1 Линейная алгебра
| | | | | | | | Содержание линейной алгебры состоит в проработке математического языка для выражения одной из самых общих естественно- научных идей — идеи линейности. Возможно, ее важнейшим специальным случаем является принцип линейности малых прира- щений: почти всякий естественный процесс почти всюду в малом линеен. Этот принцип лежит в основе всего математического анализа и его приложений. Векторная алгебра трехмерного физического пространства, исторически ставшая краеугольным кам- нем в здании линейной алгебры, восходит к тому же источнику: после Эйнштейна мы понимаем, что и физическое пространство приближенно линейно лишь в малой окрестности наблюдателя. К счастью, эта малая окрестность довольно велика. Физика двадцатого века резко и неожиданно расширила сферу применения идеи линейности, добавив к принципу линейности малых приращений принцип суперпозиции векторов состояний. Грубо говоря, пространство состояний любой квантовой системы является линейным пространством над полем комплексных чисел. В результате почти все конструкции комплексной линейной алгебры превратились в аппарат, используемый для формулировки фундаментальных законов природы: от теории линейной двойственности, объясняющей квантовый принцип дополнительности Бора, до теории представлений групп, объясняющей таб- лицу Менделеева, «зоологию» элементарных частиц и даже структуру пространства-времени. | А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Линейная алгебра и геометрия |
|
| | | | | | | | Одно из отличий математиков от физиков — стремление математиков назвать вещи своими именами. Примеров тому — масса, особенно в двадцатом веке, когда произошло «размежевание» математики и физики. Классический пример — линейная алгебра. То, что системы линейных уравнений имеют «какую-то структуру», понимали все, и до Гаусса, и после. Соответственно, манипуляции с этими уравнениями, позволяющие решить систему или, скажем, привести квадратичную форму к сумме квадратов, знали и физики, и инженеры, и математики. Но математики полезли на стенку и нашли правильный язык: векторные пространства, линейные операторы, двойственные пространства и т.д. Это могло бы показаться игрой со словами, но оказалось, что технически гораздо более сложные вещи (дифференциальные и интегральные уравнения) также описываются на языке линейной алгебры, только бесконечномерной. То же верно и в отношении других физических конструктов. Физики обнаружили экспериментальным путем (выписывая лист за листом громоздкие формулы), что некоторые величины, задаваемые индексированными массивами данных, по-разному преоб- разуются при замене координат, и назвали соответствующие величины тензорами. Это — чистая «феноменология», позволяю- щая быстро проконтролировать вычисления на предмет ошибок (ну, или механизировать эти вычисления). Математики долго пыхтели и сформулировали понятия симметрических и антисимметрических произведений векторных пространств и их двойст- венных пространств и разобрались, откуда они возникают. В общем, исторический опыт убедительно подтверждает: если чело- век узнал, что всю жизнь говорил прозой, то в дальнейшем ему легче жить с этим знанием. ;-) | По мотивам комментария в Живом Журнале (avva.livejournal.com/2932837.html) |
|
Материал первой половины второго семестра курса алгебры
Содержание первой половины второго семестра курса алгебры
1.1 Матрицы, базисы, координаты
- 1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- 1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- 1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- 1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
1.2 Линейные операторы (часть 1)
- 1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- 1.2.2 Ранг линейного оператора
- 1.2.3 Системы линейных уравнений
1.3 Конструкции над векторными пространствами
- 1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- 1.3.2 Двойственное пространство
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
- 1.4.1 Отступление о симметрических группах
- 1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- 1.4.3 Определитель линейного оператора
- 1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
Материал второй половины второго семестра курса алгебры
1.5 Линейные операторы (часть 2)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Утверждение: пусть и ; тогда и, если и делит , то .
- Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда .
- Следствие из теоремы о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
, и , где , и попарно взаимно просты; тогда .
- Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Относительные геометрические кратности: и . Утверждение: .
- Теорема о диагонализуемых операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
тогда следующие условия эквивалентны:
(1) существует такой упорядоченный базис , что — диагональная матрица;
(2) (то есть раскладывается без кратностей в произведение многочленов степени в кольце );
(3) (это разложение пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора );
(3') .
- Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и .
- Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то
это условие выполнено для любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда
(1) (это разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств оператора );
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующий факт: для любых
выполнено , а также — нильпотентный оператор и .
1.6 Линейные операторы (часть 3)
1.6.1 Относительные базисы
- Независимое подмножество в относительно : . Порождающее подмножество в относительно : .
- Базис в относительно : одновременно независимое и порождающее подмножество в относительно . Три леммы-упражнения.
Лемма 1 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — базис в относительно ;
(1') — независимое подмножество в и ;
(2) — максимальное независимое подмножество в относительно ;
(3) — минимальное порождающее подмножество в относительно .
Лемма 2 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) любое независимое подмножество в относительно можно дополнить до базиса в относительно ;
(2) из любого конечного порождающего подмножества в относительно можно выделить базис в относительно .
Лемма 3 об относительных базисах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , — базис в относительно , — базис в
относительно ; тогда — базис в относительно .
- Теорема об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ;
обозначим через , , пространства , , соответственно; пусть — независимое подмножество в
относительно ; тогда — биекция и — независимое подмножество в относительно .
- Следствие из теоремы об относительно независимых подмножествах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и ; тогда .
1.6.2 Жорданова нормальная форма оператора
- Жордановы клетки: и . Прямая сумма матриц: .
- Диаграммы Юнга. Жорданов блок: , где числа суть длины строк диаграммы Юнга .
- Диаграмма Юнга : высоты столбцов диаграммы суть относительные геометрические кратности .
- Теорема о жордановой нормальной форме нильпотентного оператора. Пусть — поле, — векторное пространство над , ,
, — нильпотентный оператор; тогда существует такой упорядоченный базис , что .
- Теорема о жордановой нормальной форме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце (если , то это условие выполнено для
любого оператора в силу алгебраической замкнутости поля ); тогда существует такой упорядоченный базис , что
(то есть матрица раскладывается в прямую сумму жордановых блоков).
1.6.3 Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике
- Утверждение: пусть и ; тогда . Вычисление многочленов и рядов от жордановых клеток.
- Экспонента от оператора: . Пример вычисления экспоненты: . Теорема о свойствах экспоненты.
Теорема о свойствах экспоненты. Пусть — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых таких , что , выполнено ;
(2) для любых выполнено , а также .
- Однородная система линейных дифференциальных уравнений: (, ). Решение: ().
- Сведе́ние уравнения к системе уравнений . Фундаментальная система решений.
- Стационарное ур.-е Шрёдингера для частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечными стенками: и .
- Выводы из ур.-я Шрёдингера для частицы в потенциальной яме: — плотность вероятности, — энергия.
1.7 Алгебры
1.7.1 Определения и конструкции, связанные с алгебрами
- -Алгебра — векторное пространство над с билинейным умножением — кольцо (в широком смысле слова) с умножением на скаляры из .
- Гомоморфизм алгебр — гомоморфизм колец и векторных пространств. Подалгебра (идеал) алгебры — подкольцо (идеал) и подпространство.
- Примеры алгебр: -алгебры , , , , , ; -алгебры , с векторным умножением, .
- Структурные константы алгебры: . Утверждение: массив определяет умножение в -алгебре .
- Теорема Кэли для алгебр. Пусть — поле и — ассоциативная -алгебра с ; обозначим через векторное пространство над
полем , получающееся из -алгебры при «забывании» умножения в этой алгебре; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент -алгебры );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный гомоморфизм алгебр с .
- Алгебра с делением: . Утверждение: конечномерная алгебра без делителей нуля — алгебра с делением.
1.7.2 Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных
- Тензорное произведение полилинейных форм: . Свойства операции .
- Утверждение: пусть и ; тогда множество — базис пространства .
- Алгебра полилинейных форм (ковариантных тензоров): . Утверждение: — ассоциативная -алгебра с .
- Моном (слово) от свободных переменных степени : (). Моноид слов .
- Пространство однородных многочленов степени : . Алгебра многочленов: .
- Теорема об алгебре полилинейных форм. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; обозначим через число ;
тогда отображение, продолжающее по линейности частичное отображение , — изоморфизм алгебр с .
1.7.3 Тело кватернионов
- -Алгебра кватернионов: , где и , , .
- Скалярная (вещественная) и векторная (мнимая) части кватерниона: и .
- Сопряжение: . Модуль: . Чистые кватернионы: .
- Теорема о свойствах кватернионов.
(1) Для любых и выполнено .
(2) Для любых выполнено и, если , то (и, значит, — тело).
(3) Для любых выполнено (и, значит, отображение — антиавтоморфизм алгебры ).
(4) Для любых выполнено (и, значит, отображение — гомоморфизм групп).
- Трехмерная сфера: . Утверждение: пусть ; тогда и .
- Теорема о представлении кватернионов комплексными матрицами. Отображение — инъективный
гомоморфизм алгебр с , и его образ есть (и, значит, ).
1.7.4 Алгебры Ли (основные определения и примеры)
- Условия на умножение в алгебре Ли: билинейность, антисимметричность (), тождество Якоби ().
- Коммутатор в ассоциативной алгебре : . Алгебра : пространство с операцией . Утверждение: — алгебра Ли.
- Примеры алгебр Ли: , , с векторным умножением ( в алгебре Ли ).
- Теорема Кэли для алгебр Ли. Пусть — поле и — -алгебра Ли; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение , имеем следующий факт: — линейный оператор на векторном
пространстве (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — гомоморфизм алгебр Ли.
- Алгебра дифференцирований алгебры : — подалгебра алгебры Ли .
- Теорема об алгебре Ли векторных полей. Пусть и — открытое подмножество в ; обозначим через и
алгебру и векторное пространство соответственно; тогда
(1) для любых , обозначая через отображение (здесь ), имеем следующий
факт: — дифференцирование алгебры (то есть элемент алгебры Ли );
(2) обозначая через отображение , имеем следующий факт: — инъективный линейный оператор,
а также — подалгебра алгебры Ли ;
(3) определим на векторном пространстве бинарную операцию так, что для любых выполнено
(из пункта (2) следует, что это условие корректно определяет операцию ); тогда для любых
выполнено (здесь ), а также — алгебра Ли относительно операции .
Вопросы к экзамену по второй половине второго семестра курса алгебры
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
- Строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 «Многочлены от операторов».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 1, 2, 4 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 2, 5, 6 пункта 1.5.2 «Спектр оператора и характеристический многочлен оператора».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 4 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 5 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 6 пункта 1.5.3 «Собственные и корневые подпространства оператора».
- Строки 1, 2 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
- Строки 3, 4 пункта 1.6.1 «Относительные базисы».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
- Строки 1, 2, 3, 5 пункта 1.6.2 «Жорданова нормальная форма оператора».
- Строки 1, 2 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 3, 4 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 5, 6 пункта 1.6.3 «Примеры использования жордановой нормальной формы в анализе и физике».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
- Строки 2, 5, 6 пункта 1.7.1 «Определения и конструкции, связанные с алгебрами».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
- Строки 4, 5, 6 пункта 1.7.2 «Полилинейные формы и многочлены от свободных переменных».
- Строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
- Строки 5, 6 пункта 1.7.3 «Тело кватернионов».
- Строки 1, 2, 3 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
- Строки 1, 4 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
- Строки 5, 6 пункта 1.7.4 «Алгебры Ли (основные определения и примеры)».
Правила проведения экзамена
- На экзамене можно использовать только написанные выше план материала курса и список вопросов (желательно иметь распечатки).
- «Строки» в списке вопросов нужно понимать либо как «настоящие строки» в плане материала курса (например, строки 1, 2, 3, 4 пункта 1.5.1),
либо в естественном обобщенном смысле (например, строки 5, 6, 7 пункта 1.5.1 суть «настоящие строки» 5, 6, 7, 8, 9).
- При ответе на вопрос должен быть подробно рассказан материал строк, указанных в вопросе (например, если строка содержит определения,
то к ним должны быть приведены примеры; если строка содержит утверждения или теоремы, то они должны быть полностью доказаны).
- На экзамене нужно ответить на два вопроса: один с номером от 1 до 16 (то есть по пунктам о линейных операторах), один с номером от 17 до 25
(то есть по пунктам об алгебрах). Кроме того, будут заданы дополнительные вопросы и упражнения на знание определений и формулировок по
всем пунктам второй половины второго семестра, а также студентам, претендующим на оценку «отлично», будет дана задача.
- При подготовке к экзамену рекомендуется обратить внимание на глубокое понимание материала, а не на заучивание (возможность использовать
на экзамене план материала курса предоставляется для того, чтобы минимизировать заучивание).
2 Билинейная и полилинейная алгебра
| | | | | | В физике тензоры широко используются в теориях, обладающих геометрической природой (таких, как общая теория относительности) или допускающих полную или значительную геометризацию (к таковым можно в значительной степени отнести практически все совре- менные фундаментальные теории — электродинамика, релятивистская механика и т.д.), а также в теории анизотропных сред. Вообще в физике термин «тензор» имеет тенденцию применяться только к тензорам над обычным трехмерным физическим простран- ством или четырехмерным пространством-временем, или, в крайнем случае, над наиболее простыми и прямыми обобщениями этих пространств, хотя принципиальная возможность применения его в более общих случаях остается. | Статья «Тензор» в русскоязычной Википедии |
|
| | | | | | (Сказанное выше о тензорах справедливо также для векторов, ковекторов, полилинейных отображений (это частные случаи тензоров) и в целом для очень многих абстрактных (вернее, инвариантных) объектов, изучаемых в алгебре. — Е.Е. Горячко.) |
|