Алгебра phys 1 весна 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Матрицы, столбцы, строки

Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ . Пространство столбцов: $\,K\!^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$ . Пространство строк: $\,{}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$ .
Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$ : $\,\{\,e_{i}^{j}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\},\;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$ .
Стандартный базис пространства $K\!^{p}$ : $\,\{\,e_{i}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\}\,\}$ . Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$ : $\,\{\,e^{j}\;\mid \;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$ .
Умножение матриц: $\,(b\cdot a)_{k}^{i}=\!\!\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}a_{k}^{j}$ . Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$ . Группа $\mathrm {GL} (n,K)$ .
Выделение строк матрицы: $\,a^{i}=e^{i}\cdot a$ . Выделение столбцов матрицы: $\,a_{j}=a\cdot e_{j}$ . Утверждение: $\,(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a\,$ и $\,(b\cdot a)_{j}=b\cdot a_{j}$ .
Транспонирование матрицы: $\,(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$ . Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца $\mathrm {Mat} (n,K)$ .

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов

Упорядоченные базисы. Столбец координат вектора. Утверждение: $\,v=e\cdot v^{e}$ . Изоморфизм векторных пространств между $V$ и $K^{\dim V}$ .
Матрица гомоморфизма: $\,(a_{e}^{h})_{j}=a(e_{j})^{h}$ . Утверждение: $\,a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\,$ и $\,\forall \;v\in V\;(\,a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\,)$ . Утверждение: $\,(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}$ .
Изоморфизм векторных пространств между $\mathrm {Hom} (V,Y)$ и $\mathrm {Mat} (\dim Y,\dim V,K)$ и изоморфизм колец между $\mathrm {End} (V)$ и $\mathrm {Mat} (\dim V,K)$ .

Преобразования координат при замене базиса

Матрица замены координат: $\,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}=(\mathrm {id} _{V})_{e}^{\widetilde {e}}$ . Матрица замены базиса: $\,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}=(\mathrm {id} _{V})_{\widetilde {e}}^{e}$ . Утверждение: $\,\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{\widetilde {\widetilde {e}}}\cdot \mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {\widetilde {e}}}\,$ и $\,\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}=(\mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e})^{-1}$ .
Преобразование базиса: $\,{\widetilde {e}}=e\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}$ . Преобразование координат вектора: $\,v^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot v^{e}$ . Покомпонентная запись: $\,v^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}(e_{k})^{\widetilde {i}}v^{k}$ .
Преобразование координат эндоморфизма: $\,a_{\widetilde {e}}^{\widetilde {e}}=\mathrm {c} _{e}^{\widetilde {e}}\cdot a_{e}^{e}\cdot \mathrm {c} _{\widetilde {e}}^{e}$ . Покомпонентная запись: $\,a_{\tilde {j}}^{\widetilde {i}}=\!\sum _{k=1}^{\dim V}\sum _{l=1}^{\dim V}(e_{k})^{\widetilde {i}}(e_{\tilde {j}})^{l}a_{l}^{k}$ .

Элементарные преобразования матриц