Алгебра phys 1 весна 2016

1  Векторные пространства

1.1  Матрицы, базисы, координаты

1.1.1  Пространства матриц, столбцов, строк

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $K^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\{e_{i}^{j}\mid i\in \{1,\ldots ,p\},\,j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Стандартный базис пространства $K^{p}$: $\{e_{i}\mid i\in \{1,\ldots ,p\}\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\{e^{j}\mid j\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Умножение матриц: $(b\cdot a)_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}\,a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Выделение строк матрицы: $a^{i}=e^{i}\cdot a$. Выделение столбцов матрицы: $a_{j}=a\cdot e_{j}$. Утверждение: $(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a$ и $(b\cdot a)_{k}=b\cdot a_{k}$.
• Транспонирование матрицы: $(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: отображение $\,a\mapsto a^{\mathtt {T}}$ — антиавтоморфизм кольца $\,\mathrm {Mat} (n,K)$.

1.1.2  Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств между $V$ и $K^{\dim V}$.
• Матрица гомоморфизма: $(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $a(e)=h\cdot a_{e}^{h}$ и $\forall \,v\in V\;{\bigl (}a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}{\bigr )}$. Утверждение: $(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств между $\mathrm {Hom} (V,Y)$ и $\mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)$. Изоморфизм колец между $\mathrm {End} (V)$ и $\mathrm {Mat} (\dim V,K)$.

1.1.3  Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\tilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\tilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{\tilde {\tilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {\tilde {e}}}$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}$.
• Преобразование базиса: ${\tilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $v^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $v^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}\,v^{k}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: $a_{\tilde {e}}^{\tilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись: $a_{\tilde {j}}^{\tilde {i}}=\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{k})^{\tilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}\,a_{l}^{k}$.

1.1.4  Элементарные матрицы и приведение к ступенчатому виду

• Элементарные трансвекции $\{\mathrm {id} _{n}+c\,e_{i}^{j}\mid c\in K,\,i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i\neq j\}$ и псевдоотражения $\{\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{i}^{i}\mid c\in K^{\times },\,i\in \{1,\ldots ,n\}\}$.
• Элементарные преобразования над строками первого типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+c\,e_{i}^{k})\cdot a$ и второго типа $a\mapsto (\mathrm {id} _{p}+(c-1)e_{i}^{i})\cdot a$.
• Элементарные преобразования над столбцами первого типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+c\,e_{l}^{j})$ и второго типа $a\mapsto a\cdot (\mathrm {id} _{n}+(c-1)e_{j}^{j})$.
• Ступенчатые по строкам и ступенчатые по столбцам матрицы. Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.

  Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду. Пусть $K$ — поле, $p,n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) существуют такие $l\in \mathbb {N} _{0}$ и элементарные матрицы $g_{1},\ldots ,g_{l}$ размера $p\times p$ над полем $K$, что $g_{l}\cdot \ldots \cdot g_{1}\cdot a$ — ступенчатая матрица;
  (2) число ненулевых строк ступенчатой матрицы из пункта (1) равно $\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ (и, значит, не зависит от матриц $g_{1},\ldots ,g_{l}$).

• Нахождение базиса подпространства, порожденного множеством, при помощи теоремы о приведении матрицы к ступенчатому виду.

1.2  Линейные операторы

1.2.1  Ядро и образ линейного оператора

• Отступление о свойствах базиса. Утверждение: $V\cong Y\,\Leftrightarrow \,\dim V=\dim Y$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $\dim U=\dim V<\infty$; тогда $U=V$.
• Ядро линейного оператора: $\mathrm {Ker} \,a=a^{-1}(0)\leq V$. Образ линейного оператора: $\mathrm {Im} \,a\leq Y$. Лемма о слоях гомоморфизма и следствие из нее.

  Лемма о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$, $y\in Y$, $v_{0}\in a^{-1}(y)$; тогда $a^{-1}(y)=v_{0}+\mathrm {Ker} \,a$.

  Следствие из леммы о слоях гомоморфизма. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — вект. пр. над $K$, $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {Ker} \,a=\{0\}$.

• Теорема о размерностях ядра и образа линейного оператора. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$,
  $\dim V<\infty$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда выполнено $\dim \mathrm {Ker} \,a+\dim \mathrm {Im} \,a=\dim V$.
• Принцип Дирихле для линейных операторов. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $\dim V=\dim Y<\infty$;
  тогда выполнено $\,\mathrm {Inj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Surj} (V,Y)\cap \mathrm {Hom} (V,Y)=\mathrm {Isom} (V,Y)$.

1.2.2  Ранг линейного оператора

• Ранг линейного оператора: $\mathrm {rk} (a)=\dim \mathrm {Im} \,a$. Ранг матрицы (ранг по столбцам): $\mathrm {rk} (a)=\dim \,\langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle$. Утверждение: $\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a_{e}^{h})$.
• Утверждение: $\mathrm {rk} (a)\leq \min(\dim V,\dim Y)$. Утверждение: $a\in \mathrm {Inj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim V$ и $a\in \mathrm {Surj} (V,Y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\dim Y$.
• Теорема о свойствах ранга. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$; тогда
  (1) для любых матриц $g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)$ выполнено $\mathrm {rk} (g_{1}\cdot a\cdot g_{2})=\mathrm {rk} (a)$;
  (2) существуют такие матрицы $g_{1}\in \mathrm {GL} (p,K)$ и $g_{2}\in \mathrm {GL} (n,K)$, что $g_{1}\cdot a\cdot g_{2}=e_{1}^{1}+e_{2}^{2}+\ldots +e_{\mathrm {rk} (a)}^{\mathrm {rk} (a)}$;
  (3) $\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})=\dim \,\langle a^{1},\ldots ,a^{p}\rangle$ и $\,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} (a^{\mathtt {T}})$ (то есть ранг по столбцам равен рангу по строкам).

1.2.3  Системы линейных уравнений

• Матричная запись систем. Однородные системы. Утверждение: пусть $a\cdot v_{0}=y$; тогда $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=y\}=v_{0}+\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.
• Теорема Кронекера–Капелли. Пусть $K$ — поле, $n,p\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {Mat} (p,n,K)$ и $y\in K^{p}$; тогда $\exists \,v\in K^{n}\;(a\cdot v=y)\,\Leftrightarrow \,\mathrm {rk} (a)=\mathrm {rk} ((a\;\,y))$.
• Метод Гаусса. Главные и свободные неизвестные. Фундаментальная система решений — базис пространства $\{v\in K^{n}\mid a\cdot v=0\}$.

1.3  Конструкции над векторными пространствами

1.3.1  Прямая сумма векторных пространств и факторпространства

• Прямая сумма векторных пространств: $U\oplus W$. Базис прямой суммы. Теорема о прямой сумме. Внутренняя прямая сумма подпространств.

  Теорема о прямой сумме. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $U,W\leq V$; обозначим через
  $\mathrm {add} _{U,W}$ отображение, действующее из $U\oplus W$ в $V$ по правилу $(u,w)\mapsto u+w$ для любых $u\in U$ и $w\in W$; тогда
  (1) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Hom} (U\oplus W,V)$, $\mathrm {Ker} \,\mathrm {add} _{U,W}\cong U\cap W$ и $\,\mathrm {Im} \,\mathrm {add} _{U,W}=U+W$;
  (2) если $\dim U,\dim W<\infty$, то $\dim(U\cap W)+\dim(U+W)=\dim U+\dim W$;
  (3) $\mathrm {add} _{U,W}\in \mathrm {Isom} (U\oplus W,V)$$\;\Leftrightarrow \,$$\forall \,v\in V\;\exists !\,u\in U,\,w\in W\;{\bigl (}v=u+w{\bigr )}$$\,\Leftrightarrow \;$$U\cap W=\{0\}\;\land \;U+W=V$.

• Инвариантное подпространство эндоморфизма: $a(U)\leq U$. Вид матрицы эндоморфизма, имеющего инвариантное подпространство.
• Вид матрицы эндоморфизма в случае существования разложения пространства во внутреннюю прямую сумму инвариантных подпространств.
• Факторпространство $V/U$. Утверждение: пусть $U\leq V$, $A$ — базис в $U$, $B$ — базис в $V$, $A\subseteq B$; тогда $\{b+U\mid b\in B\setminus A\}$ — базис в $V/U$.
• Теорема о гомоморфизме. Пусть $K$ — поле, $V,Y$ — векторные пространства над полем $K$ и $a\in \mathrm {Hom} (V,Y)$; тогда $V/\,\mathrm {Ker} \,a\cong \mathrm {Im} \,a$.

1.3.2  Двойственное пространство

• Двойственное пространство: $V^{*}=\mathrm {Hom} (V,K)$. Двойственный базис: $e_{j}^{*}(v)=(v^{e})^{j}$. Утверждение: $\lambda =\sum _{j=1}^{\dim V}\lambda (e_{j})e_{j}^{*}$. Столбец $e^{*}$.
• Строка координат ковектора. Утверждение: $\lambda =\lambda _{e}\cdot e^{*}$. Преобразования при замене базиса: ${\tilde {e}}^{*}=\mathrm {c} _{e}^{\tilde {e}}\cdot e^{*}$, $\lambda _{\tilde {e}}=\lambda _{e}\cdot \mathrm {c} _{\tilde {e}}^{e}$ и $\lambda _{\tilde {j}}=\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{\tilde {j}})^{l}\,\lambda _{l}$.
• Отождествление пространств $V$ и $V^{**}$ в случае конечномерного пространства $V$ при помощи изоморфизма $v\mapsto {\bigl (}\lambda \mapsto \lambda (v){\bigr )}$.

1.4  Полилинейные отображения, формы объема, определитель

1.4.1  Отступление о симметрических группах

• Симметрическая группа: $\mathrm {S} _{n}=\mathrm {S} (\{1,\ldots ,n\})$. Запись перестановки в виде последовательности значений. Цикловая запись перестановок.
• Утверждение: $(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k)\circ (k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})=(i_{1}\;\ldots \;i_{l}\;\,k\;\,j_{1}\;\ldots \;j_{m})$. Утверждение: $u\circ (i_{1}\;\ldots \;i_{l})\circ u^{-1}=(u(i_{1})\;\ldots \;u(i_{l}))$.
• Транспозиции $\{(i\;\,j)\mid i,j\in \{1,\ldots ,n\},\,i<j\}$ и фундаментальные транспозиции $\{(i\;\,i+1)\mid i\in \{1,\ldots ,n-1\}\}$. Число циклов $\kappa (u)$.
• Лемма об умножении на транспозицию. Пусть $n\in \mathbb {N} \setminus \{1\}$, $u\in \mathrm {S} _{n}$, $i,j\in \{1,\ldots ,n\}$ и $i<j$; тогда
  (1) если числа $i$ и $j$ принадлежат одному циклу в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)+1$;
  (2) если числа $i$ и $j$ принадлежат разным циклам в перестановке $u$, то $\kappa (u\circ (i\;\,j))=\kappa (u)-1$.
• Теорема о разложении перестановки в произведение транспозиций. Пусть $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $u\in \mathrm {S} _{n}$; обозначим через $l$ число $n-\kappa (u)$; тогда
  (1) существуют такие транспозиции $u_{1},\ldots ,u_{l}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{l}$;
  (2) для любого $t\in \mathbb {N} _{0}$ из существования таких транспозиций $u_{1},\ldots ,u_{t}\in \mathrm {S} _{n}$, что $u=u_{1}\circ \ldots \circ u_{t}$, следует, что $t\geq l$ и $t\equiv l\;(\mathrm {mod} \;2)$.
• Знак перестановки: $\mathrm {sgn} (u)=(-1)^{n-\kappa (u)}$. Утверждение: $\mathrm {sgn}$ — гомоморфизм групп. Знакопеременная группа: $\mathrm {A} _{n}=\{u\in \mathrm {S} _{n}\mid \mathrm {sgn} (u)=1\}$.

1.4.2  Полилинейные отображения и формы объема

• Пространства полилинейных отображений $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k};Y)$ и $\mathrm {Multi} ^{k}(V,Y)$ и полилинейных форм $\mathrm {Multi} (V_{1},\ldots ,V_{k})$ и $\mathrm {Multi} ^{k}V$.
• Пространство симметричных полилинейных форм $\mathrm {SMulti} ^{k}V$. Пространство антисимметричных полилинейных форм $\mathrm {AMulti} ^{k}V$.
• Лемма об антисимметричных формах. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$, $k\in \mathbb {N} _{0}$ и $\omega \in \mathrm {Multi} ^{k}V$; тогда
  следующие условия эквивалентны (если $\mathrm {char} \,K=2$, то исключаются импликации (2)$\;\Rightarrow \,$(1) и (3)$\;\Rightarrow \,$(1)):
  (1) $\omega \in \mathrm {AMulti} ^{k}V$;
  (2) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и таких $u\in \mathrm {S} _{k}$, что $u$ — транспозиция, выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=-\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{k}\in V$ и $u\in \mathrm {S} _{k}$ выполнено $\omega (v_{u(1)},\ldots ,v_{u(k)})=\mathrm {sgn} (u)\,\omega (v_{1},\ldots ,v_{k})$.
• Пространство форм объема $\mathrm {AMulti} ^{n}V$, где $n=\dim V$. Форма объема, связанная с базисом: $\mathrm {vol} ^{e}(v_{1},\ldots ,v_{n})=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,(v_{1}^{e})^{u(1)}\!\ldots (v_{n}^{e})^{u(n)}$.
• Теорема о формах объема. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над $K$, $\dim V<\infty$; обозначим через $n$ число $\dim V$; тогда
  (1) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V$ выполнено $\omega =\omega (e_{1},\ldots ,e_{n})\,\mathrm {vol} ^{e}$;
  (2) для любых $e\in \mathrm {OB} (V)$ множество $\{\mathrm {vol} ^{e}\}$ — базис пространства $\,\mathrm {AMulti} ^{n}V$;
  (3) для любых $v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ и $\omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V\setminus \{0\}$ выполнено $(v_{1},\ldots ,v_{n})\in \mathrm {OB} (V)\,\Leftrightarrow \,\omega (v_{1},\ldots ,v_{n})\neq 0$.

1.4.3  Определитель линейного оператора

• Определитель линейного оператора: $\omega (a(v_{1}),\ldots ,a(v_{n}))=\det a\cdot \omega (v_{1},\ldots ,v_{n})$, где $\omega \in \mathrm {AMulti} ^{n}V\setminus \{0\}$. Корректность определения.
• Теорема о главных свойствах определителя. Пусть $K$ — поле, $V$ — векторное пространство над полем $K$ и $\dim V<\infty$; тогда
  (1) для любых $a,b\in \mathrm {End} (V)$ выполнено $a\in \mathrm {Aut} (V)\,\Leftrightarrow \,\det a\neq 0$ и $\det(a\circ b)=\det a\cdot \det b$;
  (2) отображение, действующее из $\,\mathrm {Aut} (V)$ в $K^{\times }$ по правилу $\,a\mapsto \det a$ для любых $a\in \mathrm {Aut} V$, — гомоморфизм групп.
• Определитель матрицы: $\det a=\sum _{u\in \mathrm {S} _{n}}\mathrm {sgn} (u)\,a_{1}^{u(1)}\!\ldots a_{n}^{u(n)}$. Утверждение: пусть $e\in \mathrm {OB} (V)$; тогда $\det a=\mathrm {vol} ^{e}(a(e_{1}),\ldots ,a(e_{n}))=\det a_{e}^{e}$.
• Утверждение: (1) $\det a=\det a^{\mathtt {T}}$; (2) определитель блочно-треугольной матрицы равен произведению определителей диагональных блоков.
• Миноры. Дополнительные миноры. Присоединенная матрица: $\mathrm {adj} (a)_{j}^{i}=(-1)^{i+j}$${\bigl (}$дополнительный минор матрицы $a$ в позиции $(j,i)$${\bigr )}$.
• Теорема о присоединенной матрице. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$ и $a\in \mathrm {Mat} (n,K)$; тогда
  (1) $\forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}=\det a{\Bigr )}$ и $\forall \,j\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{j}\,a_{j}^{i}=\det a{\Bigr )}$;
  (2) $\forall \,i,k\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}a_{j}^{i}\,\mathrm {adj} (a)_{k}^{j}=\det a\cdot \delta _{k}^{i}{\Bigr )}$ и $\forall \,j,l\in \{1,\ldots ,n\}\;{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\mathrm {adj} (a)_{i}^{l}\,a_{j}^{i}=\det a\cdot \delta _{j}^{l}{\Bigr )}$;
  (3) $a\cdot \mathrm {adj} (a)=\mathrm {adj} (a)\cdot a=\det a\cdot \mathrm {id_{n}}$ и, если $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, то $a^{-1}=(\det a)^{-1}\!\cdot \mathrm {adj} (a)$.
• Формулы Крамера. Пусть $K$ — поле, $n\in \mathbb {N} _{0}$, $a\in \mathrm {GL} (n,K)$, $y\in K^{n}$ и $i\in \{1,\ldots ,n\}$; тогда $(a^{-1}\!\cdot y)^{i}={\frac {\det \!{\bigl (}a_{1}\;\ldots \;a_{i-1}\;\,y\;\,a_{i+1}\;\ldots \;a_{n}{\bigr )}}{\det a}}$.