Алгебра phys 1 весна 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

• Обозначения из математической логики и теории множеств.
• Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
• Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки

• Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \(\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\): \(\,\bigl\{\,e_i^j\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\},\;j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
• Стандартный базис пространства \(K\!^p\): \(\,\bigl\{\,e_i\:\mid\:i\in\{1,\ldots,p\}\,\bigr\}\). Стандартный базис пространства \({}^n\!K\): \(\,\bigl\{\,e^j\:\mid\:j\in\{1,\ldots,n\}\,\bigr\}\).
• Умножение матриц: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i_k=\!\!\sum_{j=1}^pb^i_ja^j_k\). Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо \(\mathrm{Mat}(n,K)\). Группа \(\mathrm{GL}(n,K)\).
• Выделение строк матрицы: \(\,a^i=e^i\cdot a\). Выделение столбцов матрицы: \(\,a_j=a\cdot e_j\). Утверждение: \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)^i=b^i\cdot a\,\) и \(\,\bigl(b\cdot a\bigr)_k=b\cdot a_k\).
• Транспонирование матрицы: \(\,\bigl(a^\mathtt T\bigr)^i_j=a^j_i\). Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца \(\mathrm{Mat}(n,K)\).

Матрицы, столбцы, строки

• Пространство матриц \(\mathrm{Mat}(p,n,K)\). Пространство столбцов: \(\,K\!^p=\mathrm{Mat}(p,1,K)\). Пространство строк: \(\,{}^n\!K=\mathrm{Mat}(1,n,K)\).
• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $\,K\!^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: $\,{}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\,{\bigl \{}\,e_{i}^{j}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\},\;j\in \{1,\ldots ,n\}\,{\bigr \}}$.
• Стандартный базис пространства $K\!^{p}$: $\,{\bigl \{}\,e_{i}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\}\,{\bigr \}}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\,{\bigl \{}\,e^{j}\;\mid \;j\in \{1,\ldots ,n\}\,{\bigr \}}$.
• Умножение матриц: $\,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}_{k}^{i}=\!\!\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Выделение строк матрицы: $\,a^{i}=e^{i}\cdot a$. Выделение столбцов матрицы: $\,a_{j}=a\cdot e_{j}$. Утверждение: $\,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}^{i}=b^{i}\cdot a\,$ и $\,{\bigl (}b\cdot a{\bigr )}_{k}=b\cdot a_{k}$.
• Транспонирование матрицы: $\,{\bigl (}a^{\mathtt {T}}{\bigr )}_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца $\mathrm {Mat} (n,K)$.

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

• Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $\,v=e\cdot v^{e}$. Изоморфизм векторных пространств между $V$ и $K^{\dim V}$.
• Матрица гомоморфизма: $\,{\bigl (}a_{e}^{h}{\bigr )}_{j}=a(e_{j})^{h}$. Утверждение: $\,a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\,$ и $\,\forall \;v\in V\;{\Bigl (}\,a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\,{\Bigr )}$. Утверждение: $\,{\bigl (}b\circ a{\bigr )}_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$.
• Изоморфизм векторных пространств между $\mathrm {Hom} (V,Y)$ и $\mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)$ и изоморфизм колец между $\mathrm {End} (V)$ и $\mathrm {Mat} (\dim V,K)$.

Преобразования координат при замене базиса

• Матрица замены координат: $\,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}={\bigl (}\mathrm {id} _{V}{\bigr )}_{e}^{\widetilde {e}}$. Матрица замены базиса: $\,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}={\bigl (}\mathrm {id} _{V}{\bigr )}_{\widetilde {e}}^{e}$. Утверждение: $\,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{\widetilde {e}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\,$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}={\bigl (}\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}{\bigr )}^{-1}$.
• Преобразование базиса: $\,{\widetilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}$. Преобразование координат вектора: $\,v^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot v^{e}$. Покомпонентная запись: $\,v^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}{\bigl (}e_{k}{\bigr )}^{\widetilde {i}}v^{k}$.
• Преобразование координат эндоморфизма: $\,a_{\widetilde {e}}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}$. Покомпонентная запись: $\,a_{\tilde {j}}^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}{\bigl (}e_{k}{\bigr )}^{\widetilde {i}}{\bigl (}e_{\tilde {j}}{\bigr )}^{l}a_{l}^{k}$.

Элементарные преобразования матриц

• Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
• Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.