Алгебра phys 1 весна 2016
Материал из SEWiki
Версия от 00:38, 12 февраля 2016; Goryachko (обсуждение | вклад)
Векторные пространства и линейные операторы
Отступление в первый семестр
- Обозначения из математической логики и теории множеств.
- Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
- Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.
Матрицы, базисы, координаты
Матрицы, столбцы, строки
- Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \(\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
- Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\,\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Стандартный базис пространства \(K\!^p\): \(\,\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^n\!K\): \(\,\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
- Умножение матриц: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
- Выделение строк матрицы: \(\,a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(\,a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)_k=b\cdot a_k\).
- Транспонирование матрицы: \(\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).
Элементарные преобразования матриц
- Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
- Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.