Алгебра phys 1 весна 2016

Векторные пространства и линейные операторы

Отступление в первый семестр

• Обозначения из математической логики и теории множеств.
• Запись множеств и отображений. Обозначения по Минковскому.
• Отношения эквивалентности и разбиения. Слои отображений.

Матрицы, базисы, координаты

Матрицы, столбцы, строки.

• Пространство матриц $\mathrm {Mat} (p,n,K)$. Пространство столбцов: $\,K\!^{p}=\mathrm {Mat} (p,1,K)$. Пространство строк: ${}^{n}\!K=\mathrm {Mat} (1,n,K)$.
• Матричные единицы. Стандартный базис пространства $\mathrm {Mat} (p,n,K)$: $\,\{\,e_{i}^{j}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\},\;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$.
• Стандартный базис пространства $K\!^{p}$: $\,\{\,e_{i}\;\mid \;i\in \{1,\ldots ,p\}\,\}$. Стандартный базис пространства ${}^{n}\!K$: $\,\{\,e^{j}\;\mid \;j\in \{1,\ldots ,n\}\,\}$.
• Умножение матриц: $\,(b\cdot a)_{k}^{i}=\!\!\sum _{j=1}^{p}b_{j}^{i}a_{k}^{j}$. Внешняя ассоциативность умножения матриц. Кольцо $\mathrm {Mat} (n,K)$. Группа $\mathrm {GL} (n,K)$.
• Выделение строк матрицы: $\,a^{i}=e^{i}\cdot a$. Выделение столбцов матрицы: $\,a_{j}=a\cdot e_{j}$. Утверждение: $\,(b\cdot a)^{i}=b^{i}\cdot a$ и $\,(b\cdot a)_{j}=b\cdot a_{j}$.
• Транспонирование матриц: $\,(a^{\mathtt {T}})_{j}^{i}=a_{i}^{j}$. Утверждение: транспонирование — антиавтоморфизм кольца $\mathrm {Mat} (n,K)$.

Столбцы координат векторов и матрицы гомоморфизмов.

• Упорядоченные базисы. Столбцы координат.
• Матрицы гомоморфизмов. Композиция гомоморфизмов и умножение матриц.
• Изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом матриц.

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;v\in V\;\;\;(\;v=e\cdot v^{e}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;h\in \mathrm {OB} (Y),\;a\in \mathrm {Hom} (V,Y)\;\;\;(\;a(e)=h\cdot a_{e}^{h}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;h\in \mathrm {OB} (Y),\;a\in \mathrm {Hom} (V,Y),\;v\in V\;\;\;(\;a(v)^{h}=a_{e}^{h}\cdot v^{e}\;)$

$\forall \;e\in \mathrm {OB} (V),\;f\in \mathrm {OB} (X),\;g\in \mathrm {OB} (Z),\;a\in \mathrm {Hom} (V,X),\;b\in \mathrm {Hom} (X,Z)\;\;\;(\;(b\circ a)_{e}^{g}=b_{f}^{g}\cdot a_{e}^{f}\;)$

План лекции 15.02.2016.

Замена базиса.

• Матрица замены базиса. Матрица замены координат.
• Преобразование координат векторов при замене базиса.
• Преобразование координат гомоморфизмов при замене базиса.
• Преобразование координат ковекторов при замене базиса.

Элементарные преобразования матриц.

• Элементарные матрицы. Элементарные преобразования над строками и над столбцами.
• Теорема о приведении матрицы к ступенчатому виду.