Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(K^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \({}^nK=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\,j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Стандартный базис пространства \(K^p\): \(\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^nK\): \(\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Умножение матриц: \((b\cdot a)^i_k=\sum_{j=1}^pb^i_j\,a^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
- Выделение строк матрицы: \(a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \((b\cdot a)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,(b\cdot a)_k=b\cdot a_k\).
- Транспонирование матрицы: \((a^\mathtt T)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: \(v=e\cdot v^e\). Изоморфизм векторных пространств между \(V\) и \(K^{\dim V}\).
- Матрица гомоморфизма: \((a_e^h)_j=a(e_j)^h\). Утверждение: \(a(e)=h\cdot a_e^h\,\) и \(\,\forall\:v\in V\;\bigl(\,a(v)^h=a_e^h\cdot v^e\,\bigr)\). Утверждение: \((b\circ a)_e^g=b_f^g\cdot a_e^f\).
- Изоморфизм векторных пространств между \(\mathrm{Hom}(V,Y)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim Y,\dim V,K)\). Изоморфизм колец между \(\mathrm{End}(V)\) и \(\mathrm{Mat}(\dim V,K)\).
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц . Пространство столбцов: . Пространство строк: .
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства : .
- Стандартный базис пространства : . Стандартный базис пространства : .
- Умножение матриц: . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо . Группа .
- Выделение строк матрицы: . Выделение столбцов матрицы: . Утверждение: и .
- Транспонирование матрицы: . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца .
Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов
- Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: . Изоморфизм векторных пространств между и .
- Матрица гомоморфизма: . Утверждение: и . Утверждение: .
- Изоморфизм векторных пространств между и . Изоморфизм колец между и .
Преобразования координат при замене базиса
- Матрица замены координат: . Матрица замены базиса: . Утверждение: и .
- Преобразование базиса: . Преобразование координат вектора: . Покомпонентная запись: .
- Преобразование координат эндоморфизма: . Покомпонентная запись: .
Элементарные преобразования матриц
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.