Алгебра phys 1 весна 2016
Материал из SEWiki
Версия от 19:50, 20 марта 2016; Goryachko (обсуждение | вклад)
1 Линейная алгебра
| |||||||
|
1.1 Матрицы, базисы, координаты
1.1.1 Пространства матриц, столбцов, строк
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: отображение — антиавтоморфизм кольца .
1.1.2 Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
1.1.3 Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
1.1.4 Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду
- Элементарные трансвекции и псевдоотражения .
- Элементарные преобразования над строками первого типа и второго типа .
- Элементарные преобразования над столбцами первого типа и второго типа .
- Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.
Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть — поле, и ; тогда
(1) существуют такие и элементарные матрицы размера над полем , что — ступенчатая матрица;
(2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно (и, значит, не зависит от матриц ). - Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.
1.2 Линейные операторы
1.2.1 Ядро и образ линейного оператора
- Отступление о свойствах базиса. Утверждение: . Утверждение: пусть , ; тогда .
- Ядро линейного оператора: . Образ линейного оператора: . Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.
Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , , , ; тогда .
Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть — поле, — вект. пр. над , ; тогда .
- Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть — поле, — векторные пространства над полем ,
и ; тогда выполнено . - Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ;
тогда выполнено .
1.2.2 Ранг линейного оператора
- Ранг линейного оператора: . Ранг матрицы (ранг по столбцам): . Утверждение: .
- Утверждение: . Утверждение: и .
- Теорема о свойствах ранга. Пусть — поле, и ; тогда
(1) для любых матриц и выполнено ;
(2) существуют такие матрицы и , что ;
(3) и (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).
1.2.3 Системы линейных уравнений
- Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть ; тогда .
- Теорема Кронекера–Капелли. Пусть — поле, , и ; тогда .
- Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства .
1.3 Конструкции над векторными пространствами
1.3.1 Прямая сумма векторных пространств и факторпространства
- Прямая сумма векторных пространств: . Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.
Теорема о прямой сумме. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ;
обозначим через отображение ; тогда
(1) , и ;
(2) если , то (это формула Грассмана);
(3) . - Инвариантное относительно эндоморфизма подпространство: . Матрица эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
- Матрица эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
- Факторпространство . Утверждение: пусть , — базис в , — базис в , ; тогда — базис в .
- Теорема о гомоморфизме. Пусть — поле, — векторные пространства над полем и ; тогда .
1.3.2 Двойственное пространство
- Двойственное пространство: . Двойственный базис: . Утверждение: . Столбец .
- Строка координат ковектора. Утверждение: . Преобразования при замене базиса: , и .
- Отождествление пространств и в случае конечномерного пространства при помощи изоморфизма .
- Сводная таблица о координатах. (В таблице — поле, — векторное пространство над полем , и .)
Инвариантный объект | Координаты относительно базиса | Преобразование координат при замене базиса | Пример использования в геометрии и физике | |||
---|---|---|---|---|---|---|
вектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
скорость в точке гладкого пути на многообразии | |||
ковектор — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм векторных пространств) |
|
дифференциал в точке гладкой функции (скалярного поля) на многообразии | |||
эндоморфизм — элемент пространства (тензор типа над ) |
(это изоморфизм колец и векторных пространств) |
|
дифференциал в неподвижной точке гладкого отображения, действующего из многообразия в себя |
1.4 Полилинейные отображения, формы объема, определитель
1.4.1 Отступление о симметрических группах
- Симметрическая группа: . Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
- Утверждение: . Утверждение: .
- Транспозиции и фундаментальные транспозиции . Число циклов .
- Лемма об умножении на транспозицию. Пусть , , и ; тогда
(1) если числа и принадлежат одному циклу в перестановке , то ;
(2) если числа и принадлежат разным циклам в перестановке , то . - Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть и ; обозначим через число ; тогда
(1) существуют такие транспозиции , что ;
(2) для любого из существования таких транспозиций , что , следует, что и . - Знак перестановки: . Утверждение: — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: .
1.4.2 Полилинейные отображения и формы объема
- Пространства полилинейных отображений и и полилинейных форм и .
- Пространство симметричных полилинейных форм . Пространство антисимметричных полилинейных форм .
- Лемма об антисимметричных формах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда
следующие условия эквивалентны (если , то исключаются импликации (2)(1) и (3)(1)):
(1) ;
(2) для любых и таких , что — транспозиция, выполнено ;
(3) для любых и выполнено . - Пространство форм объема , где . Форма объема, связанная с базисом: .
- Теорема о формах объема. Пусть — поле, — векторное пространство над , ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых и выполнено ;
(2) для любых множество — базис пространства ;
(3) для любых и выполнено .
1.4.3 Определитель линейного оператора
- Определитель линейного оператора: , где . Корректность определения.
- Теорема о главных свойствах определителя. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) (напоминание: );
(2) для любых выполнено
(и, значит, отображение определено корректно и является гомоморфизмом групп). - Определитель матрицы: . Утверждение: пусть ; тогда .
- Утверждение: и определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
- Специальные линейные группы: и .
1.4.4 Миноры матрицы и присоединенная матрица
- Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: дополнительный минор матрицы в позиции .
- Теорема о базисном миноре. Пусть — поле, и ; тогда равен максимальному среди всех таких чисел
, что в матрице существует такая подматрица размера , что . - Теорема о присоединенной матрице. Пусть — поле, и ; тогда
(1) и (в частности, при и при
выполнено и соответственно);
(2) и, если , то . - Правило Крамера. Пусть — поле, , , и ; тогда .
1.5 Линейные операторы (revisited)
1.5.1 Многочлены от операторов
- Многочлен от оператора: . Эвалюация — гомоморфизм колец и векторных пространств.
- Кольцо, порожденное оператором: — коммутативное подкольцо и подпространство в .
- Минимальный многочлен оператора: , приведен, ; .
- Лемма о многочленах и операторах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем и ; тогда
(1) для любых выполнено и ;
(2) для любых выполнено и . - Теорема о разложении в прямую сумму ядер. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; тогда . - Проектор (идемпотент): . Нильпотентный оператор: .
1.5.2 Спектр оператора и характеристический многочлен оператора
- Спектр оператора: ; если , то .
- Характеристический многочлен матрицы: . Характеристический многочлен оператора: . Корректность определения.
- Утверждение: . Утверждение: (и, значит, ).
- Теорема Гамильтона–Кэли. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , и ; тогда .
- Две кратности: — кратность как корня многочлена (алгебраическая кратность) и — кратность как корня многочлена .
- Лемма о минимальном и характеристическом многочленах. Пусть — поле, — вект. пр. над , , ; тогда
(1) многочлен делит многочлен (и, значит, );
(2) ;
(3) если — нильпотентный оператор, то .
1.5.3 Собственные и корневые подпространства оператора
- Обобщенные собственные подпространства: . Корневые подпространства: .
- Цепь -инвариантных подпространств: ; вывод: .
- Обобщенная геометрическая кратность: и . Утверждение: .
- Лемма об обобщенных собственных подпространствах. Пусть — поле, — векторное пространство над полем , ,
и ; обозначим через число ; тогда
(1) для любых выполнено ;
(2) и . - Теорема о разложении в прямую сумму корневых подпространств. Пусть — поле, — векторное пространство над полем ,
, и многочлен раскладывается в произведение многочленов степени в кольце ; тогда
(1) ;
(2) для любых , обозначая через оператор , имеем следующие факты:
— нильпотентный оператор, и (и, значит, ).