U^{\perp }$ и, если $\dim U<\infty$, то ${\bigl (}$$\sigma |_{U\times U}$ невырождена${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$;
  (3) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена, то $V=U\oplus U^{\perp }$ (и, значит, определен ортогональный проектор ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {proj} _{U}\colon V=U\oplus U^{\perp }\!&\to V\\v=u+u^{\perp }&\mapsto u\end{aligned}}\!{\biggr )}$);
  (4) если форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $U^{\perp }\!\cap U^{\perp \perp }\!=\{0\}$, то $U=U^{\perp \perp }$.

3.1.4  Диагонализация ¯-симметричных ¯-билинейных форм

• Ортогональный базис: $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,j_{1},j_{2}\in \{1,\ldots ,\dim V\}\;{\bigl (}j_{1}\neq j_{2}\,\Rightarrow \,\sigma (e_{j_{1}}\!,e_{j_{2}})=0{\bigr )}$.
• Ортонормированный базис (если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): $e\in \mathrm {OnOB} (V,\sigma )$$\,\Leftrightarrow \,$${\bigl (}$$\sigma _{e,e}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали${\bigr )}$.
• Лемма о неизотропном векторе. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\!\setminus \!\{0\}$; тогда
  существует такой вектор $v\in V$, что $\sigma (v,v)\neq 0$ (то есть существует неизотропный вектор).
• Теорема Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$; тогда
  (1) в пространстве $V$ существует ортогональный базис (то есть $\mathrm {OOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$);
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то в пространстве $V$ существует ортонормированный базис (то есть $\mathrm {OnOB} (V,\sigma )\neq \varnothing$).
• Матричная формулировка теоремы Лагранжа. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $\mathrm {char} \,K\neq 2$, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица;
  (2) если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, то существует такая матрица $g\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {g}}$ — диагональная матрица с $1$, $-1$, $0$ на диагонали.
• Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U<\infty$, $e\in \mathrm {OOB} (U,\sigma |_{U\times U})$, форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена и $v\in V$; тогда $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!{\frac {\sigma (v,e_{j})}{\sigma (e_{j},e_{j})}}e_{j}$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$,
  $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ и
  обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$. Пусть для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ форма $\sigma |_{V_{i}\times V_{i}}$ невырождена (это эквивалентно
  тому, что $m_{i}\neq 0$); для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\hat {e}}_{i}$ вектор $e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\hat {e}}_{1},\dots ,{\hat {e}}_{i})\in \mathrm {OOB} (V_{i},\sigma |_{V_{i}\times V_{i}})$ и $\,\sigma ({\hat {e}}_{i},{\hat {e}}_{i})={\frac {m_{i}}{m_{i-1}}}$;
  (2) ${\hat {e}}_{i}=e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}{\frac {\sigma (e_{i},{\hat {e}}_{j})}{\sigma ({\hat {e}}_{j},{\hat {e}}_{j})}}{\hat {e}}_{j}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n}$).

3.2  Векторные пространства с ¯-симметричной ¯-билинейной формой над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$

3.2.1  Положительно и отрицательно определенные формы

• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)>0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{>0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}>0{\bigr )}\}$.
• Множества ${\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)=\{\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\mid \forall \,v\in V\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}\sigma (v,v)<0{\bigr )}\}$ и ${\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} _{<0}(n,K)=\{s\in {\overline {\mathrm {S} }}\mathrm {Mat} (n,K)\mid \forall \,v\in K^{n}\!\setminus \!\{0\}\;{\bigl (}v^{\mathtt {T}}\!\cdot s\cdot {\overline {v}}<0{\bigr )}\}$.
• Утверждение: пусть $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)\cup {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$ и $U\leq V$; тогда $U\cap U^{\perp }\!=\{0\}$ и, если $\dim U<\infty$, то форма $\sigma |_{U\times U}$ невырождена.
• Критерий Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и $e\in \mathrm {OB} (V)$;
  обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через $m_{i}$ $i$-й угловой минор матрицы $\sigma _{e,e}$; тогда
  (1) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}m_{i}>0{\bigr )}$;
  (2) $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(V)$, если и только если $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\bigl (}(-1)^{i}\,m_{i}>0{\bigr )}$.
• Евклидово$/$унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$$/$над $\mathbb {C}$ с положительно определенной формой.
• Ортогональные многочлены. Тригонометрические многочлены и многочлены Лежандра, Чебышёва, Эрмита (см. пункты 5–10 в § 4 части 2 в [2]).

3.2.2  Сигнатура формы

• Полож. и отриц. ранги: $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(U)\}$ и $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\max\{\dim U\mid U\leq V\;\land \;\sigma |_{U\times U}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{<0}(U)\}$.
• Закон инерции Сильвестра. Пусть $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $\dim V<\infty$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$ и
  $e\in \mathrm {OOB} (V,\sigma )$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}>0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (2) $\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ (и, значит, число $|\{i\in \{1,\ldots ,n\}\mid (\sigma _{e,e})_{i,i}<0\}|$ не зависит от базиса $e$);
  (3) $\mathrm {rk} _{>0}(\sigma )+\mathrm {rk} _{<0}(\sigma )=\mathrm {rk} (\sigma )$.
• Сигнатура формы: пара $(\mathrm {rk} _{>0}(\sigma ),\mathrm {rk} _{<0}(\sigma ))$. Пространство Минковского — четырехмерное пространство над $\mathbb {R}$ с формой сигнатуры $(1,3)$.
• (Псевдо)евклидово пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {R}$ с невырожденной симметричной билинейной формой.
• (Псевдо)унитарное пространство — конечномерное векторное пространство над $\mathbb {C}$ с невырожденной ¯-симметричной полуторалинейной формой.
• Классификация кривых и поверхностей второго порядка при помощи ранга и сигнатуры квадратичных форм (см. § 2 главы VIII в [1]).

3.2.3  Евклидовы и унитарные пространства

• Обозначение формы: $(,)$. Примеры: $(v,w)=\sum _{i=1}^{n}v^{i}{\overline {w^{i}}}$, $(f,g)=\!\int _{X}\!f{\overline {g}}$. Норма: $\|v\|=\!{\sqrt {(v,v)}}$. Утверждение: $v\neq 0\,\Rightarrow \,\|v\|>0$ и $\|c\,v\|=|c|\,\|v\|$.
• Теорема о свойствах нормы. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $|(v,w)|\leq \|v\|\,\|w\|$ (это неравенство Коши–Буняковского–Шварца);
  (2) для любых $v,w\in V$ выполнено $\|v+w\|\leq \|v\|+\|w\|$ (это неравенство треугольника);
  (3) для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $v\in V$ выполнено $v=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!(v,e_{i})e_{i}$ и $\|v\|^{2}=\!\sum _{i=1}^{\dim V}\!|(v,e_{i})|^{2}$ (это равенство Парсеваля).
• Гильбертово пространство над $\mathbb {R}$$/$над $\mathbb {C}$ — (не обязательно конечномерное) «евклидово»$/$«унитарное» пространство, полное относительно нормы.
• Теорема об ортогональном проектировании. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $U\leq V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OnOB} (U)$ и $v\in V$ выполнено $\mathrm {proj} _{U}(v)=\!\sum _{j=1}^{\dim U}\!(v,e_{j})e_{j}$ и $\|v\|^{2}\geq \!\sum _{j=1}^{\dim U}\!|(v,e_{j})|^{2}$ (это неравенство Бесселя);
  (2) для любых $v\in V$ и $u\in U\!\setminus \!\{\mathrm {proj} _{U}(v)\}$ выполнено $\|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|<\|v-u\|$ (и, значит, $\|v-\mathrm {proj} _{U}(v)\|=\min\{\|v-u\|\mid u\in U\}$).
• Угол между векторами и угол между вектором и подпространством (если $K=\mathbb {R}$): $\angle (v,w)=\arccos {\frac {(v,w)}{\|v\|\,\|w\|}}$ и $\angle (v,U)=\angle (v,\mathrm {proj} _{U}(v))$.
• Процесс ортогонализации Грама–Шмидта в евклидовом или унитарном пространстве. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство
  и $e\in \mathrm {OB} (V)$; обозначим через $n$ число $\dim V$; для любых $i\in \{0,\ldots ,n\}$ обозначим через $V_{i}$ пространство $\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$. Для любых
  $i\in \{1,\ldots ,n\}$ обозначим через ${\check {e}}_{i}$ вектор ${\frac {e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})}{\|e_{i}-\mathrm {proj} _{V_{i-1}}(e_{i})\|}}$. Тогда для любых $i\in \{1,\ldots ,n\}$ выполнено
  (1) $({\check {e}}_{1},\dots ,{\check {e}}_{i})\in \mathrm {OnOB} (V_{i})$;
  (2) ${\check {e}}_{i}={\frac {e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}}{\|e_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}(e_{i},{\check {e}}_{j}){\check {e}}_{j}\|}}$ (это индуктивная формула для нахождения векторов ${\check {e}}_{1},\ldots ,{\check {e}}_{n}$).

3.3  Линейные операторы и ¯-билинейные формы

3.3.1  Сопряжение операторов

• Сопряженный оператор (форма $\sigma$ невырождена): $a^{*}(v)={\uparrow }^{\sigma }{\bigl (}({\downarrow }_{\sigma }v)\circ a{\bigr )}$. Сопряженный оператор в координатах: $(a^{*})_{e}^{e}=(\sigma ^{e,e})^{\mathtt {T}}\!\cdot {\overline {a_{e}^{e}}}^{\mathtt {T}}\!\!\cdot (\sigma _{e,e})^{\mathtt {T}}$.
• Лемма о сопряжении операторов. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена; тогда
  (1) для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ и $v\in V$ вектор $a^{*}(v)$ однозначно определяется условием $\forall \,w\in V\;{\bigl (}\sigma (v,a(w))=\sigma (a^{*}(v),w){\bigr )}$;
  (2) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ и $c\in K$ выполнено $(a+b)^{*}\!=a^{*}\!+b^{*}$, $(c\,a)^{*}\!={\overline {c}}\,a^{*}$ и $(a\circ b)^{*}\!=b^{*}\!\circ a^{*}$
  (и, значит, отображение ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to \mathrm {End} (V)\\a&\mapsto a^{*}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ — ¯-антиэндоморфизм $K$-алгебры $\,\mathrm {End} (V)$);
  (3) если $\dim V<\infty$, то для любых $a\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $\,\mathrm {Spec} (a^{*})={\overline {\mathrm {Spec} (a)}}$;
  (4) $\mathrm {Aut} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {GL} (V)\mid a^{*}\!=a^{-1}\}=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a\circ a^{*}\!=a^{*}\!\circ a=\mathrm {id} _{V}\}$.
• Ортогональная группа ($V$ — (псевдо)евклидово пр.): $\mathrm {O} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$. Унитарная группа ($V$ — (псевдо)унитарное пр.): $\mathrm {U} (V)=\mathrm {Aut} (V,\sigma )$.
• Классические группы над $\mathbb {R}$: $\mathrm {O} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {R} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}$, $\mathrm {O} (n)=\mathrm {O} (n,0)$, $\mathrm {SO} (p,q)=\mathrm {O} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {R} )$, $\mathrm {SO} (n)=\mathrm {SO} (n,0)$.
• Классические группы над $\mathbb {C}$: $\mathrm {U} (p,q)=\mathrm {Aut} {\bigl (}p+q,\mathbb {C} ,{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\mathrm {id} _{p}&0\\0&-\mathrm {id} _{q}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}$, $\mathrm {U} (n)=\mathrm {U} (n,0)$, $\mathrm {SU} (p,q)=\mathrm {U} (p,q)\cap \mathrm {SL} (p+q,\mathbb {C} )$, $\mathrm {SU} (n)=\mathrm {SU} (n,0)$.
• Примеры: $\mathrm {SO} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \varphi \in [0;2\pi ){\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{1}$, $\mathrm {O} (2)={\bigl \{}\mathrm {id} _{2},{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr \}}\!\cdot \mathrm {SO} (2)$, $\mathrm {SU} (2)={\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}c&d\\-{\overline {d}}&{\overline {c}}\end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid c,d\in \mathbb {C} ,\,|c|^{2}\!+|d|^{2}\!=1{\bigr \}}\cong \mathrm {S} ^{3}$.

3.3.2  Два пространства и два множества операторов

• Форма, связанная с оператором: $\sigma _{a}(v,w)=\sigma (a(v),w)$ ($\Leftrightarrow \,{\downarrow }_{\sigma _{a}}\!={\downarrow }_{\sigma }\!\circ a$). Форма, связанная с оператором, в координатах: $(\sigma _{a})_{e,e}=(a_{e}^{e})^{\mathtt {T}}\!\cdot \sigma _{e,e}$.
• Лемма об операторах и формах. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — вект. пр. над $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена; тогда
  отображения ${\biggl (}\!{\begin{aligned}\mathrm {End} (V)&\to {\overline {\mathrm {Bi} }}(V)\\a&\mapsto \sigma _{a}\end{aligned}}\!{\biggr )}$ и ${\biggl (}\!{\begin{aligned}{\overline {\mathrm {Bi} }}(V)&\to \mathrm {End} (V)\\\tau &\mapsto {\uparrow }^{\sigma }\!\circ {\downarrow }_{\tau }\end{aligned}}\!{\biggr )}$ суть взаимно обратные изоморфизмы векторных пространств.
• Теорема о форме, связанной с оператором, и сопряжении операторов. Пусть $K$ — поле с инволюцией, $V$ — векторное пространство
  над полем $K$, $\sigma \in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)$, форма $\sigma$ невырождена и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) для любых $v,w\in V$ выполнено $\sigma _{a}(w,v)={\overline {\sigma _{a^{*}}(v,w)}}$;
  (2) $\sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\,\Leftrightarrow \,a=a^{*}$ и $\sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)\,\Leftrightarrow \,a=-a^{*}$, а также $a^{**}\!=a$;
  (3) $\mathrm {Ker} \,a^{*}\!=(\mathrm {Im} \,a)^{\perp }$ и $\,\mathrm {Im} \,a^{*}\!\leq (\mathrm {Ker} \,a)^{\perp }$;
  (4) для любых $U\leq V$ выполнено $a(U)\leq U\,\Rightarrow \,a^{*}(U^{\perp })\leq U^{\perp }$ и $\,a^{*}(U)\leq U\,\Rightarrow \,a(U^{\perp })\leq U^{\perp }$.
• Пр.-во самосопряженных оп.-ров: ${\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}(V)\}$; ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Rightarrow \,$${\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a=a^{*}\}$.
• Пр.-во антисамосопряж. оп.-ров: ${\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {ABi} }}(V)\}$; ${\bigl (}$$\sigma$ невырождена${\bigr )}$$\,\Rightarrow \,$${\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a=-a^{*}\}$.
• Множество положительно определенных операторов (если $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$): ${\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V,\sigma )=\{a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )\mid \sigma _{a}\!\in {\overline {\mathrm {SBi} }}_{>0}(V)\}$.
• Множество нормальных операторов: ${\mathcal {N}}\mathrm {End} (V,\sigma )=\{a\in \mathrm {End} (V)\mid a\circ a^{*}\!=a^{*}\!\circ a\}\supseteq \mathrm {Aut} (V,\sigma )\cup {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V,\sigma )\cup {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V,\sigma )$.
• Пример: положительно определенный оператор $f\mapsto -f''$ в пространстве $\{f\in \mathrm {C} ^{\infty }\!([0;l],\mathbb {C} )\mid f(0)=f(l)=0\}$ с формой $(f,g)\mapsto \!\int _{0}^{l}\!f{\overline {g}}$.

3.3.3  Спектральная теория (часть 1)

• Теорема о собственных векторах нормального оператора. Пусть $V$ — евклидово или унитарное пространство и $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) для любых $c\in \mathrm {Spec} (a)$ выполнено $V_{1}(a,c)=V_{1}(a^{*}\!,{\overline {c}})$;
  (2) для любых таких $c,d\in \mathrm {Spec} (a)$, что $c\neq d$, выполнено $V_{1}(a,c)\perp V_{1}(a,d)$.
• Спектральная теорема для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, если и только если $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$.
• Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в унитарном пространстве. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {C} )$; тогда
  $a\cdot {\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!={\overline {a}}^{\mathtt {T}}\!\cdot a$, если и только если $\exists \,g\in \mathrm {U} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — диагональная матрица${\bigr )}$.
• Спектральная теорема для унитарных, эрмитовых, положительно определенных и антиэрмитовых операторов в унитарном пространстве.
  Пусть $V$ — унитарное пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {U} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с числами вида $\,\mathrm {e} ^{\varphi \,\mathrm {i} }$, где $\varphi \in [0;2\pi )$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathrm {S} ^{1}$;
  (2) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с вещественными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R}$;
  (3) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} _{>0}$;
  (4) $a\in {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с числами вида $\,\beta \,\mathrm {i}$, где $\beta \in \mathbb {R}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} \,\mathrm {i}$.
• Лемма об операторе с пустым спектром над полем R. Пусть $V$ — евклидово пространство, $V\neq \{0\}$, $a\in \mathrm {End} (V)$ и $\,\mathrm {Spec} (a)=\varnothing$; тогда
  (1) существует такое подпространство $U$ пространства $V$, что $\dim U=2$, $a(U)\leq U$ и, если $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, то $a^{*}(U)\leq U$;
  (2) если $\dim V=2$, то для любых $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ выполнено $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$a_{e}^{e}\in {\bigl \{}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}\!\mid \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ,\,\beta \neq 0{\bigr \}}$.
• Ортогональные многочлены как собственные функции самосопряженных дифференциальных операторов (см. пункт 10 в § 8 части 2 в [2]).

3.3.4  Спектральная теория (часть 2)

• $\mathbb {C}$-Диагональная матрица: блочно-диагональная матрица над $\mathbb {R}$ с блоками размера $1\times 1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$.
• $\mathbb {C}$-Спектр оператора: $\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)=\{c\in \mathbb {C} \mid \chi _{a}(c)=0\}$. Утверждение: пусть $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ и $\beta \neq 0$; тогда $\,\mathbb {C} \mathrm {Spec} {\bigl (}{\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\alpha &-\beta \\\beta &\alpha \end{smallmatrix}}{\Bigr )}{\bigr )}=\{\alpha +\beta \,\mathrm {i} ,\alpha -\beta \,\mathrm {i} \}$.
• Спектральная теорема для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  $a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)$, если и только если $\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$.
• Матричная формулировка cпектральной теоремы для нормальных операторов в евклидовом пространстве. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,\mathbb {R} )$; тогда
  $a\cdot a^{\mathtt {T}}\!=a^{\mathtt {T}}\!\cdot a$, если и только если $\exists \,g\in \mathrm {O} (n)\;$${\bigl (}$$g\cdot a\cdot g^{-1}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица${\bigr )}$.
• Спектральная теорема для ортогональных, симметричных, положительно определенных и антисимметричных операторов в евклидовом
  пространстве. Пусть $V$ — евклидово пространство и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда
  (1) $a\in \mathrm {O} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диаг. матрица с числами $1$, $-1$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\varphi \in (0;2\pi )\!\setminus \!\{\pi \}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathrm {S} ^{1}$;
  (2) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диагональная матрица${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R}$;
  (3) $a\in {\mathcal {S}}\mathrm {End} _{>0}(V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — диаг. матрица с положительными числами на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} _{>0}$;
  (4) $a\in {\mathcal {A}}\mathrm {End} (V)$$\,\Leftrightarrow \,$$\exists \,e\in \mathrm {OnOB} (V)\;$${\bigl (}$$a_{e}^{e}$ — $\mathbb {C}$-диагональная матрица с числом $0$ и блоками вида ${\Bigl (}{\begin{smallmatrix}0&-\beta \\\beta &0\end{smallmatrix}}{\Bigr )}$, где $\beta \in \mathbb {R} \!\setminus \!\{0\}$, на диагонали${\bigr )}$$\,\Leftrightarrow$
  $\Leftrightarrow \,$$a\in {\mathcal {N}}\mathrm {End} (V)\;\land \;\mathbb {C} \mathrm {Spec} (a)\subset \mathbb {R} \,\mathrm {i}$.
• Теорема Эйлера о вращениях. Пусть $V$ — евклидово пространство, $\dim V=3$ и $a\in \mathrm {End} (V)$; тогда $a\in \mathrm {SO} (V)$, если и только если
  существуют такие $e\in \mathrm {OnOB} (V)$ и $\varphi \in [0;2\pi )$, что $a_{e}^{e}=\!{\biggl (}{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&\cos \varphi &-\sin \varphi \\0&\sin \varphi &\cos \varphi \end{smallmatrix}}{\biggr )}$.